【数学】2018届高考一轮复习人教A版第九节指数与指数函数学案
第九节 指数与指数函数
1． 了解指数函数模型的实际背景．
2． 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3． 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4． 知道指数函数是一类重要的函数模型．
1． 直接考查指数函数的图象及其性质．
2． 以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用．
3． 以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题．
一、指数幂的概念与性质
1．根式定义：若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．a的n次方根的表示：xn＝a⇒
3．根式的性质：①()n＝a(n∈N*)．；②＝
4．分数指数幂：(1)正分数指数幂是：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；(2)负分数指数幂是：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；(3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1) ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；
(2) (ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；
(3) (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
二、指数函数的图象与性质
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，01
当x>0时，00，b>0）
1．这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考向二 指数函数图象的应用
例1．若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a、b的取值范围分别是________．
2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为________．
1．指数型函数的图象与性质（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.
2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.
考向三 指数函数的性质及应用
例1．设a＝40.8，b＝80.46，c＝()，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
2．函数f(x)＝()的单调递减区间为________，值域为________．
3．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2－1在[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略：
1．比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
2．简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
3．指数型函数中参数的取值范围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a的分类讨论．
思想方法 指数幂大小比较的绝招——构造法
构造法是通过对问题的观察、分析，抓住特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造新的数学模型来达到解题目的．在幂的大小比较中，常用的构造方式有两种：
1．构造幂函数，该方法适合“同指不同底”的两个实数的大小比较．
2．构造指数函数，该方法适合“同底不同指”的两个实数的大小比较．在此基础上，借助该函数的性质(单调性等)比较两个数值的大小
☆答题模版1．已知a＝21.2，b＝()，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )
A．c0，且a≠1)的图象可能是( )
二、填空（本大题共4小题，每题5分，共20分）
7．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝－3的图象必过定点________．
8．若指数函数f(x)＝为减函数，则实数a的取值范围为________．
9．函数y＝的定义域为________．
10．若函数f(x)＝－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
第九节 指数与指数函数
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设a＝22.5，b＝2.50，c＝()，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
2．函数y＝()的值域是( )
A．(0，＋∞) B．(0,1) C．(0,1] D．[1，＋∞)
3．定义运算a⊕b＝，则f(x)＝2x⊕2－x的图象是( )
4．函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
5．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f()f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
8．函数y＝()－3x在区间[－1,1]上的最大值等于________．
9．设函数f(x)＝若f(a)＞1，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分)
10．(15分)已知函数f(x)＝()
(1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最大值等于，求的值．
11．(15分)若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
12．(15分) 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
第九节 指数与指数函数
考向一：例1．【解析】原式＝×1＋2×2＋6－＝2＋4×27＝110.【答案】110. 2．【解析】·＝a·b＝a＝a.【答案】a
3．【解析】原式＝＝＝a·b＝.
考向二：例1．【解析】因为函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，所以即【答案】a∈(0,1) b∈(－∞，0)
2．【解析】
曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．【答案】[－1,1]
3．【解析】分底数0＜a＜1与a＞1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图，
图1 图2
从图中可以看出，只有当0＜a＜1，且0＜2a＜1，即0＜a＜时，两函数才有两个交点．所以实数a的取值范围为.【答案】
考向三：例1．【解析】∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2.即a＞b＞c.【答案】A 2．【解析】令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上为单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减．又g(x)＝－(x＋2)2＋7≤7，∴f(x)≥7＝3－7.【答案】(－∞，－2) [3－7，＋∞) 3．【解析】令t＝ax(a＞0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，此时f(t)在上为增函数．所以f(t)max＝f＝2－2＝14.所以2＝16，即a＝－或a＝.又因为a＞0，所以a＝.②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，此时f(t)在上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，所以(a＋1)2＝16，即a＝－5或a＝3，又因为a>0，所以a＝3.
综上得a＝或a＝3.【答案】或3
基础自测：1-6．DDBCAD 7．【答案】(2，－2) 8．【答案】(2,3) 9．【答案】[0，＋∞) 10．【答案】
能力提升：1-6．CCCBBD 7．【答案】(1,5) 8．【答案】 9．【答案】a＜－2或a＞1.
10．【解析】(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．又y＝t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)；(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.
11．【解析】y＝lg (3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2>0，解得x<1或x>3.∴M＝{x|x<1，或x>3}．
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2. 令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或08或08时，f(t)∈(－∞，－160)，∴当2x＝t＝，即x＝log2时，f(x)max＝.综上可知，当x＝log2时，f(x)取到最大值为，无最小值．
12．【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
