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文档介绍
广东省2021届高三上学期调研考试数学试题 Word版含答案
1 广东省 2021 届高三年级上学期调研考试 数 学 考生注意: 1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的. 1.已知集合 }1,0,1,2{ A ,集合 }13|{ xxB ,则 BA 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.复数 iz 21 2 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.“一世”又叫“一代”,东汉王充《论衡·宜汉篇》:“且孔子所谓一世,三十年也”,清代段玉裁《说 文解字注》:“三十年为一世,按父子相继日世”.据国际一家研究机构的研究得到企业寿命的频 率分布表为 家族企业寿命(年) [0,22] [22,44] [44,66] [66,88] 频率 54% 28% 14% 4% 则全球家族企业的平均寿命大约有 A.25 年 B.26 年 C.27 年 D.28 年 4.人们通常以分贝(符号是 dB)为单位来表示声音强度的等级,强度为 x 的声音对应的等级为 210lg10)( xxf (dB).装修房屋时电钻的声音约为 100dB,室内正常交谈的声音约为 60dB, 则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的( )倍 A. 410 B. 4e C.4 D. 3 5 5.已知 2)12tan( ,则 )3tan( A.3 B. 3 1 C.-3 D. 3 1 6.在矩形 ABCD 中, 4AB , PAC ,2 为矩形 ABCD 所在平面上一点,满足 PCPA ,则 || PD 的最大值为 A. 52 B.4 C. 5 D.2 2 7.已知双曲线 )0,0(12 2 2 2 bab y a x 的右焦点为 F ,过点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,垂 足为 E ,若 OOEEF (3 为坐标原点),则双曲线的离心率为 A. 5 B. 22 C. 10 D. 32 8.已知偶函数 )(xf 在 ),0[ 上单调递增,则 A. )2()10(log)2 3log3( 2 1 2 12 fff B. )10(log)2 3log3()2( 2 12 2 1 fff C. )2()2 3log3()10(log 2 1 2 2 1 fff D. )2 3log3()2()10(log 2 2 1 2 1 fff 二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分. 9.若 011 ba ,则下列正确的选项为 A. ba 22 B. 33 ba C. aba 2 D. 1ln ab 10.设 ba, 为两条不重合的直线, , 为两个不重合的平面,则下列命题中,真命题的是 A.若 //,// ba ,则 ba // B.若 aba ,, ,则 b C.若 ba , ,则 ba // D.若 ,, ba ,则 ba 11.设抛物线 )0(2: 2 ppxyC 的焦点为 F ,准线为 Al, 为 C 上一点,以 F 为圆心, || FA 为半 径的圆交l 于 DB, 两点,若 90ABD ,且 ABF 的面积为 39 ,则 A. 3|| BF B. ABF 是等边三角形 C.点 F 到准线的距离为 3 D.抛物线 C 的方程为 xy 62 12.下列四个命题正确的是 A.函数 1sin sinsin2 x xxy 是奇函数; B.当 2,0 x 时,函数 62cos2)( xxf 的最大值为 3 C . 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 2 |cossin| 2 cossin)( xxxxxf , 当 且 仅 当 kxk 22 )(2 Zk 时, 0)( xf 成立; D.函数 ),(sin 2sin)( 2 2 Zkkxxxxf 的最小值 3. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 6) 2 1( x x 的展开式中常数项是 (用数字作答). 14.在等差数列 }{ na 中,已知 952 aa ,则 42 3aa = . 15.函数 3)1(3 22)( 23 xaaxxxf 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围为 . 3 16.已知 CBAP ,,, 是球O 的球面上四点,其中平面 ABC 过球心 ABCO , 为边长为 2 的正三角形, 平面 PAB 平面 ABC ,则棱锥 ABCP 的体积的最大值为 . 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分) 在 ABC 中,角 CBA ,, 的对边分别为 .coscoscos,,, CB cb A acba (1)求角 A ; (2)若 ABCc ,6 的面积为 33 ,求 a 的值. 18.