2020年河南省六市高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)

2020年河南省六市高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)

的图像大致为 1ln 函数 6. 3 3 D. 3 3 C. B. A. 1tan 1tan ，则 䁧 ， 1 洠䁪 洠 已知 . 䁧 3 D. 䁧 C. 䁧 B. 䁧 A. 时的单调递增区间是 䁧 在 洠 1 ሻ 函数 . 3 1 D. C. 1 B. 3 A. 一个相生关系和两个相克关系的概率为 系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有 了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关 洪范》提出 我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书 3. A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 的真子集个数为 䁪 ȁ Ͳ Ͳ ݔ 集合 . D. 2 A. 0 B. 1 C. ，则 1 1 已知复数 1. 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 年河南省六市高考数学一模试卷(文科) 2020 A. B. C. D. . 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加 . 抽样发现重庆市某家庭 2019 年的总收 入与 2015 年的总收入相比增加了一倍，实现翻番 . 同时该家庭的消费结构也随之发生了变化， 现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列 结论中正确的是 A. 该家庭 2019 年食品消费额是 2015 年食品消费额的一半 B. 该家庭 2019 年教育医疗消费额与 2015 年教育医疗消费额相当 C. 该家庭 2019 年休闲娱乐消费额是 2015 年休闲娱乐消费额的六倍 D. 该家庭 2019 年生活用品消费额与 2015 年生活用品消费额相当 8. 设向量 ȁ ȁ 1 ， ȁ ȁ 6 ，则 等于 A. 1 B. 1 C. 2 D. 9. 《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立 了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用．如图所示 的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的 m 的值 为 0，则输入的 a 的值为 ． ______值为 的最小 个单位后所得的函数为奇函数，则 的图象向右平移 6 cos 15. 若函数 ______． 19 ，则 3 ， 1 18 ，且 䁪 的前 n 项和为 䁪䁪ݔ 14. 已知等比数列 ________． 的方程为 相切，则直线 ，并且与曲线 䁧 1 过点 ，若直线 ሻ䁪 已知函数 处的切线方程为________． 䁧 在点 3 曲线 13. 1 3二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） D. 6 B. 2 C. A. ，则双曲线的离心率为 ȁ1ȁ ȁȁ ， 1 的中点，且 1 曲线左支上一点，M 是 的左、右焦点，P 是双 1 䁧 分别为双曲线 、 1 在平面直角坐标系 xOy 中， 1. 䁧 D. 䁧 3 C. 1䁧 3 B. 1䁧 A. ，则 AC 的取值范围 䳌䁨 1䁧䳌 中， 䳌䁨 在锐角 11. 1 11 C. 2 D. 1 1 B. 3 1 A. 的最小值为 上，则 1 3 上，点 Q 在圆 若点 P 在曲线 1. 6 189 D. 3 93 C. 16 B. 8 1 A. ． 䁪 的前 n 项和 䁪䁪ݔ ，求数列 䁪 䁪 1 令 通项公式； 䁪䁪ݔ 求数列的 1 ． 3 8 9 ， 中， 䁪䁪ݔ 18. 在等差数列 内的概率． 单位：元 䁧 天的利润在 若商店一天购进 10 件该商品，以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当 频数 9 11 15 10 5 日需求量 8 9 10 11 12 ，整理得下表： 单位：件 䁪 商店记录了 50 天该商品的日需求量 䁪 的函数解析式． 