2010-2017高考数学全国卷分类汇编解析几何

2010-2017高考数学全国卷分类汇编解析几何

2010-2017 新课标全国卷分类汇编（解析几何） 1．（2017 课标全国Ⅰ，理 10）已知 为抛物线 ： 的交点，过 作两条互相垂直 ， ，直线 与 交于 、 两点，直线 与 交于 ， 两点， 的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设 倾斜角为 ．作 垂直准线， 垂直 轴 易知 同理 ， ， 又 与 垂直，即 的倾斜角为 ，而 ，即 ． ，当 取等号，即 最小值为 ，故选 A 2．（2017 课标全国Ⅰ，理 15）已知双曲线 ，（ ， ）的右顶点为 ，以 为圆心， 为 半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为 _______． 【答案】 【解析】如图， F C 2 4y x= F 1l 2l 1l C A B 2l C D E AB DE+ 16 14 12 10 AB θ 1AK 2AK x 1 1 cos 2 2   ⋅ + = =    = − − =    AF GF AK AK AF P PGP P θ （几何关系） （抛物线特性） cosAF P AFθ⋅ + =∴ 1 cos PAF θ= − 1 cos PBF θ= + ∴ 2 2 2 2 1 cos sin P PAB θ θ= =− DE AB DE π 2 θ+ 2 2 2 2 π cossin 2 P PDE θθ = =  +   2 4y x= 2P = ∴ 2 2 1 12 sin cosAB DE P θ θ  + = +   2 2 2 2 sin cos4 sin cos θ θ θ θ += 2 2 4 sin cosθ θ= 2 4 1 sin 24 = θ 2 16 16sin 2θ= ≥ π 4 θ = AB DE+ 16 2 2 2 2: x yC a b − 0a > 0b > A A b A A C M N 60MAN∠ = ° C 2 3 3 ， ∵ ，∴ ， ∴ 又∵ ，∴ ，解得 ∴ 3．（2017 课标全国Ⅰ，理 20）（12 分）已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆 上． （1）求 的方程； （2）设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过 定点． 【解析】（1）根据椭圆对称性，必过 、 又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过 三点 将 代入椭圆方程得 ，解得 ， ∴椭圆 的方程为： ． （2） 当斜率不存在时，设 得 ，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． 当斜率存在时，设 ， OA a= AN AM b= = 60MAN∠ = ° 3 2AP b= 2 2 2 23 4OP OA PA a b= − = − 2 2 3 2tan 3 4 bAP OP a b θ = = − tan b a θ = 2 2 3 2 3 4 b b aa b = − 2 23a b= 2 2 1 2 31 1 3 3 be a = + = + = C 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > ( )1 1 1P ， ( )2 0 1P ， 3 31 2P  −    ， 4 31 2P       ， C C l 2P C A B 2P A 2P B 1− l 3P 4P 4P 1P 2 3 4P P P， ， ( )2 3 30 1 1 2P P  −    ， ， ， 2 2 2 1 1 3 1 4 1 b a b  =   + = 2 4a = 2 1b = C 2 2 14 x y+ = ① ( ) ( ): A Al x m A m y B m y= −， ， ， ， 2 2 1 1 2 1A A P A P B y yk k m m m − − − −+ = + = = − 2m = l ② ( )1l y kx b b= + ≠∶ ( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， ， ， 联立 ，整理得 ， ， 则 又 ，此时 ，存在 使得 成立． ∴直线 的方程为 当 时， ，所以 过定点 ． 4．（2017 课标全国Ⅱ，理 9）若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线 的渐近线方程为 ，圆心 到 渐 近 线 距 离 为 ， 则 点 到 直 线 的 距 离 为 ， 即 ，整理可得 ，双曲线的离心率 ．故选 A． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)， 常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式， 结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不 等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)． 5．（2017 课标全国Ⅱ，理 16）已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的 延长线交 轴于点 .若 为 的中点，则 . 【答案】6 【解析】 2 24 4 0 y kx b x y = +  + − = ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kbx b+ + + − = 1 2 2 8 1 4 kbx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 1 4 bx x k −⋅ = + 2 2 1 2 1 2 1 1 P A P B y yk k x x − −+ = + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2 x kx b x x kx b x x x + − + + −= 2 2 2 2 2 8 8 8 8 1 4 4 4 1 4 kb k kb kb k b k − − + += − + ( ) ( )( ) 8 1 14 1 1 k b b b −= = −+ − ， 1b ≠ 2 1b k⇒ = − − 64k∆ = − k 0∆ > l 2 1y kx k= − − 2x = 1y = − l ( )2 1−， )00(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xC ， 4)2( 22 =+− yx 2 C 2 3 2 3 32 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 0bx ay± = ( )2,0 2 22 1 3d = − = ( )2,0 0bx ay+ = 2 2 2 0 2 3b a bd ca b + ×= = = + 2 2 2 4( ) 3c a c − = 2 24c a= 2 2 4 2ce a = = = ce a = F xyC 8: 2 = M C FM y N M FN =FN 试题分析：如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作 与 点 ， 与 点 ， 由 抛 物 线 的 解 析 式 可 得 准 线 方 程 为 ， 则 ，在直角梯形 中，中位线 ，由抛物线的定义有： ，结合题意，有 ，故 ． 