2014年四川省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2014年四川省高考数学试卷(理科)

‎2014年四川省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=(  )‎ A.{﹣1,0,1,2} B.{﹣2,﹣1,0,1} C.{0,1} D.{﹣1,0}‎ ‎2.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(  )‎ A.30 B.20 C.15 D.10‎ ‎3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点(  )‎ A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D.向右平行移动1个单位长度 ‎4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.> B.< C.> D.<‎ ‎5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎6.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(  )‎ A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 ‎7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是(  )‎ A.[,1] B.[,1] C.[,] D.[,1]‎ ‎9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:‎ ‎①f(﹣x)=﹣f(x);‎ ‎②f()=2f(x)‎ ‎③|f(x)|≥2|x|‎ 其中的所有正确命题的序号是(  )‎ A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②‎ ‎10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)复数=  .‎ ‎12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[‎ ‎﹣1,1)时,f(x)=,则f()=  .‎ ‎13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于  m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)‎ ‎14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是  .‎ ‎15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;‎ ‎③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.‎ ‎④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有  .(写出所有真命题的序号)‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+).‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.‎ ‎17.(12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;‎ ‎(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.‎ ‎18.(12分)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.‎ ‎(1)证明:P是线段BC的中点;‎ ‎(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.‎ ‎19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).‎ ‎(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.‎ ‎①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);‎ ‎②当最小时,求点T的坐标.‎ ‎21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;‎ ‎(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2014年四川省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2014•四川)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=(  )‎ A.{﹣1,0,1,2} B.{﹣2,﹣1,0,1} C.{0,1} D.{﹣1,0}‎ ‎【分析】计算集合A中x的取值范围,再由交集的概念,计算可得.‎ ‎【解答】解:A={x|﹣1≤x≤2},B=Z,‎ ‎∴A∩B={﹣1,0,1,2}.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•四川)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(  )‎ A.30 B.20 C.15 D.10‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出(1+x)6的第r+1项,令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.‎ ‎【解答】解:(1+x)6展开式中通项Tr+1=C6rxr,‎ 令r=2可得,T3=C62x2=15x2,‎ ‎∴(1+x)6展开式中x2项的系数为15,‎ 在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为:15.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•四川)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点(  )‎ A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D.向右平行移动1个单位长度 ‎【分析】根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.‎ ‎【解答】解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,‎ 即可得到函数y=sin(2x+1)的图象,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•四川)若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.> B.< C.> D.<‎ ‎【分析】利用特例法,判断选项即可.‎ ‎【解答】解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,‎ 则,,∴A、B不正确;‎ ‎,=﹣,‎ ‎∴C不正确,D正确.‎ 解法二:‎ ‎∵c<d<0,‎ ‎∴﹣c>﹣d>0,‎ ‎∵a>b>0,‎ ‎∴﹣ac>﹣bd,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•四川)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【分析】算法的功能是求可行域内,目标函数S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,得出最大值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,‎ 画出可行域如图:‎ 当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(  )‎ A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 ‎【分析】分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.‎ ‎【解答】解:最左端排甲,共有=120种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有=96种,‎ 根据加法原理可得,共有120+96=216种.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎【分析】由已知求出向量的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式,构造关于m的方程,解方程可得答案.‎ ‎【解答】解:∵向量=(1,2),=(4,2),‎ ‎∴=m+=(m+4,2m+2),‎ 又∵与的夹角等于与的夹角,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 解得m=2,‎ 故选:D ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•四川)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是(  )‎ A.[,1] B.[,1] C.[,] D.[,1]‎ ‎【分析】由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.‎ ‎【解答】解:由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.‎ 不妨取AB=2.‎ 在Rt△AOA1中,==.‎ sin∠C1OA1=sin(π﹣2∠AOA1)=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=,‎ ‎=1.‎ ‎∴sinα的取值范围是.