2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第21练

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2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第21练

第二篇 重点专题分层练 , 中高档题得高分 第 21 练 圆锥曲线的定义、方程与 性质 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度:圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点 . 2 . 题目难度:中等偏难 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一  圆锥曲线的定义及标准方程 方法技巧   (1) 应用圆锥曲线的定义解题时,一定不要忽视定义中的隐含条件 . (2) 凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离,一般可以利用定义进行转化 . (3) 求解圆锥曲线的标准方程的方法是 “ 先定型,后计算 ”. 核心考点突破练 1. 已知 A (0 , 7) , B (0 ,- 7) , C (12 , 2) ,以 C 为一个焦点作过 A , B 的椭圆,则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 √ 解析 答案 解析  由两点间距离公式,可得 | AC | = 13 , | BC | = 15 , | AB | = 14 , 因为 A , B 都在椭圆上 , 所以 | AF | + | AC | = | BF | + | BC | , | AF | - | BF | = | BC | - | AC | = 2<14 , 故 F 的轨迹是以 A , B 为焦点的双曲线的下支 . 由 c = 7 , a = 1 ,得 b 2 = 48 , √ 解析 答案 ∴ 双曲线渐近线方程为 y = ± x . 解析 答案 又 | PF 1 | - | PF 2 | = 2 , 所以 | PF 1 | = 3 , | PF 2 | = 1. 所以有 | PF 1 | 2 = | PF 2 | 2 + | F 1 F 2 | 2 , 即 △ PF 1 F 2 为直角三角形,且 ∠ PF 2 F 1 为直角, 解析   由题意得抛物线的标准方程为 x 2 = 16 y , 焦点 F (0 , 4) , 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 由 | AB | ≤ | AF | + | BF | = ( y 1 + 4) + ( y 2 + 4) = y 1 + y 2 + 8 , 解析 答案 8 ∴ 线段 AB 的中点 P 离 x 轴最近时点 P 的纵坐标为 8. 考点二 圆锥曲线的几何性质 方法技巧   (1) 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,就是确立一个关于 a , b , c 的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ,再根据 a , b , c 的关系消掉 b 得到 a , c 的关系式 . (2) 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 . √ 解析 答案 √ 解析 答案 解析  如图,过点 F 1 向 OP 的反向延长线作垂线,垂足为 P ′ ,连接 P ′ F 2 , 由 题意可知,四边形 PF 1 P ′ F 2 为平行四边形,且 △ PP ′ F 2 是直角三角形 . 因为 | F 2 P | = b , | F 2 O | = c ,所以 | OP | = a . 7.(2017· 山东 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 ( a > 0 , b > 0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 交于 A , B 两点,若 | AF | + | BF | = 4| OF | ,则该双曲线的渐近线方程为 __________. 解析 答案 解析   设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 又 ∵ | AF | + | BF | = 4| OF | , 8.(2017· 全国 Ⅰ ) 已知双曲线 C : 的 右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M , N 两点 . 若 ∠ MAN = 60° ,则 C 的离心率为 ________. 解析 答案 即 bx - ay = 0 , 又 ∠ MAN = 60° , | MA | = | NA | = b , ∴△ MAN 为等边三角形, 考点三 圆锥曲线的综合问题 方法技巧   (1) 圆锥曲线范围、最值问题的常用方法 定义性质转化法;目标函数法;条件不等式法 . (2) 圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破,然后对一般情况进行证明 . √ 解析 答案 假设焦点在 x 轴上,则 2 + m >- ( m + 1) > 0 , 假设焦点在 y 轴上,则- ( m + 1) > 2 + m > 0 , √ 解析 答案 解析  如图,因为 MF 1 与 x 轴垂直, 即 | MF 2 | = 3| MF 1 |. 所以 b 2 = a 2 ,所以 c 2 = b 2 + a 2 = 2 a 2 , 11. 过抛物线 y = ax 2 ( a >0) 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 A , B 两点,若线段 AF , BF 的长分别为 m , n ,则 = _____. 解析 答案 解析  显然直线 AB 的斜率存在, 解析 答案 [1 , 4] 解析   由已知得 2 b = 2 ,故 b = 1 , 又 a 2 - c 2 = ( a - c )( a + c ) = b 2 = 1 , ∴ 1 ≤ - | PF 1 | 2 + 4| PF 1 | ≤ 4 , 易错易混专项练 √ 解析 答案 2. 若椭圆的对称轴是坐标轴,且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到同侧顶点的距离为 则椭圆的方程为 ______________________. 解析 答案 所以 b 2 = a 2 - c 2 = 9. 解析 答案 (1 , 2) 解析  设 P ( x , y ) ,由题设 条件, 得动点 P 的轨迹方程为 ( x - 1)( x + 1) + ( y - 2)( y - 2) = 0 , 即 x 2 + ( y - 2) 2 = 1 ,它是以 (0 , 2) 为圆心, 1 为半径的圆 . 