【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用． 【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、 抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起 来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用 抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 6．（2017 课标全国Ⅱ，理 20）（12 分）设 为坐标原点，动点 在椭圆 上， 过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 . (1)求点 的轨迹方程； (2)设点 在直线 上，且 . 证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦 点 . 解：（1）设 ，则 ，将点 代入 中得 ，所以点 的轨迹方程 为 . （2）由题可知 ，设 ，则 ， .由 得 ，由（1） 有 ，则有 ，所以 ，即过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 . 7．（2017 课标全国Ⅲ，理 1）已知集合 A= ，B= ，则 A B 中元 素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】 表示圆 上所有点的集合， 表示直线 上所有点的集合， { }2 2( , ) 1x y x y+ =│ { }( , )x y y x=│ ∩ x F' MB l⊥ B NA l⊥ A 2x = − 2, 4AN FF'= = ANFF' ' 32 AN FFBM += = 3MF MB= = 3MN MF= = 3 3 6FN FM NM= + = + = O M 12: 2 2 =+ yxC M x N P NMNP 2= P Q 3−=x 1=⋅ PQOP P OQ l C F )( yxP ， )2 2( yxM ， M C 122 22 =+ yx P 222 =+ yx )01( ，−F )()3( nmPtQ ，，，− )1()3( nmPFtOQ −−−=−= ，，， )3()( ntmPQnmOP −−−== ，，， 1=⋅OQOP 13 22 =−+−− ntnmm 222 =+ nm 033 =−+ tnm 033 =−+=⋅ tnmPFOQ P OQ l C F A 2 2 1x y+ = B y x= 故 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即 元素的个数为2，故选B. 8．（ 2017 课 标 全 国 Ⅲ ， 理 5）已知双曲线 C (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为 ,且与椭圆 有公共焦点，则 C 的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为 ，则 ① 又∵椭圆 与双曲线有公共焦点，易知 ，则 ② 由①②解得 ，则双曲线 的方程为 ，故选B. 9．（2017 课标全国Ⅲ，理 10）已知椭圆 C： ，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A1，A2， 且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵以 为直径为圆与直线 相切，∴圆心到直线距离 等于半径， ∴ 又∵ ，则上式可化简为 ∵ ，可得 ，即 ∴ ，故选A 10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且与 相切 的圆上．若 ，则 的最大值为（） A．3 B． C． D．2 【答案】A 2 2 2 2 1x y a b − = 5 2y x= 2 2 112 3 x y+ = 2 2 18 10 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 15 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = 2 2 2 2 1x y a b + = 2 0bx ay ab− + = 6 3 3 3 2 3 1 3 A B A B x 5 2y x= 5 2 b a = 2 2 112 3 x y+ = 3c = 2 2 2 9a b c+ = = 2, 5a b= = C 2 2 14 5 x y− = 1 2A A 2 0bx ay ab− + = d 2 2 2abd a a b = = + 0, 0a b> > 2 23a b= 2 2 2b a c= − ( )2 2 23a a c= − 2 2 2 3 c a = 6 3 ce a = = ABCD 1AB = 2AD = P C BD AP AB ADλ µ= +   λ µ+ 2 2 5 【解析】由题意，画出右图． 设 与 切于点 ，连接 ． 以 为原点， 为 轴正半轴， 为 轴正半轴建立直角坐标系， 则 点坐标为 ． ∵ ， ． ∴ ． ∵ 切 于点 ． ∴ ⊥ ． ∴ 是 中斜边 上的高． 即 的半径为 ． ∵ 在 上． ∴ 点的轨迹方程为 ． 设 点坐标 ，可以设出 点坐标满足的参 数 方 程如下： 而 ， ， ． ∵ ∴ ， ． 两式相加得： (其中 ， ) 当且仅当 ， 时， 取得最大值 3． 11．（2017 课标全国Ⅲ，理 20）（12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 P（4，-2），求直线 l 与圆 M 的方程. BD C E CE A AD x AB y C (2,1) | | 1CD = | | 2BC = 2 21 2 5BD = + = BD C E CE BD CE Rt BCD△ BD 12 | | | |2 2 22| | 5| | | | 55 BCD BC CDSEC BD BD ⋅ ⋅ ⋅ = = = =△ C 2 55 P C P 2 2 4( 2) ( 1) 5x y− + − = P 0 0( , )x y P 0 0 22 5 cos5 21 5sin5 x y θ θ  = +  = + 0 0( , )AP x y= (0,1)AB = (2,0)AD = (0,1) (2,0) (2 , )AP AB ADλ µ λ µ µ λ= + = + =   0 1 51 cos2 5xµ θ= = + 0 21 5sin5yλ θ= = + 2 2 2 51 5sin 1 cos5 5 2 5 52 ( ) ( ) sin( )5 5 2 sin( ) 3 λ µ θ θ θ ϕ θ ϕ + = + + + = + + + = + + ≤ 5sin 5 ϕ = 2 5cos 5 ϕ = π 2 π2 kθ ϕ= + − k ∈Z λ µ+ ( )A O D x y B P C E 解：（1）设 由 可得 又 =4 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 所以 OA⊥OB 故坐标原点 O 在圆 M 上. （2）由（1）可得 故圆心 M 的坐标为 ，圆 M 的半径 由于圆 M 过点 P（4，-2），因此 ,故 即 由（1）可得 ， 所以 ，解得 . 