备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题41 三视图——几何体的面积与体积

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题41 三视图——几何体的面积与体积

专题41 三视图——几何体的面积与体积 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 三视图是高考重点考查的内容，近几年多与面积或体积计算结合在一起加以考查，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．本专题通过例题说明三视图及几何体的面积与体积问题求解方法.‎ ‎（一）常见几何体的表面积计算：‎ ‎1、常见几何体的表面积计算公式：‎ ‎（1）三角形面积：设的底为，高为，则 ‎ ‎（2）圆形面积：设圆的半径为，则 ‎（3）圆柱的侧面积：设圆柱底面半径为，高为，则侧面积为 ‎ ‎（4）圆锥的侧面积：设圆锥底面半径为 ，母线长为，则侧面积为 ‎（5）圆台的侧面积：设圆台上下底面半径分别为，母线长为，则侧面积为 ‎（6）棱柱（棱锥，棱台）的侧面积：只需求出每个侧面的面积并加在一起 ‎（7）球的面积：设球的半径为，则球的表面积为 ‎ ‎2、轴截面：对于旋转体（圆柱，圆锥，圆台），用轴所在的平面去截几何体，得到的截面称为轴截面，轴截面的边角关系与几何体的一些要素向对应.‎ ‎（1）圆柱：轴截面为矩形，其中矩形的长对应圆柱的底面直径，矩形的高对应椭圆的高 ‎（2）圆锥：轴截面为等腰三角形，其中等腰三角形的底对应圆锥的底面直径，高对应圆锥的高，腰对应圆锥的母线长 ‎ ‎（3）圆台：轴截面为等腰梯形，其中上底对应圆台上底面直径，下底对应下底面直径，高对应圆台的高，腰对应圆台的母线 ‎3、三视图解面积的步骤：‎ ‎（1）分析出所围成的几何体的特征（柱，锥，台还是组合体）‎ ‎（2）确定所求几何体由哪些面组成 ‎（3）根据围成的面的特点，寻找可求出面积的要素，进而求出面积 ‎（4）将各部分面积求和即可得到几何体的表面积 ‎4、求表面积要注意的几点：‎ 23‎ ‎（1）三视图中侧面的高通常与某个视图的边相对应.‎ ‎（2）圆锥和圆柱可利用轴截面的特点求出相关要素，例如已知圆锥的高和底面半径，通过轴截面可求出圆锥的母线长 ‎（3）当几何体被切割时，要注意截面也算在表面积之列.‎ ‎（4）如果几何体是由多个简单几何体拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在几何体之中，进而在求表面积时不予考虑.‎ ‎（二）常见几何体的体积计算：‎ ‎1、常见几何体的体积公式：（底面积，高）‎ ‎（1）柱体：‎ ‎（2）锥体： ‎ ‎（3）台体：，其中为上底面面积，为下底面面积 ‎（4）球： ‎ ‎2、求几何体体积要注意的几点 ‎（1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该几何体摆放的位置是否是底面着地.对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积.‎ ‎（2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了一部分.然后再寻找相关要素 ‎（3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相等.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 23‎ ‎（A）3 （B）2 （C）2 （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 例2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 23‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱， 底面半径为1，高为2， 故该几何体的表面积 ‎ 故选D.‎ 例3.【2019届重庆市巴蜀中学月考九】已知某几何体的三视图如图2所示（小正方形的边长为），则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，还原几何体，得到该几何体是由正方体切割而成的，找到该几何体的顶点有三个是正方体的棱的中点，一个就是正方体的顶点，之后将几何体补体，从而得到该三棱 取棱中点H，再取正方体的顶点，‎ 从而得到该三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，‎ 利用正弦定理可以求得底面三角形的外接圆的半径为，‎ 棱柱的高为4，所以可以求得其外接球的半径，‎ 23‎ 所以其表面积为，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关利用三视图还原几何体，求其外接球的体积的问题，在解题的过程中，最关键的一步就是还原几何体，再者就是将其补成一个直三棱柱，之后应用直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心的连线的中点处，利用公式求得结果.‎ 例4.【2019届云南省昆明市5月检测】一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 圆台侧面积为，下底面面积为，‎ 圆锥的侧面积为 .‎ 所以该几何体的表面积为.故选B. ‎ 点睛：（1）还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.‎ ‎（2）对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．‎ ‎ 根据几何体的三视图确定直观图的方法：‎ 三视图为三个三角形，对应三棱锥；‎ 三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；‎ 三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；‎ 23‎ 三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；‎ 三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.‎ 例5.【2019届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知菱形满足：，，将菱形沿对角线折成一个直二面角，则三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎，‎ 外接球表面积为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ 例6.【2019届广东省湛江市二模】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（ ）‎ 23‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先将三视图还原为三棱锥，然后补形为三棱柱，结合外接球半径即可求得外接球的体积.‎ 且：，‎ 外接球的体积：.‎ 本题选择C选项.‎ 23‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ 例7．【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.‎ 例8.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 23‎ ‎ ‎ 点睛：(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.