2011年高考数学真题分类汇编A
课标文数2.A1[2011·安徽卷] 集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩(∁UT)等于( )
A．{1，4，5，6} B．{1，5}
C．{4} D．{1，2，3，4，5}
课标文数2.A1[2011·安徽卷] B 【解析】 S∩(∁UT)＝{1，4，5} ∩{1，5，6}＝{1，5}．
课标理数8.A1[2011·安徽卷] 设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A．57 B．56 C．49 D．8
课标理数8.A1[2011·安徽卷] B 【解析】 集合S的个数为26－23＝64－8＝56.
课标理数1.A1，E3[2011·北京卷] 已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
课标理数1.A1，E3[2011·北京卷] C 【解析】 由P∪M＝P，可知M⊆P，而集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1，故选C.
课标文数1.A1，E3[2011·北京卷] 已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
课标文数1.A1，E3[2011·北京卷] D 【解析】 因为集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以∁UP＝{x|x<－1或x>1}，故选D.
大纲文数1.A1[2011·全国卷] 设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则∁U(M∩N)＝( )
A．{1，2} B．{2，3}
C．{2，4} D．{1，4}
大纲文数1.A1[2011·全国卷] D 【解析】 ∵M∩N＝{2，3}，∴∁U(M∩N)＝{1，4}，故选D.
课标理数1.A1，L4[2011·福建卷] i是虚数单位，若集合S＝{－1，0，1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
课标理数1.A1、L4[2011·福建卷] B 【解析】 由i2＝－1，而－1∈S，故选B.
课标文数1.A1[2011·福建卷] 若集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于( )
A．{0，1} B．{－1，0，1}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
课标文数1.A1[2011·福建卷] A 【解析】 由已知M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，得M∩N＝{0，1}，故选A.
课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] C 【解析】 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；
因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；
因为所有的整数被5除的余数为0，1，2，3，4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；
若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，则
a－b＝5(n1－n2)∈[0]；
反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则
a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；
∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C.
课标理数2.A1[2011·湖北卷] 已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝，则∁UP＝( )
A. B.
C. D.∪
课标理数2.A1[2011·湖北卷] A 【解析】 因为U＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，P＝＝，所以∁UP＝＝.
课标文数1.A1[2011·湖北卷] 已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则 ∁U(A∪B)＝( )
A．{6，8} B．{5，7}
C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}
课标文数1.A1[2011·湖北卷] A 【解析】 因为A∪B＝，所以∁U＝.
课标文数1.A1[2011·湖南卷] 设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝( )
A．{1，2，3} B．{1，3，5}
C．{1，4，5} D．{2，3，4}
课标文数1.A1[2011·湖南卷] B 【解析】 (排除法)由M∩∁UN＝{2，4}，说明N中一定不含有元素2，4，故可以排除A、C、D，故选B.
课标文数2.A1[2011·江西卷] 若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则集合{5，6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(∁UM)∪∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)
课标文数2.A1[2011·江西卷] D 【解析】 方法一：
∵M∪N＝{1，2，3，4}，
∴(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5，6}．故选D.
方法二：∵∁UM＝{1，4，5，6}，∁UN＝{2，3，5，6}，
∴(∁UM)∩(∁UN)＝{5，6}．故选D.
课标理数2.A1[2011·辽宁卷] 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝( )
A．M B．N C．I D．∅
课标理数2.A1[2011·辽宁卷] A 【解析】 N∩∁IM＝∅⇒N⊆M，所以M∪N＝M，故选A.
课标文数1.A1[2011·辽宁卷] 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
课标文数1.A1[2011·辽宁卷] D 【解析】 由图1－1知A∩B＝{x|1
－1}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
课标文数1.A1[2011·浙江卷] C 【解析】 P＝{x|x<1}，∴∁RP＝{x|x≥1}．又∵Q＝{x|x>－1}，∴Q⊇∁RP，故选C.