当 m=1 时，直线 l 的方程为 x-y-2=0，圆心 M 的坐标为（3,1），圆 M 的半径为 ，圆 M 的 方程为 当 时，直线 l 的方程为 ，圆心 M 的坐标为 ，圆 M 的半径为 ， 圆 M 的方程为 12.（2016 课标全国Ⅰ，理 5）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的 距离为 ，则 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【解析】： 表示双曲线，则 ，∴ 由双曲线性质知： ，其中 是半焦距，∴焦距 ，解 ( ) ( )1 1 2 2 2A x ,y ,B x ,y ,l : x my= + 2 2 2 x my y x = +  = 2 1 22 4 0 则 4y my , y y− − = = − ( )22 2 1 21 2 1 2 1 2= = 故 =2 2 4 y yy yx ,x , x x 1 2 1 2 - 4= =-14 y y x x ( ) 2 1 2 1 2 1 2+ =2 + = + +4=2 4y y m,x x m y y m + ( )2+2，m m ( )22 22r m m= + + 0AP BP =   ( )( ) ( )( )1 2 1 24 4 2 2 0x x y y− − + + + = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 + 2 20 0x x x x y y y y− + + + + = 1 2 1 2=- 4， =4y y x x 22 1 0m m− − = 11或 2m m= = − 10 ( ) ( )2 23 1 10x y− + − = 1 2m = − 2 4 0x y+ − = 9 1，-4 2      85 4 2 29 1 85+ +4 2 16x y   − =       13 2 2 2 2 =−−+ nm y nm x 4 n )3,1(− )3,1(− )3,0( )3,0( 2 2 2 2 13 x y m n m n − =+ − ( )( )2 23 0m n m n+ − > 2 23m n m− < < ( ) ( )2 2 2 23 4c m n m n m= + + − = c 2 2 2 4c m= ⋅ = 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 12 10 8 6 4 2 2 4 x Q P N M A B ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 36 36 3 4 12 1 | | 1 | | 1 3 4 3 4M N m m m MN m y y m m m + + + = + − = + =+ + 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 14 12 10 8 6 4 2 2 4 x E D A B C 得 ∴ ，故选 A． 13.（2016 课标全国Ⅰ，理 10）以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 两点，交 的准线于 两点，已知 , ，则 的焦点到准线的距离为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为 ，设圆的方程为 ，如图： 设 ， ，点 在抛物线 上， ∴ ……①；点 在圆 上， ∴ ……②；点 在圆 上， ∴ ……③；联立①②③解得： ， 焦点到准线的距离为 ．故选 B． 14.（2016 课标全国Ⅰ，理 20）（本小题满分 12 分） 设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 两点，过 作 的平行线交 于点 ． （Ⅰ）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程； （Ⅱ）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交 于 两点，求四边形 面积的取值范围． 【解析】：⑴ 圆 A 整理为 ，A 坐标 ，如图， ，则 ，由 ， 则 ， 根据椭圆定义为一个椭圆，方程为 ，( )； ⑵ ；设 ，因为 ，设 ， 联 立 1m = 1 3n− < < C C BA, C ED, 24=AB 52=DE C 2 2y px= ( )0p > 2 2 2x y r+ = ( )0 ,2 2A x , 52 pD −   ( )0 ,2 2A x 2 2y px= 08 2px= , 52 pD −   2 2 2x y r+ = 2 25 2 p r + =   ( )0 ,2 2A x 2 2 2x y r+ = 2 2 0 8x r+ = 4p = 4p = 015222 =−++ xyx A l )0,1(B x l A DC, B AC AD E EBEA + E E 1C l 1C NM , B l A QP, MPNQ ( )2 21 16x y+ + = ( )1,0− BE AC ∥ C EBD=∠ ∠ ,AC AD D C= =则∠ ∠ EBD D∴ =∠ ∠ ， EB ED= 4 | |AE EB AE ED AD AB∴ + = + = = > 2 2 14 3 x y+ = 0y ≠ 2 2 1 : 14 3 x yC + = : 1l x my= + PQ l⊥ ( ): 1PQ y m x= − − F ： ，则 圆心 到 距离 ， 所以 ， 15.（2016 课标全国Ⅱ，理 4）圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 a= （ ） （A） （B） （C） （D）2 16.（2016 课标全国Ⅱ，理 11）已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上， 与 轴垂直， ,则 E 的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）2 2 2 2 8 13 0x y x y+ − − + = 1 0ax y+ − = 4 3 − 3 4 − 3 1 2,F F 2 2 2 2: 1x yE a b − = M E 1MF x 2 1 1sin 3MF F∠ = 2 3 2 3 1l C与椭圆 2 2 1 14 3 x my x y = + + = ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = A PQ ( ) 2 2 | 1 1 | | 2 | 1 1 m md m m − − −= = + + 2 2 2 2 2 2 4 4 3 4| | 2 | | 2 16 1 1 m mPQ AQ d m m += − = − =+ + ( ) )2 2 2 2 2 2 2 12 11 1 4 3 4 24 1 1| | | | 24 12,8 312 2 3 4 1 3 4 3 1 MPNQ m m mS MN PQ m m m m + + + ∴ = ⋅ = ⋅ ⋅ = = ∈ + + + + + 17.（2016 课标全国Ⅱ，理 20）（本小题满分 12 分）已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上， ． （Ⅰ）当 时，求 的面积；（Ⅱ）当 时，求 的取值范 围． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求直线 的方程，再求点 的纵坐标，最后求 的面积；（Ⅱ） 设 ，，将直线 的方程与椭圆方程组成方程组，消去 ，用 表示 ，从而表示 ， 同理用 表示 ，再由 求 . 