(12 分) 已知数列 }{ na 是公差大于 0 的等差数列, 21 a ,且 4,,2 643 aaa 成等比数列. (1)求数列 }{ na 的通项公式; (2)设 12 n n n ab ,求数列 }{ nb 的前 n 项和 .nS 19.(12 分) 《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目,是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机 构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关,对某高中 200 名学生进行了问卷调查,得到如 下 2×2 列联表: 喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》 合计 男生 70 女生 30 合计 已知在这 200 名学生中随机抽取 1 人抽到喜欢《最强大脑》的概率为 0.6. (1)判断是否有 90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关? (2)从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取 8 名学生,再在这 8 人中抽取 3 人调查其喜欢的节目类型,用 X 表示 3 人中女生的人数,求 X 的分布列及数学期望. 参考公式及数据: ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK P (K2 ≥ k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k0 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 4 20.(12 分) 如图,在直三棱柱 111 CBAABC 中,底面是边长为 4 的等边三角形, EDCFFC ,,2221 为 11, CAAC 的中点. (1)求证:平面 BDF 平面 DEF ; (2)求二面角 FBED 的余弦值. 21.(12 分) 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2 bab y a xC 短轴长为 2,F 是C 的左焦点, BA, 是C 上关于 x 轴对称 的两点, ABF 周长的最大值为 8. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)斜率为 k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于 NM , 两点,若直线 ONOM , 的斜率分别为 21, kk ,且 21 2 kkk ,求直线l 的斜率,并判断 22 |||| ONOM 的值是否为定值?若为定值,试求 出此定值;否则,说明理由. 22.(12 分) 设函数 ).(1)( Raaxaxexf x (1)若 1a ,求函数 )(xf 的图象在 ))1(,1( f 处的切线方程; (2)若不等式 xxf ln)( 在区间 ,1 e 上恒成立,求 a 的取值范围. 5 数学参考答案 1.C }0,1,2{ BA 2.D 5 42 )21)(21( )21(2 21 2 i ii i iz 3.B 家族企业的平均寿命为 0.54×11+0.28×33+0.14×55+0.04×77=26 4.A 由 ,10lg10)( 2 xxf 当 100y 时,可得 810x ;当 60y 时,可得 410x , 装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的 4 4 8 1010 10 5.D 3 1 4tan)12tan(1 4tan)12tan( )412tan()3tan( 6.A ,PCPA 点 P 的轨迹是以 AC 为直径的圆,又 52,52 max 22 PDACABAC 7.C 由题知, b ba bcEF 22 ,又 ababcEFOFOEcOF 3,, 2222 , 故双曲线的离心率为 10)(1 2 a be 8 . C )(xf 为 偶 函 数 , 在 ),0[ 上 单 调 递 增 , 故 在 ]0,( 上 单 调 递 减. 310log|10log| 2 2 1 , 2 22 2 1 , )3,2(3log4)13(log32 3log3 222 , 1122 3log3|10log| 2 1 2 2 1 , )2()2 3log3()10(log 2 1 2 2 1 fff 9.AC 由题意有 .0 ab 10.CD 11.BCD 12 . BCD A 中 函 数 定 义 域 关 于 原 点 不 对 称 , 所 以 A 错 误 ; 当 2,0 x 时 , 6 7,662 x ,由余弦函数图象可知 62cos2)( xxf 的值域是 ]3,2[ 所以 B 正 确 ; 当 0cossin xx 时 , xxxxxxf cos2 cossin 2 cossin)( ; 当 6 )(2242 Zkkxk 时 , 0)( xf ; 当 0cossin xx 时 , xxxxxxf sin2 sincos 2 cossin)( ,当 )(422 Zkkxk 时, 0)( xf , 综上, )(222 Zkkxk 时, 0)( xf ,所以 C 正确.