大纲文数2.A1[2011·重庆卷] 设U＝R，M＝{x|x2－2x>0}，则∁UM＝( )
A．[0，2] B．(0，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
大纲文数2.A1[2011·重庆卷] A 【解析】 解不等式x2－2x＞0，得x＞2或x＜0.
即集合M＝{x|x＞2或x＜0}，
∴∁UM＝{x|0≤x≤2}．故选A.
课标理数7.A2[2011·安徽卷] 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
课标理数7.A2[2011·安徽卷] D 【解析】 本题是一个全称命题，其否定是特称命题，同时将命题的结论进行否定，答案为D.
课标文数20.D2，A2[2011·北京卷] 若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1，2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an.
(1)写出一个E数列A5满足a1＝a3＝0；
(2)若a1＝12，n＝2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2011；
(3)在a1＝4的E数列An中，求使得S(An)＝0成立的n的最小值．
课标文数20.D2，A2[2011·北京卷] 【解答】 (1)0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5.
(答案不唯一，0，－1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，－1，－2；0，±1，0，－1，0都是满足条件的E数列A5)
(2)必要性：因为E数列An是递增数列，
所以ak＋1－ak＝1(k＝1，2，…，1999)．
所以An是首项为12，公差为1的等差数列．
所以a2000＝12＋(2000－1)×1＝2011，
充分性：由于a2000－a1999≤1.
a1999－a1998≤1.
……
a2－a1≤1.
所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999.
又因为a1＝12，a2000＝2011.
所以a2000＝a1＋1999.
故ak＋1－ak＝1>0(k＝1，2，…，1999)，即E数列An是递增数列．
综上，结论得证．
(3)对首项为4的E数列An，由于
a2≥a1－1＝3，
a3≥a2－1≥2，
……
a8≥a7－1≥－3，
……
所以a1＋a2＋…＋ak>0(k＝2，3，…，8)．
所以对任意的首项为4的E数列An，若S(An)＝0，则必有n≥9.
又a1＝4的E数列A9：4，3，2，1，0，－1，－2，－3，－4满足S(A9)＝0，
所以n的最小值是9.
课标理数2.A2[2011·福建卷] 若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
课标理数2.A2[2011·福建卷] A 【解析】 若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0成立；若(a－1)(a－2)＝0，则a＝2或a＝1，
则a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件，故选A.
课标文数3.A2[2011·福建卷] 若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
课标文数3.A2[2011·福建卷] A 【解析】 若a＝1，则|a|＝1成立；若|a|＝1，则a＝－1或a＝1，
则a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件，故选A.
课标理数9.A2[2011·湖北卷] 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )
A．必要而不充分的条件
B．充分而不必要的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
课标理数9.A2[2011·湖北卷] C 【解析】 若φ(a，b)＝0，则＝a＋b，两边平方整理得ab＝0，且a≥0，b≥0，所以a，b互补；若a，b互补，则a≥0，b≥0，且ab＝0，所以a＋b≥0，此时有φ＝－＝－＝－＝0，所以“φ＝0”是a与b互补的充要条件．
课标文数10.A2[2011·湖北卷] 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )
A．必要而不充分的条件
B．充分而不必要的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
课标文数10.A2[2011·湖北卷] C 【解析】 若φ(a，b)＝0，则＝a＋b，两边平方整理得ab＝0，且a≥0，b≥0，所以a，b互补；若a，b互补，则a≥0，b≥0，且ab＝0，所以a＋b≥0，此时有φ＝－＝－＝－＝0，所以“φ＝0”是a与b互补的充要条件．
课标理数2.A2[2011·湖南卷] 设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
课标理数2.A2[2011·湖南卷] A 【解析】 当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件， 故选A.
课标文数3.A2[2011·湖南卷] “x>1”是“|x|>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
课标文数3.A2[2011·湖南卷] A 【解析】 由不等式>1得x<－1或x>1.当x>1时，一定有>1成立，则条件具有充分性；当>1不一定有x>1，则不具有必要性，故选A.