单位：件， 䁪 关于当天需求量 单位：元 若商店一天购进商品 10 件，求当天的利润 1 润 30 元． 商品全部退回，但每件商品亏损 10 元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 17. 某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售 1 件该商品可获利润 50 元，若供大于求，剩余 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） ，则此时点 P 构成的图形长度为________． 1 的外接球表面积恰为 䳌䁨 点，若三棱锥 内一动 1䳌1䁨1 ，若点 P 是上底面 䁨 ， 䳌 䳌䁨 1 ， 䳌䁨 1䳌1䁨1 已知直三棱柱 .16 19. 如图，四棱锥 䳌䁨香 中，平面 香 平面 ABCD，E 为线段 AD 的中点，且 ܧ ܧ香 䳌䁨 . 香 䳌 .䳌 䁨 ． 1 证明：平面 䳌ܧ 平面 PAC； 若 䳌䁨香 ，求三棱锥 䁨香 的体积． 20. 已知椭圆 䁨 1 ， 1 ，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，线段 AB 的中点横坐标为 1 ，且 䳌 其中 1 ． 1 求椭圆 C 的标准方程 求实数 的值． 21. 已知函数 3ln 1 3 ． 1 当 8 时，求 的单调性； 如果对任意 ， 恒成立，求 a 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 䁪 cos䁧 sin 为参数 ，以点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 1 求圆 C 的极坐标方程； 过极点 O 作直线与圆 C 交于点 A，求 OA 的中点所在曲线的极坐标方程． 23. 已知函数 ȁ 1ȁ ȁ ȁ ． 1 解不等式 ； 若关于 x 的方程 1 的解集为空集，求实数 a 的取值范围． 4.答案：A 故选 B． ． 1 1 则所求概率 ，共 5 种， ݔ 火木金 䁪 ， ݔ 水木土 䁪 ， ݔ 金水火 䁪 ， ݔ 土金木 䁪 ， ݔ 火土水 䁪 符合要求的基本事件有 种， 1 3 䁪 䁨 解：由题意，现从五种不同属性的物质中任取三种，基本事件总数 系和两个相克关系的基本事件有 5 种，由此能求出相应概率． 种，利用列举法求出取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关 1 3 䁪 䁨 基本事件总数 本题考查了古典概型的计算与运用，属于基础题． 解析： 3.答案：B 故选 C． ， 8 1 真子集的个数为 个， 8 3 ，其子集共有 3ݔ 2， 䁪1䁧 解：由已知条件可得 ，根据真子集的定义即可得出答案． 3ݔ 2， 䁪1䁧 依题意，化简 本题考查集合的真子集，根据真子集的定义即可得出答案，属基础题． 解析： 2.答案：C 故选 D． ． ȁ ȁ ，则 1 1 1 1 1 解：复数 本题考查复数的四则运算和模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题． 解析： 1.答案：D 答案与解析】】 解析：解：根据函数 ሻ 1 洠 在 䁧 ， 令 洠 ，在 䁧 时函数 洠 的减区间为 䁧 ， 则由复合函数同增异减的性质可得，函数 ሻ 1 洠 在 䁧 时的单调递增区间是 䁧 ， 故选：A． 令 洠 ，则由题意可得 ሻ 1 ，且函数 t 单调递减，从而求得函数 t 的减区间． 本题主要考查余弦函数的单调性，余弦函数的在各个象限中的符号，属于中档题． 5.答案：B 解析：解：由 sin cos 1 ， 平方得 sin cos 1 sincos 1 ， 即 sincos 3 ，又 䁧 ， 则 sin ， cos Ͳ ， 所以 sin cos 1 sincos 1 3 ， 即 sin cos ， 所以 1tan 1tan sincos cossin ， 故选：B． 把已知等式两边平方，求得 洠䁪洠 ，进一步得到 洠䁪 洠 的值，化简所求式子即可得答案． 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 6.答案：B 解析： 本题考查由函数的解析式选图象，可用排除法，属于中档题． 可以利用特殊值排除． 解：因为函数 1ln ， ．通过向量模的平方，化简求解即可 故选：A． ． 