设 )10(,sin2 txt , tttg 2)( , 021)(' 2 ttg ,所以函数 )(tg 在 ]1,0( 上单调递减,所以函数的最小 值为 3)1( g ,所以 D 正确. 13. 16 15 rxC x xCT rrrrr r 2 3)2 1() 2 1( 6 6 6 61 ,令 02 36 r ,则 ,4r 常数项 为 16 15)2 1( 44 6 C 14.18 952 aa , 9525 111 dadada , 1114142 4)3(333 adadaadaaa 1810 d 15. 1a 或 2 1a 题意可得 )1(3 243)(' 2 aaxxxf ,函数 )(xf 既有极大值又有 极 小 值 , 则 一 元 二 次 方 程 0)1(3 243 2 aaxx 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 即 0)1(3 234)4( 2 aa ,解得 1a 或 2 1a 16. 3 3 如图,平面 PAB 平面 ,ABC 点 P 在平面 ABC 上的射 影 H 落在 AB 上,根据球体的对称性可知,当 P 在最高点,即 H 为 AB 中点时, PH 最大,棱锥 ABCP 的体积最大. ABC 是边长为 2 的正三角形,球的半径 3 32 3 2 CHOCr .在 PHORt 中, OSOCOH 2 1 2 1 , 30 HPO , ,130cos OPPH 体积 ShV 3 1 .3 3124 3 3 1 2 17.解:(1)由正弦定理及 CB cb A a coscoscos ,得 CB CB A A coscos sinsin cos sin ,………2 分 CABACABA sincossincoscossincossin ,即 ACACBABA sincoscossinsincoscossin , ).sin()sin( ACBA …………………………4 分 7 ),0(,, CBA , ACBA ,即 3,2 ACBA . …………………………6 分 (2) 2,332 362 1sin2 1 bbAbcS ABC . ………………………8 分 .72,28cos2222 aAbccba ……………………………10 分 18.解:(1)设数列 }{ na 的公差为 0, dd , 21 a ,且 4,,2 643 aaa 成等比数列, )4)(2( 63 2 4 aaa ,即 )45)(22()3( 11 2 1 dadada ,…………………3 分 解得 6d (舍)或 2d ,……………………………4 分 ndnaan 2)1(1 . ………………………5 分 (2)由(1)可知 nn n n nab 22 1 , 数列 }{ nb 的前 n 项和 nn nS 22 3 2 2 2 1 321 ,………………………7 分 1432 22 3 2 2 2 1 2 1 nn nS , ……………………9 分 相减得 1321 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 nnn nS , ……………………………11 分 11 22 112 1 2 11 ))2 1(1(2 1 nnn n n , nn nS 2 22 . ………………………………12 分 19.解:(1)由 200×0.6=120 及已知数据知满足题意的 2×2 列联表如下表所示: 喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》 合计 男生 70 50 120 女生 50 30 80 合计 120 80 200 ………………………2 分 由列联表中数据,得到 71.2347.08012080120 )50503070(200 2 2 K . ………………5 分 因此没有 90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关;………………………6 分 (2)由题意知,从不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取 8 名学生,其中 女生有 3 人,男生有 5 人,随机变量 X 的取值可能为 0,1,2,3,……………………7 分 8 28 5)0( 3 8 3 5 C CXP , 28 15)1( 3 8 1 3 2 5 C CCXP , 56 15)2( 3 8 2 3 1 5 C CCXP , 56 1)3( 3 8 3 3 C CXP . …………………………11 分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 28 5 28 15 56 15 56 1 8 9 56 1356 15228 15128 50 EX . . …………………………12 分 20.