2015年安徽省高考数学试卷（文科）

2015年安徽省高考数学试卷（文科）

‎2015年安徽省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）‎ ‎1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（　　）‎ A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i ‎2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（　　）‎ A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}‎ ‎3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）‎ A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx ‎5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1‎ ‎6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（　　）‎ A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12‎ ‎9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（　　）‎ A．1+ B．1+2 C．2+ D．2‎ ‎10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）‎ A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0‎ C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=　　．‎ ‎12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=　　．‎ ‎13．（3分）已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　　．‎ ‎14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为　　．‎ ‎15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是　　．（写出所有正确结论得序号）‎ ‎①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x ‎（1）求f（x）最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]‎ ‎（1）求频率分布图中a的值；‎ ‎（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．‎ ‎18．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．‎ ‎（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；‎ ‎（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．‎ ‎20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．‎ ‎（1）求E的离心率e；‎ ‎（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．‎ ‎21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）‎ ‎（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．‎ ‎　‎ ‎2015年安徽省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）‎ ‎1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（　　）‎ A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i ‎【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．‎ ‎【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（　　）‎ A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}‎ ‎【分析】进行补集、交集的运算即可．‎ ‎【解答】解：∁RB={1，5，6}；‎ ‎∴A∩（∁RB）={1，2}∩{1，5，6}={1}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，‎ 所以p是q成立的必要不充分条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）‎ A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx ‎【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．‎ ‎【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；‎ 对于B，是偶函数，但是不存在零点；‎ 对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；‎ 对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；‎ 故选：D ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1‎ ‎【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．‎ ‎【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，‎ 当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），‎ 所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1‎ ‎【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，‎ 由A可得渐近线方程为y=±2x，‎ 由B可得渐近线方程为y=±x，‎ 由C可得渐近线方程为y=x，‎ 由D可得渐近线方程为y=x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，n=1‎ 满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2‎ 满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3‎ 满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4‎ 不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（　　）‎ A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12‎ ‎【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．‎ ‎【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，‎ ‎∴圆心坐标为（1，1），半径为1，‎ ‎∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，‎ ‎∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，‎ 即，解得：b=2或b=12．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（　　）‎ A．1+ B．1+2 C．2+ D．2‎ ‎【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，‎ 可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，‎ 运用面积求解即可．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∴‎ 三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，‎ S△OAC=S△ABC==1，‎ S△OAB=S△OBC=×2=‎ 该四面体的表面积：2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）‎ A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0‎ C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0‎ ‎【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．‎ ‎【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，‎ 当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，‎ 函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，‎ 则f′（x）=0有两个不同的正实根，‎ 则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），‎ ‎∴b＜0，c＞0，‎ 方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，‎ 由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，‎ 则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），‎ ‎∴b＜0，c＞0，‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题 ‎11．（3分）（2015•安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=　﹣1　．‎ ‎【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值．‎ ‎【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=　2　．‎ ‎【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．‎ ‎【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，‎ 则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎=，‎ 即有AC==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2015•安徽）已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　27　．‎ ‎【分析】通过an=an﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．‎ ‎【解答】解：∵an=an﹣1+（n≥2），‎ ‎∴an﹣an﹣1=（n≥2），‎ ‎∴数列{an}的公差d=，‎ 又a1=1，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）=，‎ ‎∴S9=9a1+•d=9+36×=27，‎ 故答案为：27．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为　　．‎ ‎【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．‎ ‎【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，‎ 所以2a=﹣1，解得a=﹣；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是　①④⑤　．（写出所有正确结论得序号）‎ ‎①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．‎ ‎【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．‎ ‎【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，‎ 则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；‎ 因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；‎ 夹角为120°，故③错误；‎ ‎⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．‎ 故答案为：①④⑤．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x ‎（1）求f（x）最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．‎ ‎（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），‎ ‎∴它的最小正周期为=π．‎ ‎（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+×（﹣）=0，‎ 当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．‎ ‎　‎ ‎17．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]‎ ‎（1）求频率分布图中a的值；‎ ‎（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．‎ ‎【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；‎ ‎（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；‎ ‎（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．‎ ‎【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；‎ ‎（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；‎ 受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，‎ 分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，‎ 又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，‎ 故所求的概率为P=．‎ ‎　‎ ‎18．（2015•安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求出bn=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．‎ 解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），‎ 解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（2）Sn==2n﹣1，‎ ‎∴bn===﹣，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣．‎ ‎　‎ ‎19．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．‎ ‎（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；‎ ‎（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．‎ ‎【分析】（1）利用VP﹣ABC=•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；‎ ‎（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．‎ ‎【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，‎ 可得S△ABC==．‎ 因为PA⊥平面ABC，PA=1，‎ 所以VP﹣ABC=•S△ABC•PA=；‎ ‎（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，‎ 由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，‎ 因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．‎ 因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．‎ 在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，‎ 从而NC=AC﹣AN=．‎ 由MN∥PA得==．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．‎ ‎（1）求E的离心率e；‎ ‎（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．‎ ‎【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；‎ ‎（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．‎ ‎【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，‎ ‎∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），‎ 解得x=a，y=b，即M（a，b），‎ 又∵直线OM的斜率为，∴=，‎ ‎∴a=b，c==2b，‎ ‎∴椭圆E的离心率e==；‎ ‎（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，‎ ‎∴N（，﹣），∴=（，），‎ 又∵=（﹣a，b），‎ ‎∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），‎ 由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．‎ ‎　‎ ‎21．（2015•安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）‎ ‎（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．‎ ‎【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；‎ ‎（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），‎ ‎∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．‎ 又∵f（x）==，‎ ‎∴f′（x）==，‎ ‎∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；‎ 因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；‎ ‎（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，‎ ‎∴x=r是f（x）的极大值点，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；wkl197822；changq；双曲线；w3239003；sxs123；sdpyqzh；maths；cst；caoqz；刘长柏（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日