1 两式作差可得 ， 6 ， 1 可得 ， ȁ ȁ 6 ， ȁ ȁ 1 解析：解：向量 8.答案：A 故选：C． ，不相等，D 错； .1 .1 ，2015 年生活用品的消费额为 .1 .3 由图可知，该家庭 2019 年生活用品的消费额 ，C 对； .1 6 .6 ， .1 .1 ，2015 年休闲旅游的消费额为 .3 .6 由图可知，该家庭 2019 年休闲旅游的消费额 ，B 错； 3 .3 . ， .3 .3 ，2015 年教育医疗的消费额为 . . 由图可知，该家庭 2019 年教育医疗的消费额 相等，A 错； ， . . ，2015 年食品的消费额为 . . 由图可知，该家庭 2019 年食品的消费额 A，2019 年全年的收入为 2A． 解：因为某家庭 2019 年全年的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍，设 2015 年全年的收入为 根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较． 本题考查图表，进行推理，属于基础题． 【试题解析】 解析： 7.答案：C 故选 B． ，排除 D； Ͳ 时， Ͳ Ͳ 1 当 ，排除 时， 1 䁨当 ，排除 䁪ȁ 1ݔ 故定义域 本题考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力． 9.答案：C 解析： 本题考查程序框图的应用，属于基础题． 由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 3䁧 1 ， 3 3 9 ， 满足条件 3 ，执行循环体， ， 9 3 8 1 ， 满足条件 3 ，执行循环体， 3 ， 8 1 3 16 ， 满足条件 3 ，执行循环体， 䁧 16 3 3 93䁧此时，不满足条件 3 ，退出循环，输出 m 的值为 0，可得： 3 93 ， 计算得出： 93 3 ． 故选 C． 10.答案：D 解析： 本题考查抛物线的方程和与圆有关的距离最值问题，属中档题． 先要转化成求抛物线上的点到圆心的距离的最小值，然后减去半径即可． 解：圆 3 1 ，圆心 䁨3䁧 ，半径 1点 P 在抛物线 上，设 䁧 ，则 ， 则 ȁ䁨ȁ 3 6 9 11 ， 当 时， ȁ䁨ȁ 取得最小值 11 ， ȁȁ䁪 ȁ䁨ȁ䁪 1 11 1 ， 故选 D． 11.答案：C 解析： 本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，考查二倍角的正弦公式，涉及余弦函数的单调性， 属于中档题． 结合三角形内角和及锐角三角形知识求得 6 Ͳ Ͳ ，进一步求得角 A 余弦值范围，由正弦定理及二 倍角正弦公式求得 洠 ，从而得到 b 的取值范围． 解：在锐角 䳌䁨 中， 䳌䁨 1 ， 䳌 ， ，且 Ͳ Ͳ ， 故 6 Ͳ Ͳ ， 故 Ͳ 洠 Ͳ 3 ． 由正弦定理可得 1 洠䁪 洠䁪 ， 即 1 sin sincos ， 洠 ， Ͳ Ͳ 3 ． 故选 C． 12.答案：A 解析： 本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运 算能力，属于基础题． 运用双曲线的定义和 1 为直角三角形，则 ȁ1ȁ ȁȁ ȁ1ȁ ，由离心率公式，带入即可得到离心率的 范围． 解：P 为双曲线左支上的一点， 则由双曲线的定义可得， ȁȁ ȁ1ȁ ， 由 ȁȁ ȁ1ȁ ，则 ȁȁ ， ȁ1ȁ ， 是 1 的中点，且 1䁧 由 1 为直角三角形，则 ȁ1ȁ ȁȁ ȁ1ȁ ． 䁧 即有 ． 故选 A． 13.答案： 1 1 解析： 1 本题考查由导数求函数在某点处的切线方程． 先求导数，得切线斜率，再由点斜式求切线方程． 解： 3 ， ， 在点 䁧 处的切线的斜率为 ȁ ， 在点 䁧 处的切线方程为 ，即 ． 故答案为 ． 本题考查导数得几何意义． 设切点为 䁧ln ，由到导数求出切线的斜率，由点斜式得切线方程，再由过点 䁧 1 得 的值， 从而得切线方程． 解： 函数 ሻ䁪 ， 1 ሻ䁪 ， 设切点为 䁧ln ， 函数在点 䁧ln 处的切线方程为 ln 1 ln ， 切线 过点 䁧 1 ， 1 ln 1 ln ， 解得 1 ， 切线方程为 1 ． 故答案为 1 ． 14.答案：2018 解析： 根据等比数列的性质求解 䁪 ，即可求解 19 的值本题主要考查等比数列的应用，等比数列前 n 项和 的求法，属于基础题． 解：由题意， 1 18 ， 3 ， 即 18 18 3 18 ． 