解:(1)证明:三棱柱 111 CBAABC 为直三棱柱, 1AA 平面 .ABC BD 平面 ., 1 BDAAABC ……………………………2 分 ABC 为等边三角形, D 为 AC 中点, .ACBD 又 BDAACAA ,1 平面 11AACC . ……………………………3 分 BD 平面 BDF ,平面 BDF 平面 DEF ,…………………………5 分 (2)以 D 为坐标原点, DEDCDB 、、 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角 坐标系,则 )0,0,0(D , )0,0,32(B , )0,2,0(C , )23,0,0(E , ,2,0(F )2 , …………………………………7 分 设平面 BEF 的法向量为 ),,( zyxm ,则 )23,0,32(BE , )22,2,0( EF , 由 0222 02332 zymEF zxmBE ,令 3x ,可得 2,2 yz , 则 ).2,2,3(m ………………………9 分 DC 平面 ,BDE 平面 BDE 的一个法向量为 )0,2,0(DC , 3 2 92 4 |||| ,cos DCm DCmDCm . ………………………11 分 由图知,二面角 FBED 的平面角为锐角, 二面角 FBED 的余弦值为 3 2 . …………………………12 分 21.解:(1)设 AB 与 x 轴的交点为 H ,右交点为 2F . 9 由题意 |||| 2AFAH ,则 aAFAFAHAF 2|||||||| 211 ,…………………2 分 当 AB 过右焦点 2F 时, ABF 周长取最大值 2,84 aa , 且 1b ,…………………………3 分 椭圆C 的标准方程为 14 2 2 yx ,………………………………4 分 (2)设直线l 的方程为 )0( mmkxy , ),( 11 yxM , ),( 22 yxN , 由 mkxy yx 14 2 2 ,得 0)1(48)41( 222 mkmxxk , 221 41 8 k kmxx , 2 2 21 41 )1(4 k mxx . ……………………………6 分 由题知 21 2 212 21 21 21 21 21 2 )())(( xx mxxkmkxx mkxmkx xx yykkk , 0)( 2 21 mxxkm , 041 8 2 2 22 mk mk . …………………………8 分 .4 1,0 2 km 此时 22 2 2 21 4)41 8()( mk kmxx , )1(241 )1(4 2 2 2 21 mk mxx , 则 4141|||| 2 22 2 2 12 1 2 2 2 2 2 1 2 1 22 xxxxyxyxONOM 52)]1(44[4 32]2)[(4 32)(4 3 22 21 2 21 2 2 2 1 mmxxxxxx ,…………11 分 故直线l 的斜率为 2 1k , 5|||| 22 ONOM . ……………………12 分 22.解(1)当 1a 时, 1)( xxexf x , 1)1()(' xexxf ,……………………2 分 又 ef 1)1( , 1)1(' f , )1(1 xey ,…………………………3 分 即函数 )(xf 的图象在 ))1(,1( f 处的切线方程为 exy 11 . ……………………4分 (2)当 1x 时, 01 aae , .1 1 ea )(i 当 11 1 ae 时,令 )1(1ln)1()( exxeaxxH x ,……………………6 分 10 则 .1)1(1)1(1)1()(' x xexax axexaaxexaxH x xx 令 )1(1)( exxexR x ,则 0)1()(' xexxR ,又 01 eR , 0)1( R ,所以存在 ,使得当 时, 0)( xR ,所以当 时, 0)(' xH 即 )(xH 在 上单调递减,所以 0)1(11)( 1 eeeaeHxH , 这与题意矛盾. ………………………8 分 )(ii 当 1a 时,“不等式 xxf ln)( 在区间 ,1 e 上恒成立”等价于“不等式 01ln xxxex 在区间 ,1 e 上恒成立.” 令 exxxxexF x 11ln)( ,即“不等式 0)( xF 在区间 ,1 e 上恒成立”. )1(111)1()(' xx xex x xexxF ,令 1)( xxexG , 则 exexxG x 1)1()(' .………………………9 分 因为当 ex 1 时, 0)1()(' xexxG ,所以函数 )(xG 在区间 ,1 e 上单调递增, 所以函数 )(xG 在区间 ,1 e 上最多有一个零点. 又因为 .01)1(,0111 1 eGeeeG e 所以存在唯一的 1,1 ec ,使得 .0)( cG ……………………………10 分 当 cex ,1 时, 0)( xG ;当 ),( cx 时, 0)( xG , 即当 cex ,1 时, 0)(' xF ;当 ),( cx 时, 0)(' xF , 11 所以函数 )(xF 在区间 ce ,1 上单调递减,在区间 ),( c 上单调递增, 从而 .1ln)()( cceccFxF c ……………………11 分 由 0)( cG ,得 01 cec ,即 1 cec ,两边取对数得 0ln cc , 所以 000)(ln)1(1ln)( cceccceccF cc , 所以 0)()( cFxF ,即 0)( xF , 所以不等式 xxf ln)( 在区间 ),0( 上恒成立. 所以 a 的取值范围为 1a . ………………………12 分查看更多