浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第四章　6 第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第四章　6 第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

‎[基础题组练]‎ ‎1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)‎ 解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.‎ ‎2．(2020·温州瑞安七中高考模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C．0 D．－ 解析：选B.令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，则f＝sin＝sin，因为f为偶函数，所以＋φ＝kπ＋，所以φ＝kπ＋，k∈Z，所以当k＝0时，φ＝.故φ的一个可能的值为.故选B.‎ ‎3．(2020·湖州市高三期末考试)若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为(　　)‎ A．y＝sin＋1 B．y＝sin＋1‎ C．y＝sin－1 D．y＝sin－1‎ 解析：选B.函数y＝sin x的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标保持不变)，得到y＝sin 2x，沿y轴向上平移1个单位，得到y＝sin 2x＋1，图象沿x轴向右平移 个单位，得到函数y＝sin＋1＝sin＋1.故选B.‎ ‎4．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在x＝时取得最大值，且它的最小正周期为π，则(　　)‎ A．f(x)的图象过点 B．f(x)在上是减函数 C．f(x)的一个对称中心是 D．f(x)的图象的一条对称轴是x＝ 解析：选C.因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，‎ 所以T＝＝π，‎ 所以ω＝2，即函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，‎ 又因为函数f(x)＝Asin(2x＋φ)在x＝时取得最大值，‎ 所以sin＝±1，‎ 即2×＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)，‎ 又因为－<φ<，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝Asin，其中A<0；‎ 对于选项A，因为f(0)＝Asin＝≠，‎ 所以选项A不正确；‎ 对于选项B，因为函数f(x)＝Asin的单调递增区间满足＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，‎ 所以f(x)在上是增函数，所以选项B不正确；‎ 对于选项C，因为f＝Asin＝0，‎ 所以f(x)的一个对称中心是，即选项正确；‎ 对于选项D，因为f＝Asin＝0，‎ 所以x＝不是f(x)图象的一条对称轴，即选项D错误．故选C.‎ ‎5．(2020·杭州中学高三月考)将函数y＝2sin(ωx－)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为(　　)‎ A. B．1‎ C．2 D．4‎ 解析：选C.把函数y＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 y1＝2sin＝2sin，‎ 向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y2＝2sin＝2sin.‎ 因为所得的两个图象对称轴重合，‎ 所以ωx＋π＝ωx－π①，或ωx＋π＝ωx－π＋kπ，k∈Z②.‎ 解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k，k∈Z.‎ 所以ω的最小值为2.故选C.‎ ‎6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则函数y＝f(x)＋ω图象的对称中心的坐标为(　　)‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ 解析：选D.由题图可知＝－＝，所以T＝3π，又T＝，所以ω＝，所以f(x)＝‎ ‎2sin，因为f(x)的图象过点，所以2sin＝2，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．又因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，则函数y＝f(x)＋图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．‎ ‎7．(2020·金丽衢十二校联考)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<，f(x)的最小正周期为π，且f(0)＝，则ω＝________，φ＝________．‎ 解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f(0)＝且|φ|<得到φ＝.‎ 答案：2　 ‎8．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收购价格y(元/斤)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 选用一个函数来近似描述收购价格y(元/斤)与相应月份x之间的函数关系为________．‎ 解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，‎ 所以ω＝，所以y＝sin＋6.‎ 因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，‎ 结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，‎ 可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cosx.‎ 答案：y＝6－cosx ‎9．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)＝________．‎ 解析：因为图象经过点A(0，1)，B，‎ A，B两个点的纵坐标互为相反数，从点A到点B经过半个周期，所以＝＝，解得ω＝3.‎ 又因为图象经过点A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)，‎ 所以1＝2sin φ，即sin φ＝，‎ 所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝，‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 答案：2sin ‎10．函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．