试题解析：（I）设 ，则由题意知 ，当 时， 的方程为 ， . :E 2 2 13 x y t + = x A E ( 0)k k > E ,A M N E MA NA⊥ 4,| | | |t AM AN= = AMN∆ 2 AM AN= k 由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 . 将 代入 得 .解得 或 ，所以 . 因此 的面积 . （II）由题意 ， ， . 将直线 的方程 代入 得 . 由 得 ，故 . 由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 ， 由 得 ，即 . 当 时上式不成立， 因此 . 等价于 ， 即 .由此得 ，或 ，解得 . 因此 的取值范围是 . 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 18.（2016 课标全国Ⅲ，理 11）已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左焦点， 分别为 的左，右顶点. 为 上一点，且 轴.过点 的直线 与线段 交于点 ， 与 轴交于点 .若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A O F C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ,A B C P C PF x⊥ A l PF M y E BM OE C 1 3 1 2 2 3 3 4 考点：椭圆方程与几何性质． 【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得 的值，进而求得 的 值；（2）建立 的齐次等式，求得 或转化为关于 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位 置，求出 ． 19.（2016 课标全国Ⅲ，理 16）已知直线 ： 与圆 交于 两点， 过 分别做 的垂线与 轴交于 两点，若 ，则 __________________. 【答案】4 考点：直线与圆的位置关系． 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即 几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧 密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为 简捷地得到解决． 20.（2016 课标全国Ⅲ，理 20）（本小题满分 12 分） 已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的 准线于 两点． （I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ； （II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ． ,a c e , ,a b c b a e e l 3 3 0mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = ,A B ,A B l x ,C D 2 3AB = | |CD = C 2 2y x= F x 1 2,l l C ,A B C P Q， F AB R PQ AR FQ PQF∆ ABF∆ AB 2 1y x= − 试题解析：由题设 .设 ，则 ，且 . 记过 两点的直线为 ，则 的方程为 . .....3 分 （Ⅰ）由于 在线段 上，故 . 记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ， 所以 . ......5 分 （Ⅱ）设 与 轴的交点为 ， 则 . 由题设可得 ，所以 （舍去）， . 设满足条件的 的中点为 . 当 与 轴不垂直时，由 可得 . 而 ，所以 . 当 与 轴垂直时， 与 重合，所以，所求轨迹方程为 . ....12 分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法． 【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为 利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代 入法求解时必须找准主动点与从动点． 21.(2015 课标全国Ⅰ，理 5) 已知 是双曲线 上的一点， 是 的两个焦 点，若 ,则 的 取值范围是 （A) (B) (C) (D) 答案：A )0,2 1(F bylayl == :,: 21 0≠ab )2,2 1(),,2 1(),,2 1(),,2(),0,2( 22 baRbQaPbbBaA +−−− BA, l l 0)(2 =++− abybax F AB 01 =+ ab AR 1k FQ 2k 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak =−=−==− −=+ −= AR FQ l x )0,( 1xD 2,2 1 2 1 2 1 1 baSxabFDabS PQFABF −=−−=−= ∆∆ 22 1 2 1 1 baxab −=−− 01 =x 11 =x AB ),( yxE AB x DEAB kk = )1(1 2 ≠−=+ xx y ba yba =+ 2 )1(12 ≠−= xxy AB x E D 12 −= xy 0 0( , )M x y 2 2: 12 xC y− = 1 2,F F C 1 2 0MF MF⋅ < 0y 3 3( , )3 3 − 3 3( , )6 6 − 2 2 2 2( , )3 3 − 2 3 2 3( , )3 3 − 解析：由条件知 F1(－ ，0)，F2( ，0)， ＝(－ －x0，－y0)， ＝( －x0，－y0)， －3＜0. ① 又 ＝1， ＝2 +2.代入①得 ，∴－ ＜y0＜ 22.(2015 课标全国Ⅰ，理 14)一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为 答案： +y2＝ 解析：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0， －2)，设圆心为(a，0)(a＞0)，所以 ＝4－a，解得 a＝ ，故圆心为 ，此时半径 r＝4－ ，因此该圆的标准方程是 +y2＝ 23. (2015 课标全国Ⅰ，理 20)在直角坐标系 中，曲线 与直线 交于 两点。 (Ⅰ)当 时，分别求 在点 和 处的切线方程. (Ⅱ) 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 说明理由。 解：(1)由题设可得 M(2 ，a)，N(－2 ，a)，或 M(－2 ，a)，N(2 ，a). 又 y'＝ ，故 y＝ 在 x＝2 处的导数值为 ，C 在点(2 ，a)处的切线方程为 y－a＝ (x－2 )，即 x－y－a＝0. y＝ 在 x＝－2 处的导数值为－ ，C 在点(－2 ，a)处的切线方程为 y－a＝－ (x+2 )，即 x+y+a＝0. 故所求切线方程为 x－y－a＝0 和 x+y+a＝0. 5 分 (2)存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2. 