解得： 1 ． 那么 䁪 11 䁪 1 则 19 1811 11 18 ． 故答案为：2018 15.答案： 3 解析：解：把函数 cos 6 的图象向右平移 个单位后所得的函数 cos 6 cos 6 为奇函数， 6 ，， ， 即 6 ， ， ， 当 1 时， 取最小值为 3 ， 故答案为： 3 ． 利用诱导公式、函数 洠䁪 的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查诱导公式的应用，函数 洠䁪 的图象变换规律，属于基础题． 16.答案： 解析： 本题考查了简单多面体 棱柱、棱锥、棱台 及其结构特征，点的轨迹及球的体积公式，属中档题． 先由题意得到三棱锥 䳌䁨 的外接球的球心在线段 1 上，设为 ，根据题设条件求得点 P 的轨 迹为上底面 1䳌1䁨 所形成的轨迹是以 1 为圆心的半圆，2 为半径的半圆，再求轨迹所对应的长度即 可． 解：由题意可得： 三棱锥 䳌䁨 的外接球的球心在线段 1 上，不妨设为 ， 分别取 AC、 1䁨1 的中点 ， 1 ，则点 在线段 1 上， 所以 䳌䁨 的外接圆的半径为 ， 设球 O 的半径为 R，则 ，解得 1 ， 所以 1 8 3 ， 则 1 1 3 ， 而点 P 在上底面 1䳌1䁨 所形成的轨迹是以 1 为圆心， 1 为半径的半圆， 所以 1 1 1 ， 因此点 P 所构成的图形的长度为 ． 故答案为： ． 17.答案：解： 1 当 䁪 1 时， 1 䁪 1 3 3䁪 ，当 䁪 Ͳ 1 时， 䁪 1 䁪 1 6䁪 1 ， 所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 3䁪䁧䁪 1 6䁪 1䁧1 䁪 Ͳ 1 天内有 9 天获得的利润为 380 元，有 11 天获得的利润为 440 元，有 15 天获得的利润为 500 元， 有 10 天获得的利润为 530 元，有 5 天获得的利润为 560 元． 若利润在 䁧 单位：元 内，则该商品的日需求量可以为 9 件、10 件、11 件， ， ܧ 香 香 1 䳌䁨 ， 䳌䁨香 ， ܧ 䳌 平面 PBE，故 AC ܧ䳌 平面 PBE， 䁨 知 1 解：由 平面 PAC． ܧ䳌 平面 平面 PAC， 䁨 平面 PBE，又 䁨 平面 PBE， 䳌 ，PE， 䳌 ܧ ， 䳌 䁨 ，又 䁨 ܧ ，平面 ABCD 䁨 平面 ABCD，又 ܧ ， 䳌䁨香 香 平面 香 平面 ABCD，平面 香 平面 又 ， 香 ܧ ，，E 是 AD 的中点 香 证明： 1 19.答案： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． ，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和． 䁪 䁪 1 䁪 3 知 1 由 得首项和公差，即可得到所求通项； 的公差设为 d，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可 䁪䁪ݔ 等差数列 1 解析： ． 䁪 䁪 1 䁪 3 䁪 1 䁪 所以前 n 项和 ，公差为 2 的等差数列， 1 是首项为 䁪䁪ݔ 所以数列 ， 䁪 䁪 1 䁪 3 知 1 由 ； 䁪 1 䁪 1 䁪 1 可得 ， 1 ， 1 解得 ， 1 9 9 ， 1 可得 ， 3 8 9 ， 的公差设为 d， 䁪䁪ݔ 等差数列 1 18.答案：解： 即可求解概率． 运用表格的数据求解：日需求量可以为 9 件、10 件、11 件，其对应的频数分别为 11，15，10， 利润， 时， 䁪 1 利润，当 时， 1 䁪 1 根据题意分段求解得出当 1 关系，正确代入数据即可． 解析：本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，仔细阅读题意，得出有用的数据，理清 ． 18 1111 内的概率 单位：元 䁧 其对应的频数分别为 11，15，10，则当天利润在 四边形 BCDE 是平行四边形， 䁨香 䳌ܧ ， 䁨香䳌ܧ ， 䁨 䁨香 ， 香 䳌 ， ܧ 香ܧ 䳌䁨 ， ܧ ܧ 3 ， 䳌ܧ 䳌 ܧ ，即 䁨香 ， 䁨 香 䁨香 3 ． 䁨香 1 3 䁨香 ܧ 1 3 1 3 3 ． 解析：本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． 