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•四川)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:‎ ‎①f(﹣x)=﹣f(x);‎ ‎②f()=2f(x)‎ ‎③|f(x)|≥2|x|‎ 其中的所有正确命题的序号是(  )‎ A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②‎ ‎【分析】根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1),‎ ‎∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x),即①正确;‎ f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln()﹣ln()=ln()=ln[()2]=2ln()=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x),故②正确;‎ 当x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|⇔f(x)﹣2x≥0,令g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x(x∈[0,1))‎ ‎∵g′(x)=+﹣2=≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x≥g(0)=0,‎ 又f(x)≥2x,又f(x)与y=2x为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确;‎ 故正确的命题有①②③,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•四川)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△‎ AFO面积之和的最小值是(  )‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎【分析】可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.‎ ‎【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 直线AB与x轴的交点为M(m,0),‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1•y2=﹣m,‎ ‎∵•=2,∴x1•x2+y1•y2=2,‎ 结合及,得,‎ ‎∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1•y2=﹣2,故m=2.‎ 不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又,‎ ‎∴S△ABO+S△AFO═×2×(y1﹣y2)+×y1,‎ ‎=.‎ 当且仅当,即时,取“=”号,‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎11.(5分)(2014•四川)复数= ﹣2i .‎ ‎【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果.‎ ‎【解答】解:复数===﹣2i,‎ 故答案为:﹣2i.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= 1 .‎ ‎【分析】由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f()的值转化成求f()的值.‎ ‎【解答】解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,‎ ‎∴=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•四川)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 60 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)‎ ‎【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义,算出CD、BD的长,从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度.‎ ‎【解答】解:过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,‎ 则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m,‎ AB=,根据正弦定理,,‎ 得BC===60m.‎ 故答案为:60m.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 5 .‎ ‎【分析】先计算出两条动直线经过的定点,即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点,则有PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.‎ ‎【解答】解:有题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),‎ 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3),‎ 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,‎ 则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.‎ 故|PA|•|PB|≤=5(当且仅当时取“=”)‎ 故答案为:5‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;‎ ‎③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.‎ ‎④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有 ①③④ .(写出所有真命题的序号)‎ ‎【分析】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论.‎ ‎【解答】解:(1)对于命题①,若对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,故①是真命题;‎ ‎ (2)对于命题②,若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M].‎ ‎∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x)无最大值,无最小值,故②是假命题;‎ ‎ (3)对于命题③,若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞),并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M.故f(x)+g(x)∈(﹣∞,+∞).‎ 则f(x)+g(x)∉B,故③是真命题;‎ ‎ (4)对于命题④,∵﹣≤≤,‎ 当a>0或a<0时,aln(x+2)∈(﹣∞,+∞),f(x)均无最大值,若要使f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)∈B,故④是真命题.‎ 故答案为①③④.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)(2014•四川)已知函数f(x)=sin(3x+).‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+‎ ‎)cos2α,求cosα﹣sinα的值.‎ ‎【分析】(1)令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间.‎ ‎(2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,可得sin(α+)=cos(α+)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα)2=.再由α是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得cosα﹣sinα 的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)=sin(3x+),令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 求得 ﹣≤x≤+,故函数的增区间为[﹣,+],k∈Z.‎ ‎(2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,‎ ‎∴sin(α+)=cos(α+)cos2α,即sin(α+)=cos(α+)(cos2α﹣sin2α),‎ ‎∴sinαcos+cosαsin=(cosαcos﹣sinαsin)(cosα﹣sinα)(cosα+sinα)‎ 即 (sinα+cosα)=•(cosα﹣sinα)2(cosα+sinα),‎ 又∵α是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0,‎ 当sinα+cosα=0时,tanα=﹣1,sinα=,cosα=﹣,此时cosα﹣sinα=﹣.‎ 当sinα+cosα≠0时,此时cosα﹣sinα=﹣.‎ 综上所述:cosα﹣sinα=﹣或﹣.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2014•四川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;‎ ‎(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.‎ ‎【分析】(1)设每盘游戏获得的分数为X,求出对应的概率,即可求X的分布列;‎ ‎(2)求出有一盘出现音乐的概率,独立重复试验的概率公式即可得到结论.