将 y＝kx+a 代入 C 的方程得 x2－4kx－4a＝0.故 x1+x2＝4k，x1x2＝－4a. 从而 k1+k2＝ ＝ 当 b＝－a 时，有 k1+k2＝0，则直线 PM 的倾角与直线 PN 的倾角互补， 故∠OPM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意. 12 分 24.(2015 课标全国Ⅱ，理 7)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝(　　) 　A．2 B．8 C．4 D．10 答案：C 2 2 116 4 x y+ = x xOy 2 : 4 xC y = : ( 0)l y kx a a= + > ,M N 0k = C M N y P k OPM OPN∠ = ∠ 解析：设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将点 A，B，C 代入，得 解得 则圆的方程为 x2+y2－2x+4y－20＝0.令 x＝0 得 y2+4y－20＝0， 设 M(0，y1)，N(0，y2)，则 y1，y2 是方程 y2+4y－20＝0 的两根， 由根与系数的关系，得 y1+y2＝－4，y1y2＝－20，故|MN|＝|y1－y2|＝ ＝4 . 25. (2015 课标全国Ⅱ，理 11)已知 A，B 为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形， 且顶角为 120°，则 E 的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 答案：D 解析：设双曲线的标准方程为 ＝1(a＞0，b＞0)，点 M 在右支上， 如图所示，∠ABM＝120°，过点 M 向 x 轴作垂线，垂足为 N，则∠MBN＝60°. ∵AB＝BM＝2a， ∴MN＝2asin 60°＝ a，BN＝2acos 60°＝a. ∴点 M 坐标为(2a， a)，代入双曲线方程 ＝1，整理，得 ＝1，即 ＝1. ∴e2＝1+ ＝2，∴e＝ . 26．(2015 课标全国Ⅱ，理 20)已知椭圆 C：9x2+y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点 ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能，求此时 l 的斜 率;若不能，说明理由. 解：(1)设直线 l：y＝kx+b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). 将 y＝kx+b 代入 9x2+y2＝m2 得(k2+9)x2+2kbx+b2－m2＝0，故 xM＝ ，yM＝kxM+b＝ . 于是直线 OM 的斜率 kOM＝ ＝－ ，即 kOM·k＝－9. 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形 OAPB 能为平行四边形.因为直线 l 过点 ， 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k＞0，k≠3.由(1)得 OM 的方程为 y＝－ x. 设点 P 的横坐标为 xP. 由 ，即 xP＝ . 将点 的坐标代入 l 的方程得 b＝ ，因此 xM＝ . 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP＝2xM. 于是 ＝2× ，解得 k1＝4－ ，k2＝4+ . 因为 ki＞0，ki≠3，i＝1，2， 所以当 l 的斜率为 4－ 或 4+ 时，四边形 OAPB 为平行四边形. 27.(2014 课标全国Ⅰ，理 4)已知 F 为双曲线 C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线 的距离为(　　)． A． B．3 C． D．3m 答案：A 解 析 ： 由 题 意 ， 可 得 双 曲 线 C 为 ， 则 双 曲 线 的 半 焦 距 . 不 妨 取 右 焦 点 ， 其 渐 近 线 方 程 为 ， 即 . 所 以 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 .故选 A. 28.(2014 课标全国Ⅰ，理 10)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点．若 ，则|QF|＝(　　)． A． B．3 C． D．2 答案：B 解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离 p＝|FM|＝4. 过 Q 作 QH⊥l 于 H，则|QH|＝|QF|. 由题意，得△PHQ∽△PMF， 则有 ，∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3. 29.(2014 课标全国Ⅰ，理 20)已知点 A(0，－2)，椭圆 E： (a＞b＞0)的离心率为 ，F 是椭圆 E 3 3m 2 2 =13 3 x y m − = 3 3c m + ( )3 3,0m + 1y x m = ± 0x my± = 3 3 3 1 md m += = + 4FP FQ=  7 2 5 2 | | | | 3 | | | | 4 HQ PQ MF PF = = 2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 的右焦点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点． (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程． 分析：(1)由过 A(0，－2)，F(c,0)的直线 AF 的斜率为 或过两点的直线斜率公式可求 c，再由 ，可求 a，由 b2＝a2－c2 可求 b2，则椭圆 E 的方程可求． (2)由题意知动直线 l 的斜率存在，故可设其斜率为 k，写出直线方程，并与椭圆方程联立，消去 y，整 理成关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式求出弦 PQ 的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点 O 到直线 PQ 的距离 d，则由 ，可将 S△OPQ 表示成关于 k 的函数，转化为求函数 f(k)的最大值问题．注 意 k 应使得一元二次方程的判别式大于 0. 解：(1)设 F(c,0)，由条件知， ，得 . 又 ，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为 . (2)当 l⊥x 轴时不合题意，故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将 y＝kx－2 代入 ，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当 Δ＝16(4k2－3)＞0，即 时， . 从而 . 又点 O 到直线 PQ 的距离 ， 所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝ ＝ . 设 ，则 t＞0， . 因为 ，当且仅当 t＝2，即 时等号成立，且满足 Δ＞0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 或 . 30.