‎ 例9.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 23‎ 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．‎ 例10.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 23‎ 点睛：对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届重庆市三诊】一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为 （ ）‎ 23‎ A. 6 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先通过观察几何体的三视图，还原几何体，得知其为一个正三棱柱，结合直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心连线的中点处，利用外接球的表面积，得到底面边长所满足的关系式，求得其边长，再根据侧视图中对应的边长与底面边长的关系，求得结果.‎ 则有，从而解得，‎ 因为侧视图中对应的边为底面三角形的边的中线，‎ 求得，故选C. ‎ 点睛：该题考查的是有关利用三视图还原几何体，以及与外接球相关的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的表面积公式、直棱柱的外接球的球心的位置、外接球的半径与棱柱的高以及底面三角形的外接圆的半径的关系，将其整合，得到x所满足的等量关系式，求得结果.‎ ‎2.【2019届山东省烟台市高考适应性练习（二）】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ 23‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，‎ 其体积为，‎ 所以该几何体的体积为，故选B．‎ ‎3．【2019届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线描绘的是某几何体的三视图，其中主视图和左视图相同如上方，俯视图在其下方，该几何体体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 23‎ ‎【答案】C 所以组合体体积为：‎ ‎，故选C.‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎4．【2019届浙江省绍兴市5月调测】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 23‎ ‎5.【2019届福建省三明市5月测试】已知某几何体的三视图如图所示，其正视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意首先确定空间几何体的结构特征，然后结合几何体的性质求解外接球半径，最后求解其表面积即可.‎ 23‎ 设该几何体的外接球半径为，由几何关系可得：‎ ‎，‎ 外接球的表面积为：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎6．【2019届山东省烟台市高考适应性练习（一）】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为（ ）‎ 23‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎7．【2019届江西省赣州市5月统考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 23‎ 而挖去的八分之一球体的体积为，‎ 所以该几何体的体积为，故选A.‎ ‎8.【2019届福建省漳州市5月测试】如图，网格纸的小正方形的边长是，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由两部分组成，左边是底面半径与高都是的四分之一圆柱，右边是底面是棱长为的正方形，高为的四棱锥，从而可得结果.‎ 详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，‎ 它由两部分组成，左边是四分之一圆柱，‎ 圆柱底面半径为，高为，‎ 23‎ ‎9．【2019届福建省南平市5月检测】已知顶点在同一球面上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示．若球的体积为，则图中的的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先由三视图的正视图和俯视图可以还原三棱锥，做出图像，建立空间直角坐标系，由外接球球心到各点的距离为半径，列方程组求解即可.‎ 详解：由三视图还原几何体，如图所示：‎ 由正视图和俯视图得三棱锥为，‎ 23‎ 其外接球的体积为，设半径为，则，解得.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.求外接球半径或圆心的常见方法有：‎ ‎①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；‎ ‎②若面（），则（为外接圆半径）‎ ‎③可以转化为长方体的外接球；‎ ‎④特殊几何体可以直接找出球心和半径；‎ ‎⑤通过建立空间直角坐标系，利用代数法解方程组.‎ ‎10.【2019届山东省烟台市高考适应性练习（二）】在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，若该三棱锥外接球的表面积为，且球心到平面的距离为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）‎ A. B. C. 27 D. 81‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，画出图形，再由已知求出底面三角形的边长，数形结合可知，当为等边三角形时，三棱锥的体积取得最大值．‎ 详解：如图所示，‎ 取等边三角形的中心，过作三角形的垂线，截去，‎ 23‎ 此时三棱锥的高为，‎ 所以三棱锥的体积的最大值为．‎ 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.‎ ‎11.【2019届天津市河东区二模】麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有。一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576 ，则一个麻团的体积为_______．‎ 23‎ ‎【答案】 ‎ 详解：根据麻团与长方体纸盒上下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长宽相等.‎ 设麻团球形半径r，可得长方体长宽a=4r，高为h=2r，‎ 长方体纸盒的表面积为576cm2，即32r2+32r2=576，‎ 解得：r2=9，即r=3，‎ 可得一个麻团的体积V==36π．‎ 故答案为：36π ‎12．【2019届河北省衡水中学第十六次模拟】已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用与投影面所成角，，，建立正视图的面积为和侧视图的面积为的关系，利用，求解最大值.‎ 详解：‎ 23‎ 与投影面所成角时，平面如图所示，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故得的最大值为，故答案为.‎ 23‎