全国统一高考数学试卷文科新课标Ⅰ解析

全国统一高考数学试卷文科新课标Ⅰ解析

绝密★启用前 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设，则=‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎2.已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm ‎5.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 ‎7.tan255°=‎ A. －2－ B. －2+ C. 2－ D. 2+‎ ‎8.已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎9.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 A. A= B. A= C. A= D. A=‎ ‎10.双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. ‎ ‎11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎12.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为___________．‎ ‎14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．‎ ‎15.函数的最小值为___________．‎ ‎16.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；‎ ‎（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？‎ 附：．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎18.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．‎ ‎（1）若a3=4，求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．‎ ‎19.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.‎ ‎（1）证明：MN∥平面C1DE；‎ ‎（2）求点C到平面C1DE的距离．‎ ‎20.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．‎ ‎（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；‎ ‎（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．‎ ‎21.已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．‎ ‎（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．‎ ‎（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求C上的点到l距离的最小值．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】1C2C3B4B5D6C7D8B9A10D11A12B ‎13141516‎ ‎17（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，‎ 所以男顾客对商场服务满意率估计为,‎ ‎50名女顾客对商场满意的有30人，‎ 所以女顾客对商场服务满意率估计为,‎ ‎（2）由列联表可知，‎ 所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ ‎18（1）设等差数列的首项为，公差为，‎ 根据题意有，‎ 解答，所以，‎ 所以等差数列的通项公式为；‎ ‎（2）由条件，得，即，‎ 因为，所以，并且有，所以有，‎ 由得，整理得，‎ 因为，所以有，即，‎ 解得，‎ 所以的取值范围是：‎ ‎19（1）连接，‎ ‎，分别为，中点 为的中位线 且 又为中点，且 且 ‎ 四边形为平行四边形 ‎，又平面，平面 平面 ‎（2）在菱形中，为中点，所以，‎ 根据题意有，，‎ 因为棱柱为直棱柱，所以有平面，‎ 所以，所以，‎ 设点C到平面的距离为，‎ 根据题意有，则有，‎ 解得，‎ 所以点C到平面的距离为.‎ ‎20（1）‎ 令，则 当时，令，解得：‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递增；在上单调递减 又，，‎ 即当时，，此时无零点，即无零点 ‎ ，使得 又在上单调递减 为，即在上唯一零点 综上所述：在区间存在唯一零点 ‎（2）若时，，即恒成立 令 则，‎ 由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减 且，，‎ ‎，‎ ‎①当时，，即在上恒成立 在上单调递增 ‎，即，此时恒成立 ‎②当时，，，‎ ‎，使得 在上单调递增，在上单调递减 又，‎ 在上恒成立，即恒成立 ‎③当时，，‎ ‎，使得 在上单调递减，在上单调递增 时，，可知不恒成立 ‎④当时，‎ 在上单调递减 ‎ 可知不恒成立 综上所述：‎ ‎21（1）在直线上 设，则 又 ，解得：‎ 过点， 圆心必在直线上 设，圆的半径为 与相切 ‎ 又，即 ‎，解得：或 当时，；当时，‎ 的半径为：或 ‎（2）存在定点，使得 说明如下：‎ ‎，关于原点对称且 直线必为过原点的直线，且 ‎①当直线斜率存在时，设方程为：‎ 则的圆心必在直线上 设，的半径为 与相切 ‎ 又 ‎，整理可得：‎ 即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点 ‎，即抛物线上点到的距离 ‎ 当与重合，即点坐标为时，‎ ‎②当直线斜率不存在时，则直线方程为：‎ 在轴上，设 ‎，解得：，即 若，则 综上所述，存在定点，使得为定值.‎ ‎22（1）由得：，又 整理可得的直角坐标方程为：‎ 又，‎ 的直角坐标方程为：‎ ‎（2）设上点的坐标为：‎ 则上的点到直线的距离 当时，取最小值 则 ‎23（1） ‎ 当且仅当时取等号 ‎，即：‎ ‎（2），当且仅当时取等号 又，，（当且仅当时等号同时成立）‎ 又 ‎