(2014 课标全国Ⅱ，理 10)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两 点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为(　　)． A． B． C． D． 2 3 3 2 3 3 3 2 ce a = = 1 2OPQS PQ d∆ = ⋅ 2 2 3 3c = 3c = 3 2 c a = 2 2 14 x y+ = 2 2 14 x y+ = 2 3 4k > 2 1,2 2 8 2 4 3 4 1 k kx k ± −= + 2 2 2 1 2 2 4 1 4 31 4 1 k kPQ k x x k + ⋅ −= + − = + 2 2 1 d k = + 1 2 d PQ⋅ 2 2 4 4 3 4 1 k k − + 24 3k t− = 2 4 4 44OPQ tS t t t ∆ = =+ + 4 4t t + ≥ 7 2k = ± 7 22y x= − 7 22y x= − − 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 答案：D 解析：由已知得 ，故直线 AB 的方程为 ，即 . 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 Error! 将①代入②并整理得 ，∴ ， ∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝ ＝12. 又原点(0,0)到直线 AB 的距离为 . ∴ . 31.(2014 课标全国Ⅱ，理 16)设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠OMN＝45°，则 x0 的取 值范围是__________． 答案：[－1,1] 解析：如图所示，设点 A(0,1)关于直线 OM 的对称点为 P，则点 P 在圆 O 上， 且 MP 与圆 O 相切，而点 M 在直线 y＝1 上运动，由圆上存在点 N 使∠OMN＝45°， 则∠OMN≤∠OMP＝∠OMA，∴∠OMA≥45°，∴∠AOM≤45°. 当∠AOM＝45°时，x0＝±1.∴结合图象知，当∠AOM≤45°时，－1≤x0≤1，∴x0 的范围为[－1,1]． 32.(2014 课标全国Ⅱ，理 20)设 F1，F2 分别是椭圆 C： (a＞b＞0)的左，右焦点，M 是 C 上一点 且 MF2 与 x 轴垂直．直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b. 分析：在第(1)问中，根据椭圆中 a，b，c 的关系及题目给出的条件可知点 M 的坐标，从而由斜率条件 得出 a，c 的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件， O 是 F1F2 的中点，MF2∥y 轴，可得 a，b 之间的一个关系式，再根据条件|MN|＝5|F1N|，可得|DF1|与|F1N|的 关系，然后可求出点 N 的坐标，代入 C 的方程，可得 a，b，c 的另一关系式，最后利用 a，b，c 的关系式 可求得结论． 解：(1)根据 及题设知 ，2b2＝3ac. 3 ,04F      3tan 30 4y x = ° −   3 3 3 4y x= − 2 3 3 ,3 4 3 , y x y x  = −  = 21 7 3 03 2 16x x− + = 1 2 21 2x x+ = 21 3 2 2 + 3 34 81 13 d = = + 1 1 3 9| | 122 2 8 4OABS AB d∆ = = × × = 2 2 2 2 1x y a b + = 3 4 2 2c a b= − 2 , bM c a      将 b2＝a2－c2 代入 2b2＝3ac， 解得 ， (舍去)． 故 C 的离心率为 . (2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2∥y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点， 故 ， 即 b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|， 设 N(x1，y1)，由题意知 y1＜0， 则 即 代入 C 的方程，得 .② 将①及 代入②得 . 解得 a＝7，b2＝4a＝28，故 a＝7， . 33.(2013 课标全国Ⅰ，理 4)已知双曲线 C： (a＞0，b＞0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为 (　　)． A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x 答案：C 解析：∵ ，∴ . ∴a2＝4b2， .∴渐近线方程为 . 34.(2013 课标全国Ⅰ，理 10)已知椭圆 E： (a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为(　　)． A． B． C． D． 答案：D 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B 在椭圆上， ∴ ①－②，得 ， 即 ， 1 2 c a = 2c a = − 1 2 2 4b a = 1 1 2 , 2 2, c x c y (− − ) = − = 1 1 3 ,2 1, x c y  = −  = − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 2c a b= − 2 2 9 4 1 14 4 a a a a ( − ) + = 2 7b = 2 2 2 2 =1x y a b − 5 2 1 4 x± 1 3 x± 1 2 x± 5 2 ce a = = 2 2 2 2 2 2 5 4 c a be a a += = = 1= 2 b a ± 1 2y x= ± 2 2 2 2 =1x y a b + 2 2 =145 36 x y+ 2 2 =136 27 x y+ 2 2 =127 18 x y+ 2 2 =118 9 x y+ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 1, x y a b x y a b  + =  + = ① ② 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 =0x x x x y y y y a b ( + )( − ) ( + )( − )+ 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 = y y y yb a x x x x ( + )( − )− ( + )( − ) ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2， 而 ＝kAB＝ ，∴ .又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9. ∴椭圆 E 的方程为 .故选 D. 35.(2013 课标全国Ⅰ，理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|. 解：由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3. 设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点 除外)，其方程为 (x≠－2)． (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2， 所以 R≤2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4. 