高中数学必修5教案：2_5等比数例的前n项和

高中数学必修5教案：2_5等比数例的前n项和

课题: §‎2.5.1‎等比数列的前n项和（1）教案 教材分析：‎ 本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。‎ ‎●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。‎ 过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。‎ 情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。‎ ‎●教学重点 等比数列的前n项和公式推导 ‎●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 学情分析：针对学生学习等差数列前n项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。‎ ‎●教学过程 一.课题导入 ‎[创设情境]‎ ‎[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”‎ 二.讲授新课 ‎[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。‎ 等比数列的前n项和公式：‎ ‎ 当时， ① 或 ②‎ 当q=1时，‎ 当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.‎ 公式的推导方法一：‎ 一般地，设等比数列它的前n项和是 由 得 ‎ ‎ 论同上）∴当时， ① 或 ②‎ 当q=1时，‎ 公式的推导方法二：‎ 有等比数列的定义，‎ 根据等比的性质，有 即 （结 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．‎ 公式的推导方法三：‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝＝‎ ‎（结论同上）‎ ‎[解决问题]‎ 有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。‎ 由可得 ‎==。‎ 这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。‎ 三 例题讲解 ‎ 例1．求下列等比数列的各项的和：‎ ‎（1）； （2）‎ 选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式．‎ 答案：（1）；（2）‎ 例2．已知公比为的等比数列的前5项和为，求这个数列的及 选题目的：逆向应用公式．‎ 答案：，‎ 例3．已知等比数列，求使得大于100的最小的n的值.‎ 选题目的：综合应用公式．‎ 答案：使得大于100的最小的n的值为7.‎ 例4．设数列的前n项和为．当常数满足什么条件时，才是等比数列？‎ 选题目的：沟通与的关系，灵活应用公式．‎ 答案：‎ 四． 反思总结，当堂检测。：课本66页练习 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。‎ 五．课后小结 等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或 六． 教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。‎ ‎●板书设计：略 ‎2.5.1‎等比数列的前n项和（1）学案 课前预习学案 一．预习目标：了解等比数列的前n项和公式及公式证明思路 二 预习内容:等比数列前n项和公式的推导方法。. 三、 提出疑惑：‎ 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一．学习目标: 1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；‎ ‎2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．；‎ 学习重、难点：1．等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导；‎ ‎2．灵活应用公式解决有关问题。 ‎ 二．学习过程：1.首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质． 　　　　　　　　　　　　‎ ‎（‎ ‎2.探究：已知等比数列的首项a1，公比q，项数n(或n项an)，求它的前n项和Sn的计算公式．‎ 一种推导思想:错位相减，Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋…＋a1qn-2＋a1qn-1．‎ 在　等号两边乘以q，得 ‎　　 qSn=a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn．　将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，‎ ‎． 得(1－q)Sn=a1－a1qn．‎ ‎∴当时， ① 或 ②‎ 当q=1时，‎ 还有没有其他都推导方法？‎ 三． 反思总结：‎ 四 当堂检测：（1）求等比数列，，，…的前8项的和；‎ ‎（2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。‎ 课后练习与提高：‎ 选择题：‎ ‎1. 在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )‎ ‎ A 33 B ‎72 C 84 D 189‎ ‎ 2． 等比数列中, 则的前项和为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前项之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题：‎ ‎ 1. 已知：a1=2，S3=26．则q=----------‎ ‎2．已知三数成等比数列，若三数的积为125，三数的和为31，则三数为------‎ 三解答题：‎ 设数列，求这个数列的前项和。‎ 参考答案: 当堂检测 ‎2.5.2‎等比数列的前n项和(2)教案 教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。‎ ‎●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思 教学目标：‎ 知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.‎ 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.‎ ‎●教学重点 ‎ 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 ‎●教学难点 灵活使用公式解决问题 学情分析：在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上，进一步加强前n项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。‎ ‎●教学过程 一.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：‎ 当时， ① 或 ②‎ 当q=1时，‎ 当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②‎ 二.