‎ 解析：由题图可知，M，N(xN，－1)，‎ 所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，‎ 解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.‎ 答案：3‎ ‎11．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)．‎ ‎(1)求解析式；‎ ‎(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5，20＋5 ]之间为最佳营业时间，‎ 那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．‎ 解：(1)由图象知A＝10，·＝14－6，‎ 所以ω＝，所以y＝10sin＋b.①‎ ymax＝10＋b＝30，所以b＝20.‎ 当t＝6时，y＝10代入①得φ＝，‎ 所以解析式为y＝10sin＋20，t∈[6，14]．‎ ‎(2)由题意得，‎ ‎20－5≤10sin＋20≤20＋5，‎ 即－≤sin≤，‎ 所以kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z.‎ 即8k－8≤t≤8k－4，‎ 因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12，‎ 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．‎ ‎12．已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)．‎ ‎(1)若α∈[0，π]且f(α)＝2，求α；‎ ‎(2)先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，求θ的最小值．‎ 解：(1)f(x)＝sin x＋cos x ‎＝2＝2sin.‎ 由f(α)＝2，得sin＝，‎ 即α＋＝2kπ＋或α＋＝2kπ＋，k∈Z.‎ 于是α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又α∈[0，π]，故α＝.‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝2sin的图象，再将y＝2sin图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y＝2sin的图象．由于y＝sin x的图象关于直线x＝kπ＋(k∈Z)对称，令2x－2θ＋＝kπ＋，‎ 解得x＝＋θ＋，k∈Z.‎ 由于y＝2sin的图象关于直线x＝对称，令＋θ＋＝，‎ 解得θ＝－＋，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为　　(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.由T＝＝，又f(x)的最大值为2，所以＝2，即ω＝，‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，‎ 即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时函数f(x)单调递增，则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为.‎ ‎2．(2020·杭州市七校联考)已知函数y＝4sin，x∈的图象与直线y＝m有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3(x10)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．‎ 解析：因为f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．故ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ，k∈Z.所以x＝＋或x＝＋，k∈Z.设直线y＝－1与y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋.因为方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，所以xA<π≤xB，即＋<π≤＋，计算得出<ω≤.‎ 答案： ‎4．将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝16，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为________．‎ 解析：函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，‎ 可得y＝2sin的图象，‎ 再向下平移2个单位，‎ 得到g(x)＝2sin－2的图象，‎ 若g(x1)g(x2)＝16，且x1，x2∈[－2π，2π]，‎ 则g(x1)＝g(x2)＝－4，‎ 则2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，‎ 即x＝－＋kπ，k∈Z，‎ 由x1，x2∈[－2π，2π]，‎ 得x1，x2∈，‎ 当x1＝，x2＝－时，2x1－x2取最大值，故答案为.‎ 答案： ‎5．(2020·温州中学高三模考)已知函数f(x)＝sincos＋cos2.‎ ‎(1)求函数f(x)图象对称中心的坐标；‎ ‎(2)如果△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝sin＋＝sin＋cos＋＝sin＋，‎ 由sin＝0即＋＝kπ(k∈Z)得x＝π，k∈Z，‎ 即对称中心为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知b2＝ac，cos B＝＝≥＝，所以≤cos B<1，0，所以sin0，－<φ<)相邻两对称轴间的距离为，若将f(x)的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g(x)为奇函数．‎ ‎(1)求f(x)的解析式，并求f(x)的对称中心；‎ ‎(2)若关于x的方程3[g(x)]2＋m·g(x)＋2＝0在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)由题意可得＝＝，‎ 所以ω＝2，‎ f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，‎ 所以g(x)＝sin＋b－1‎ ‎＝sin(2x＋＋φ)＋b－1.‎ 再结合函数g(x)为奇函数，可得＋φ＝kπ，k∈Z，且b－1＝0，再根据－<φ<，‎ 可得φ＝－，b＝1，‎ 所以f(x)＝sin＋1，g(x)＝sin 2x.‎ 令2x－＝nπ，n∈Z，可得x＝＋，‎ 所以f(x)的对称中心(n∈Z)．‎ ‎(2)由(1)可得g(x)＝sin 2x，在区间上，2x∈[0，π]，令t＝g(x)，则t∈[0，1]．‎ 由关于x的方程3[g(x)]2＋m·g(x)＋2＝0在区间上有两个不相等的实根，‎ 可得关于t的方程3t2＋m·t＋2＝0在区间(0，1)上有唯一解．‎ 令h(t)＝3t2＋m·t＋2，因为h(0)＝2>0，则满足h(1)＝3＋m＋2<0，或 解得m<－5或m＝－2.‎