若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝ . 若 l 的倾斜角不为 90°，由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ，可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：y＝k(x＋4)． 由 l 与圆 M 相切得 ，解得 k＝ . 当 k＝ 时，将 代入 ， 并整理得 7x2＋8x－8＝0，解得 x1,2＝ . 所以|AB|＝ . 当 时，由图形的对称性可知|AB|＝ . 综上，|AB|＝ 或|AB|＝ . 36.(2013 课标全国Ⅱ，理 11)设抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直 径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为(　　)． A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x 答案：C 解析：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋ ＝5，则 x0＝5－ . 又点 F 的坐标为 ，所以以 MF 为直径的圆的方程为(x－x0) ＋(y－y0)y＝0. 1 2 1 2 y y x x − − 0 1 1=3 1 2 −(− ) − 2 2 1= 2 b a 2 2 =118 9 x y+ 3 2 2 =14 3 x y+ 2 3 1 | | | | QP R QM r = 2 | 3 | =1 1 k k+ 2 4 ± 2 4 2 24y x= + 2 2 =14 3 x y+ 4 6 2 7 − ± 2 2 1 181 | | 7k x x+ − = 2 4k = − 18 7 2 3 18 7 2 p 2 p ,02 p     2 px −   将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即 －4y0＋8＝0，所以 y0＝4. 由 ＝2px0，得 ，解之得 p＝2，或 p＝8. 所以 C 的方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.故选 C. 37．(2013 课标全国Ⅱ，理 12)已知点 A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 y＝ax＋b(a＞0)将△ABC 分割为面积 相等的两部分，则 b 的取值范围是(　　)． A．(0,1) B． C． D． 答案：B 38.(2013 课标全国Ⅱ，理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： (a＞b＞0) 右焦点的直线 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 . (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD 面积的最大值． 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则 ， ， ，由此可得 . 因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， ，所以 a2＝2b2. 又由题意知，M 的右焦点为( ，0)，故 a2－b2＝3.因此 a2＝6，b2＝3. 所以 M 的方程为 . (2)由 解得 或 因此|AB|＝ . 由题意可设直线 CD 的方程为 y＝ ， 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由 得 3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是 x3,4＝ . 因为直线 CD 的斜率为 1，所以|CD|＝ . 由已知，四边形 ACBD 的面积 . 当 n＝0 时，S 取得最大值，最大值为 . 2 0 2 y 2 0y 16 2 5 2 pp = −   2 11 ,2 2  −    2 11 ,2 3  −   1 1,3 2     2 2 2 2 =1x y a b + 3 0x y+ − = 1 2 2 2 1 1 2 2 =1x y a b + 2 2 2 2 2 2 =1x y a b + 2 1 2 1 = 1y y x x − −− 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 =1b x x y y a y y x x ( + ) −= −( + ) − 0 0 1 2 y x = 3 2 2 =16 3 x y+ 2 2 3 0, 1,6 3 x y x y  + − = + = 4 3 ,3 3 ,3 x y  =  = − 0, 3. x y = = 4 6 3 5 3 33x n n  + − < <    2 2 , 16 3 y x n x y = + + = 22 2 9 3 n n− ± ( − ) 2 4 3 42 | | 93x x n− = − 21 8 6| | | | 92 9S CD AB n= ⋅ = − 8 6 3 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 39.(2012 课标全国，理 4)(设 是椭圆 的左右焦点， 为直线 上的一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为 A. B. C. D. 【解析】选 C. 画图易得, 是底角为 的等腰三角形可得 ，即 , 所以 . 40.(2012 课标全国，理 8)等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的 准线交于 ， ，两点， ，则的实轴长为 A. B. C. D. 【解析】选 C. 易知点 在 上，得 ， . 41.(2012 课标全国，理 20)设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点， 已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 、 两点 (Ⅰ) 若 ， 面积为 ，求 的值及圆 的方程； (Ⅱ)若 、 、 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求 坐标原点到 ， 的距离的比值. 解: (Ⅰ)由对称性可知, 为等腰直角三角形,斜边上的高为 ,斜边长 . 点 到准线 的距离 . 由 得, , . 圆 的方程为 . (Ⅱ)由对称性,不妨设点 在第一象限,由已知得线段 是圆 的在直径, , , ,代入抛物线 得 . 直线 的斜率为 .直线 的方程为 . 由 得 , . 