1 由面面垂直的性质可得 ܧ 平面 ABCD，故 ܧ 䁨 ，结合 䳌 䁨 可得 䁨 平面 PBE，于是 平面 䳌ܧ 平面 PAC； 根据四边形 BCDE 是平行四边形可证明 䁨 䁨香 ，利用勾股定理计算各线段长度，带入棱锥的体 积公式计算体积． 20.答案：解： 1 由椭圆的焦距为 2，知 1 ，又 1 ， ，故 3 ， 椭圆 C 的标准方程为 3 1 ． 由 䳌 ，可知 A，B，F 三点共线，设点 1䁧1 ， 䳌䁧.若直线 䳌 轴，则 1 1 ，不符合题意 当 AB 所在直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 1 ． 由 1䁧 3 1䁧 消去 y 得 3 8 1 . Ͳ Ͳ 的判别式 6 3 1 1 1 ． 1䁧 8 11 3 6 1 3 ， 1 8 3 1 1 ， 1 ． 1䁧 13 . 又 1 1䁧 1 ， 䳌 1䁧 ， 䳌 ， 即 1 1 1 ， 11 1 ，又 1 ， 3 ． 解析：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，是一道难题． 1 由条件可知 1 ， ，由此能求出椭圆的标准方程； 由 䳌 䳌 ，可知 A，B，F 三点共线，设 1䁧1 ， 䳌䁧 ，若直线 䳌 轴，则 1 1 ， 不合意题意． 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时，设方程为 1. 由 1 3 1得 3 8 1 ，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数 的值． 21.答案：解： 1 当 8 时， 的定义域为 1䁧 ， ln 1 8 ln 1 ， 令 ，解得 1 ． 当 1 Ͳ Ͳ 1 时， Ͳ ，则 在 1䁧 1 上单调递减 当 1 时， ，则 在 1䁧 上单调递增； 当 时， ln 1 ． 设函数 ln 1 ，则 ln 1 1 ． 设函数 ln 1 1 ， 䁧 ，则 1 ， 所以 在 䁧 上单调递增，则 ， 从而 ，所以 在 䁧 上单调递增． 当 时， ， 则 在 䁧 上单调递增，又 ，则 符合题意． 当 Ͳ 时，设 在 䁧 上的唯一零点为 ， 当 䁧 时， Ͳ ；当 䁧 时， ． 故 在 䁧 上单调递减，在 䁧 上单调递增，所以 Ͳ ，不符合题意． 综上，a 的取值范围为 䁧 . 解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究闭区间上函数的最值和导数中的恒成 立问题，是较难题． 1 当 8 时， 的定义域为 1䁧 ， ln 1 ，令 ，解得 1 ，分析可得函数 单调性； 设函数 ln 1 ，则 ln 1 1 . 设函数 ln 1 1 ， 䁧 ，利用导数得出 单调递增，则 ，从而 ， 所以 在 䁧 上单调递增 . 再分 和 Ͳ 两种情况研究即可． 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于 的解集为空集，求得实数 a 的取值范围． 1 范围．再根据关于 x 的方程 的取值 1 的值域，可得 的单调性，由此求得函数 的解析式可得 中分段函数 1 由 原不等式解集． ，分类讨论求得 3 1䁧 1 3䁧 1 Ͳ Ͳ 1 3 1䁧 1 ȁ 1ȁ ȁ ȁ 化简函数的解析式为函数 1 解析： ． 䁧 1 的解集为空集，所以实数 a 的取值范围是 1 根据已知关于 x 的方程 ． ， 1 䁧 的取值范围是 1 进而 ， 䁧 的取值范围是 从而 ， 䁧 的值域为 ，所以函数 1 的最小值为 并且 上单调递增． 1䁧 在区间 上单调递减， 䁧 1 在区间 的解析式可知： 中分段函数 1 由 3 ݔ. 䁪ȁ Ͳ 所以原不等式解集为 ． Ͳ ，解得 3 1 时，由 Ͳ 1 当 ． 舍去 得 3 时，由 1 Ͳ Ͳ 1 ；当 3 解得： 3 时，由 1 当 ， 3 1䁧 1 3䁧 1 Ͳ Ͳ 1 3 1䁧 1 ȁ 1ȁ ȁ ȁ 函数 1 23.答案：解： 的结论，进一步利用极坐标方程． 1 利用 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； 1 的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式 洠. 所以 OA 的中点所在曲线的极坐标方程为 ， 洠 ，即 洠 ，所以 䁧 ，则 䁧 设 OA 的中点为 ； 洠 所以圆 C 的极坐标方程是 ， 䁧 洠䁧 洠䁪 又点 O 为极点，Ox 为极轴，所以 ， ，所以圆 C 的普通方程 1 cos sin 由 1 答案：解：.22 中档题．