即 bx ± ay = 0 , 解题秘籍   (1) 椭圆的焦点位置不明确时,要分焦点在 x 轴上或 y 轴上进行讨论 . (2) 范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义,不要忽略离心率本身的限制条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 A.2 B.6 C.8 D.14 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得 a 2 = 9 , a = 3 , ∴ 椭圆的长轴长为 2 a = 6 , 由椭圆的定义可知, | PF 1 | + | PF 2 | = 4 + | PF 2 | = 6 , ∴ | PF 2 | = 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析  因为抛物线方程是 y 2 = 4 x ,所以 F (1 , 0). 又 因为 PF ⊥ x 轴 , √ 解析 答案 所以 k = 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点作直线交抛物线于 P , Q 两点,若线段 PQ 中点的横坐标为 3 , | PQ | = 10 ,则抛物线的方程是 A. y 2 = 4 x B. y 2 = 2 x C. y 2 = 8 x D. y 2 = 6 x √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析  设抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F , P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) , 由抛物线的定义可知, ∵ 线段 PQ 中点的横坐标为 3 , 又 | PQ | = 10 , ∴ 10 = 6 + p ,可得 p = 4 , ∴ 抛物线的方程为 y 2 = 8 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析   设 A ( x , y ) , B 为虚轴的上顶点 , ∵ 右焦点为 F ( c , 0) ,点 B (0 , b ) ,线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得 a 2 = 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析   如图,不妨设 A 在 B 的上方, 其中的一条渐近线为 bx - ay = 0 , 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C : = 1( a > b > 0) 的左焦点, A , B 分别为 C 的左、右顶点 . P 为 C 上一点,且 PF ⊥ x 轴 . 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E . 若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 解析 答案 √ 又 B , D , M 三点共线, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析  不妨设 P 为双曲线右支上一点 , | PF 1 | = r 1 , | PF 2 | = r 2 . 根据 双曲线的定义,得 r 1 - r 2 = 2 a , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 设 F 1 , F 2 分别是椭圆 = 1 的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为 (6 , 4) ,则 | PM | + | PF 1 | 的最大值为 ____. 解析 答案 15 所以 c = 3 ,得焦点为 F 1 ( - 3 , 0) , F 2 (3 , 0 ). 根据 椭圆的定义 ,得 | PM | + | PF 1 | = | PM | + (2 a - | PF 2 |) = 10 + (| PM | - | PF 2 |). 因为 | PM | - | PF 2 | ≤ | MF 2 | , 当且仅当 P 在 MF 2 的延长线上时等号成立, 此时 | PM | + | PF 1 | 的最大值为 10 + 5 = 15. 又 | BP | = | AO | = 2 , ∴ | MB | = | MP | + | BP | = 3. 由抛物线的定义知 | MF | = | MB | = 3 ,故 | FN | = 2| MF | = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(2017· 全国 Ⅱ ) 已知 F 是抛物线 C : y 2 = 8 x 的焦点, M 是 C 上一点, FM 的延长线交 y 轴于点 N . 若 M 为 FN 的中点,则 | FN | = _____. 解析 答案 6 解析  如图,不妨设点 M 位于第一象限内,抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A , 过 点 M 作准线的垂线,垂足为点 B ,交 y 轴于点 P , ∴ PM ∥ OF . 由题意知, F (2 , 0) , | FO | = | AO | = 2. ∵ 点 M 为 FN 的中点, PM ∥ OF , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知抛物线 y 2 = 2 px ( p >0) 上的一点 M (1 , t )( t >0) 到焦点的距离为 5 ,双曲线 = 1( a >0) 的左顶点为 A ,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值为 ___. 解析 答案 3 ∴ M (1 , 4) , 由于双曲线的左顶点 A ( - a , 0) , 且直线 AM 平行于双曲线的一条渐近线 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析   设 P ( x , y )( y ≠ 0) ,取 MF 1 的中点 N , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 整理得 ( x - c ) 2 + y 2 = c 2 ( y ≠ 0) , 所以点 P 的轨迹为以 ( c , 0) 为圆心, c 为半径的圆 ( 去除两点 (0 , 0) , (2 c , 0)) , 要 使得圆与椭圆有公共点, 又 0< e <1 ,
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