8 6 3 21,FF :E 12 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba P 2 3ax = 12PFF△ °30 E 2 1 3 2 4 3 5 4 2 1F PF△ 30 2 1 2PF F F= 32 22 a c c − =   3 4 ce a = = C x C xy 162 = A B 34|| =AB 2 22 4 8 ( )4,2 3− 2 2 2x y a− = 2 4a = 2 4a = :C pyx 22 = )0( >p F l A C F FA F l B D 90BFD∠ = ° ABD△ 24 p F A B F m n m n C m n BFD△ p 2BD p= A l 2d FB FD p= = = 4 2ABDS =△ 1 1 2 2 4 22 2BD d p p× × = × × = 2p∴ = F ( )22 1 8x y+ − = ( ),A AA x y AB F 90oADB∠ = 2BD p∴ = 3 2Ay p∴ = :C pyx 22 = 3Ax p= m 3 33AF pk p = = m 33 02 px y− + = pyx 22 = 2 2 xy p = xy p ′ = 由 得, .故直线 与抛物线 的切点坐标为 , 直线 的方程为 . 所以坐标原点到 ， 的距离的比值为 . 42.(2011 课标全国，理 7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点， 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 （A） （B） （C）2 （D）3 【解析】：通径 ，得 ， ，选 B 43.(2011 课标全国，理 14)在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴 上，离心率为 。过 的直线 交于 两点，且 的周长为 16，那么 的方程为 。 解析：由 得 a=4.c= ,从而 b=8, 为所求。 44. (2011 课标全国，理 20)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y=-3 上， M 点满足 ， ，M 点的轨迹为曲线 C。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 解析; (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2). 再由题意可知（ + ）• =0, 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. (Ⅱ)设 P(x ,y )为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x,所以 的斜率为 x 2 2 2 2 22 2b a a c a= ⇒ − = 2 2 4 16 c a a  =  = 2 2 2 2 116 8 x y∴ + = / /MB OA  MA AB MB BA⋅ = ⋅    MA MB AB MA MB AB 1 4 2 0 0 1 4 2 ' 1 2 l 1 2 0 3 3 xy p ′ = = 3 3x p= n C 3 ,3 6 p p      n 33 06 px y− − = m n 3 4 3 3 12 p p = AB 2 3 22 4bAB aa = = 3ce a = = xOy C 1 2,F F x 2 2 l ,A B 2ABF∆ C 因此直线 的方程为 ，即 。 则 o 点到 的距离 .又 ，所以 当 =0 时取等号，所以 o 点到 距离的最小值为 2. 45. (2010 课标全国，理 12) 已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 F 的直线 与 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 ,则 的方程式为 (A) (B) (C) (D) 解析： ，双曲线方程为 ，∵AB 过 F，N，∴斜率 ∵ ，∴两式差有 ，∴ ，又∵ ，∴ ，故选 B 46. (2010 课标全国，理 15) 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B（2,1），则圆 C 的方 程为 解析： 设圆心 ，借助图形可知 ，又 47.(2010 课标全国，理 20) 设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 斜 率为 1 的直线 与 相交于 两点，且 成等差数列。 （1）求 的离心率； （2） 设点 满足 ，求 的方程 解： （I）由椭圆定义知 ，又 ，得 的方程为 ，其中 。 设 ， ，则 A、B 两点坐标满足方程组 l 0 0 0 1 ( )2y y x x x− = − 2 0 0 02 2 0x x y y x− + − = l 2 0 0 2 0 | 2 | 4 y xd x −= + 2 0 0 1 24y x= − 2 0 2 02 2 0 0 1 4 1 42 ( 4 ) 2,24 4 x d x x x + = = + + ≥ + + 2 0x l E (3,0)F E l E ( 12, 15)N − − E 2 2 13 6 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 16 3 x y− = 2 2 15 4 x y− = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 1x y a b − = 1ABk = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21, 1x y x y a b a b − = − = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b − + − +− = 2 24 5b a= 2 2 9a b+ = 2 24, 5a b= = 2 2( 3) 2x y− + = ( , )O a b 3a = 1 1 03 2 bOB b −∴ = − =−与切线垂直， 即 2 22, C ( 3) 2r OB x y= = ∴ − + =圆 的方程为 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 1F i E ,A B 2 2, ,AF AB BF E (0, 1)p − PA PB= E 2 2 4AF BF AB a+ + = 2 22 AB AF BF= + 4 3AB a= l y x c= + 2 2c a b= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ，化简得 则 因为直线 AB 斜率为 1，所以 得 故 所以 E 的离心率 （II）设 AB 的中点为 ，由（I）知 ， 。 由 ，得 ，即 得 ，从而 故椭圆 E 的方程为 。 2 2 2 2 1 y x c x y a b = + + = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 0a b x a cx a c b+ + + − = ( )2 2 22 1 2 1 22 2 2 2 2 , a c ba cx x x xa b a b −−+ = =+ + AB = ( )2 2 1 1 2 1 22 2 4x x x x x x − = + −  2 2 2 4 4 ,3 aba a b = + 2 22a b= 2 2 2 2 c a be a a −= = = ( )0 0,N x y 2 1 2 0 2 2 2 2 3 x x a cx ca b + −= = = −+ 0 0 3 cy x c= + = PA PB= 1PNk = − 0 0 1 1y x + = − 3c = 3 2, 3a b= = 2 2 118 9 x y+ =