2020版高中数学 第二章 数列 等比数列的前n项和

2020版高中数学 第二章 数列 等比数列的前n项和

第1课时　等比数列的前n项和 课后篇巩固探究 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A组 ‎1.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于(　　)‎ A.10 B.210‎ C.a10-2 D.211-2‎ 解析∵=2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2.‎ ‎∴S10==211-2.‎ 答案D ‎2.在等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为 (　　)‎ A.81 B.120‎ C.168 D.192‎ 解析因为=27=q3,所以q=3,a1==3,S4==120.‎ 答案B ‎3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=(　　)‎ A.4n-1 B.4n-1‎ C.2n-1 D.2n-1‎ 解析设公比为q,则q=,‎ 于是a1+a1=,因此a1=2,于是Sn==4,而an=2,于是=2n-1.‎ 答案D ‎4.在14与之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为(　　)‎ A.4 B.5‎ C.6 D.7‎ 解析设a1=14,an+2=,‎ 则Sn+2=,‎ 6‎ 解得q=-.所以an+2=14·,‎ 解得n=3.故该数列共5项.‎ 答案B ‎5.已知首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)‎ A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2‎ C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 解析在等比数列{an}中,Sn==3-2an.‎ 答案D ‎6.对于等比数列{an},若a1=5,q=2,Sn=35,则an=　　　　　. ‎ 解析由Sn=,得an==20.‎ 答案20‎ ‎7.在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=　　　　. ‎ 解析因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得a4-a3=‎2a3,即a4=‎3a3,所以q==3.‎ 答案3‎ ‎8.数列,…,的前n项和Sn=　　　　　. ‎ 解析∵Sn=+…+, ①‎ Sn=+…+, ②‎ 由①-②,得Sn=+…+=1-,‎ ‎∴Sn=2-.‎ 答案2-‎ ‎9.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=,记其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式an;( 2)若Sn=93,求n.‎ 6‎ 解(1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 则解得 所以an=a1qn-1=48·.‎ ‎(2)Sn==96.‎ 由Sn=93,得96=93,解得n=5.‎ ‎10.导学号04994046已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b≠1).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{an}满足bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,x2=b,‎ 可得解得所以an=2n-1.‎ ‎(2)由(1)得bn=(2n-1)·2n,‎ 所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n, ①‎ ‎2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1, ②‎ 由①-②,得-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2(2+22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1-2=2·-(2n-1)·2n+1-2=(3-2n)·2n+1-6.‎ 所以Tn=(2n-3)·2n+1+6.‎ B组 ‎1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a‎1a2a3=8,则Sn=(　　)‎ A.2n-1 B.2n-1-1‎ C.2n+1-1 D.2n+1‎ 解析显然q≠1,由已知,得=3×,‎ 整理,得q=2.‎ 因为a‎1a2a3=8,所以=8,‎ 所以a2=2,从而a1=1.‎ 6‎ 于是Sn==2n-1.‎ 答案A ‎2.已知数列{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为(　　)‎ A.或5 B.或5 ‎ C. D.‎ 解析由题意易知公比q≠1.‎ 由9S3=S6,得9·,解得q=2.‎ 所以是首项为1,公比为的等比数列.‎ 所以其前5项和为S5=.‎ 答案C ‎3.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=27,+…+=3,则a3=(　　)‎ A.±9 B‎.9 ‎C.±3 D.3‎ 解析设公比为q,则由已知可得 两式相除,得q4=9,即=9,所以a3=±3.‎ 答案C ‎4.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比q=　　　　. ‎ 解析由题意,得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),又a1≠0,q≠0,故q=-.‎ 答案-‎ ‎5.1++…+=　　　　. ‎ 6‎ 解析设Sn=1++…+,则Sn=+…+,两式相减,得Sn=1++…+.‎ 所以Sn=3-.‎ 答案3-‎ ‎6.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3+S6=2S9,则公比q等于　　　　　. ‎ 解析若q=1,S3+S6=‎3a1+‎6a1=‎9a1≠2S9.‎ ‎∴q≠1,∴,‎ 即 2q9-q6-q3=0,∴q3(2q6-q3-1)=0.‎ ‎∵q≠0,∴2q6-q3-1=0,‎ ‎∴(q3-1)(2q3+1)=0,‎ ‎∴q3=-或q3=1(舍),∴q=-.‎ 答案-‎ ‎7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且‎2a1+‎3a2=1,=‎9a4a8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=an-an-1,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解(1)设{an}的公比为q,则由=‎9a4a8,得(a1q4)2=‎9a1q3·a1q7,‎ 即q8=9q10,因此q2=.‎ 因为{an}的各项均为正数,所以q>0,所以q=.‎ 又因为‎2a1+‎3a2=1,所以‎2a1+‎3a1·=1,解得a1=,‎ 故an=,即an=.‎ ‎(2)由(1)得bn=an-an-1==-,‎ 所以{bn}是首项为-,公比为的等比数列,‎ 6‎ 因此其前n项和Sn=-1.‎ ‎8.导学号04994047已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.‎ ‎(1)求an,bn;‎ ‎(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.‎ 解(1)当n≥2时,Sn=an+n2-1,‎ Sn-1=an-1+(n-1)2-1,‎ 两式相减,得an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1.‎ ‎∴an=2n+1.‎ ‎∴3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3.‎ ‎∴bn+1=,‎ ‎∴当n≥2时,bn=.又b1=3适合上式,‎ ‎∴bn=.‎ ‎(2)由(1)知bn=,‎ ‎∴Tn=+…+,①‎ Tn=+…+,②‎ ‎①-②,得Tn=3++…+‎ ‎=3+4·‎ ‎=5-.‎ ‎∴Tn=.‎ 6‎