讲授新课 ‎1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，‎ 求证：‎ ‎2、设a为常数，求数列a，‎2a2，‎3a3，…，nan，…的前n项和；‎ ‎（‎ 三．例题讲解 例1已知等比数列中, ,求.‎ 设问1:能否根据条件求和q ？ 如何求？ 一定要求q吗？(基本量的确定)‎ 设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？ (探究等比数列内在的联系)‎ 设问3:若题变: 数列是等比数列,且求 引导学生归纳:若是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为,公比为的等比数列.(学生类比等差数列相关结论)‎ ‎[说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性.‎ 例2．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%‎ 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？‎ 假设货主每月还商店元，写出在第i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.‎ 每月的还款额为多少元（精确到0.01）？‎ 引导学生,认真阅读题目,理解题意,‎ 月底等额还款,即每月末还款数一样，‎ 月底还款后的欠款数与第i-1个月底还款后的欠款数的关系是第,(学生分析)‎ 三年内还清转化为数学语言是: ‎ 解(1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即6000=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.‎ ‎ (2)设第i个月底还款后的欠款数为y,则有 ‎ y=4000(1+0.5%)-‎ ‎ y=y(1+0.5%)-‎ ‎ =4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-‎ ‎ y=y(1+0.5%)-‎ y=y(1+0.5%)-‎ ‎ =4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-(1+0.5%)-‎ ‎ ‎ ‎ y=y(1+0.5%)-=4000(1+0.5%)-(1+0.5%)‎ ‎-(1+0.5%)- -,‎ ‎ 整理得 ‎ y =4000(1+0.5%)-.(=1,2,36)‎ ‎ (3)因为y=0,所以 ‎ 4000(1+0.5%)-=0‎ ‎ 即每月还款数 ‎ =(元)‎ ‎ 所以每月的款额为121.69元.‎ ‎[说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等;‎ 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答.‎ 例3.求Sn=(x+)+(x2+)+…+(xn+)(y)。‎ 解：当x1,y1时，‎ Sn=(x+x2+…+xn)+(+)=‎ 当x=1,y1时 Sn=n+‎ 当x1,y=1时 Sn=‎ 当x=y=1时 Sn=2n 四 反思总结，当堂检测。‎ 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测：‎ ‎ 1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额将是多少?‎ ‎ 2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的 ‎,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元)‎ 数学建模的方法；‎ 关注学生解题的规范性,准确度及速度. ‎ 五.课后小结 (引导学生归纳,教师提炼)‎ ‎(1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题;‎ ‎(2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.‎ ‎ 六．教学反思 ：‎ 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。‎ 板书：略 ‎2.5.2‎等比数列的前n项和（2）学案 课前预习学案 一．预习目标：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 二．预习内容：课本64——65的例2，例3‎ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习目标：1.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.‎ ‎2.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.‎ 重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 难点:灵活使用公式解决问题 学习过程：自主学习：首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：‎ 合作探究：1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，‎ 求证：‎ ‎2、设a为常数，求数列a，‎2a2，‎3a3，…，nan，…的前n项和；‎ 反思：‎ 当堂检测:‎ ‎ 1．设{an}为等比数列，Sn=a1+…an,则在数列{Sn} 中 （ ）‎ ‎（A）任何一项均不为零 （B）必有一项为零 ‎（C）至多有一项为零 （D）或有一项为零，或有无穷多项为零 ‎2.数列{an}是正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求它的前100项的和。‎ 课后练习与提高：‎ 选择题：‎ ‎1. 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．‎ ‎[ ]‎ A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 ‎ 2.设等比数列的前n项和为,若：=1：2，则:‎ ‎= ( )‎ A. 3:4 B. 2:‎3 C. 1:2 D. 1:3‎ ‎ 3.设数列{an}‎ 是公比为a，首项为的等比数列，是其前项和，对任意的自然数n，点（）所在直线方程是 ‎ A. y=ax-b B. y=ax+b C. y=bx+a D.y=bx-a 二。填空题：‎ ‎4 . 三个正数a,b,c成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为 ‎ ‎5.. 设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为——‎ 三．解答题：‎ 已知数列{an}满足a1=1,a2=-,从第二项起，{an}是以为公比的等比数列，{an}的前n项和为Sn，试问：S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列？为什么？‎ 参考答案：‎ 当堂检测: 1.D ‎ 2. S2n>Sn, ∴q1 ②/①,得qn=81 ③∴q>1,故前n项中an最大。③代入①，得a1=q-1‎ 又由an=a1qn-1=54,得‎81a1=54q ∴a1=2,q=3 ∴S100=‎ ‎ ‎