‎ ‎(3)计算出随机变量的期望,根据统计与概率的知识进行分析即可.‎ ‎【解答】解:(1)X可能取值有﹣200,10,20,100.‎ 则P(X=﹣200)=,‎ P(X=10)==‎ P(X=20)==,‎ P(X=100)==,‎ 故分布列为:‎ ‎ X ‎﹣200‎ ‎ 10‎ ‎ 20‎ ‎100 ‎ ‎ P 由(1)知,每盘游戏出现音乐的概率是p=+=,‎ 则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.‎ 由(1)知,每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E(X)=(﹣200)×+10×+20××100=﹣=.‎ 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•四川)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.‎ ‎(1)证明:P是线段BC的中点;‎ ‎(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.‎ ‎【分析】(1)用线面垂直的性质和反证法推出结论,‎ ‎(2)先建空间直角坐标系,再求平面的法向量,即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值.‎ ‎【解答】解:(1)由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥A﹣BCD中:‎ 平面ABD⊥平面CBD,AB=AD=BD=CD=CB=2‎ 设O为BD的中点,连接OA,OC 于是OA⊥BD,OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC 因为M,N分别为线段AD,AB的中点,所以MN∥BD,MN⊥NP,故BD⊥NP 假设P不是线段BC的中点,则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD⊥平面ABC,这与∠DBC=60°矛盾,所以P为线段BC的中点 ‎(2)以O为坐标原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,),M(,O,),N(,0,),P(,,0)‎ 于是,,‎ 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和 由,则,设z1=1,则 由,则,设z2=1,则 cos===‎ 所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值 ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•四川)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).‎ ‎(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)由于点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上,可得,又等差数列{an}的公差为d,利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点 ‎(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,可得=b8,进而得到=4=2d,解得d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎(2)利用导数的几何意义可得函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程,即可解得a2.进而得到an,bn.再利用“错位相减法”即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上,‎ ‎∴,‎ 又等差数列{an}的公差为d,‎ ‎∴==2d,‎ ‎∵点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,‎ ‎∴=b8,‎ ‎∴=4=2d,解得d=2.‎ 又a1=﹣2,∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.‎ ‎(2)由f(x)=2x,∴f′(x)=2xln2,‎ ‎∴函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为,‎ 又,令y=0可得x=,‎ ‎∴,解得a2=2.‎ ‎∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n,‎ ‎∴bn=2n.‎ ‎∴.‎ ‎∴Tn=+…++,‎ ‎∴2Tn=1+++…+,‎ 两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2014•四川)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.‎ ‎①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);‎ ‎②当最小时,求点T的坐标.‎ ‎【分析】第(1)问中,由正三角形底边与高的关系,a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2,b2;‎ 第(2)问中,先设点的坐标及直线PQ的方程,利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来,由取最小值时的条件获得等量关系,从而确定点T的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)依题意有解得 所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)设T(﹣3,t),P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为N(x0,y0),‎ ‎①证明:由F(﹣2,0),可设直线PQ的方程为x=my﹣2,则PQ的斜率.‎ 由⇒(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,‎ 所以,‎ 于是,从而,‎ 即,则直线ON的斜率,‎ 又由PQ⊥TF知,直线TF的斜率,得t=m.‎ 从而,即kOT=kON,‎ 所以O,N,T三点共线,从而OT平分线段PQ,故得证.‎ ‎②由两点间距离公式得,‎ 由弦长公式得==,‎ 所以,‎ 令,则(当且仅当x2=2时,取“=”号),‎ 所以当 最小时,由x2=2=m2+1,得m=1或m=﹣1,此时点T的坐标为(﹣3,1)或(﹣3,﹣1).‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2014•四川)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;‎ ‎(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(1)求出f(x)的导数得g(x),再求出g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断g(x)的单调性,求出g(x)的最小值;‎ ‎(2)利用等价转换,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,所以g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b,‎ 又g′(x)=ex﹣2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,‎ ‎∴①当时,则2a≤1,g′(x)=ex﹣2a≥0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b;‎ ‎②当,则1<2a<e,‎ ‎∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex﹣2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex﹣2a>0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,‎ g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b;‎ ‎③当时,则2a≥e,g′(x)=ex﹣2a≤0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e﹣2a﹣b,‎ 综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为;‎ ‎(2)由f(1)=0,⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1,又f(0)=0,‎ 若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,‎ 由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.‎ 若,则gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1‎ 令h(x)= (1<x<e)‎ 则=,∴.由>0⇒x<‎ ‎∴h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,‎ ‎==<0,即gmin(x)<0 恒成立,‎ ‎∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔⇒,‎ 又,所以e﹣2<a<1,‎ 综上得:e﹣2<a<1.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:任老师;qiss;caoqz;清风慕竹;刘长柏;豫汝王世崇;沂蒙松;尹伟云;王老师;maths;szjzl;静定禅心(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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