课标理数8.A2[2011·江西卷] 已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
课标理数8.A2[2011·江西卷] C 【解析】 (1)当直线l与三个平行平面α1，α2，α3垂直时，显然P1P2＝P2P3⇔d1＝d2.
(2)当直线l与α1，α2，α3斜交时，过点P1作直线P1A⊥α2分别交α2，α3于点A，B，则P1A⊥α3，故P1A＝d1, AB＝d2，显然相交直线l与P1A确定一个平面β，
∵α1∥α2∥α3，∴P2A∥P3B, ∴＝.
故P1P2＝P2P3⇔d1＝d2.综上知，应选C.
图1－1
课标理数5.A2[2011·山东卷] 对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
课标理数5.A2[2011·山东卷] B 【解析】 由判定充要条件方法之一——定义法知，由“y＝f(x)是奇函数”可以推出“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”，反过来，逆推不成立，所以选B.
课标文数5.A2[2011·山东卷] 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
课标文数5.A2[2011·山东卷] A 【解析】 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以选择A.
课标理数1.A2[2011·陕西卷] 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
课标理数1.A2[2011·陕西卷] D 【解析】 利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为D.
课标文数1.A2[2011·陕西卷] 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
课标文数1.A2[2011·陕西卷] D 【解析】 利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为D.
大纲文数5.A2[2011·四川卷] “x＝3”是“x2＝9”的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
大纲文数5.A2[2011·四川卷] A 【解析】 x＝3⇒x2＝9，但x2＝9⇒x＝±3，所以“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．
大纲理数5.A2[2011·四川卷] 函数f(x)在点x＝x0处有定义是f(x)在点x＝x0处连续的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
大纲理数5.A2[2011·四川卷] B 【解析】 在x＝x0
处连续不仅需要有定义，还需要在该点处的极限值与函数值相等，所以函数在x＝x0处有定义是在该点处连续的必要不充分条件．所以选B.
课标理数2.A2[2011·天津卷] 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
课标理数2.A2[2011·天津卷] A 【解析】 当x≥2且y≥2时，一定有x2＋y2≥4；反过来当x2＋y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，例如x＝－4，y＝0也可以，故选A.
课标文数4.A2[2011·天津卷] 设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
课标文数4.A2[2011·天津卷] C 【解析】 ∵A＝{x∈R| x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，
∴A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}．又∵C＝{x∈R|x(x－2)>0}＝{x∈R|x<0或x>2}，
∴A∪B＝C，即“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．
课标理数7.A2[2011·浙江卷] 若a，b为实数，则“0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
课标理数7.A2[2011·浙江卷] A 【解析】 当a>0，b>0时，由0成立，∴“0”的充分条件．反过来，若ab<0，由a<或b>得不到01000成立”，所以它的否定是“任意的正整数n，使得2n≤1000成立”，用符号表示为“∀n∈N，2n≤1000”
课标理数2.A4[2011·广东卷] 已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
课标理数2.A4[2011·广东卷] C 【解析】 集合A表示以原点为圆心的单位圆，集合B表示过原点的直线，显然有两个交点，故选C.
课标理数8.A4[2011·广东卷] 设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是( )
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
课标理数8.A4[2011·广东卷] A 【解析】 T全部是偶数，V全部是奇数，那么T，V对乘法是封闭的，但如果T是全部偶数和1，3，那么此时T，V都符合题目要求，但是在V里面，任意取的数是－1和－3，那么相乘等于3，而V里面没有3，所以V对乘法不封闭．排除B、C、D选项，所以“至少一个”是对的．
课标文数2.A4[2011·广东卷] 已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
课标文数2.A4[2011·广东卷] C 【解析】 集合A表示以原点为圆心的单位圆，集合B表示过点(1，0)，(0，1)的直线，显然有两个交点，故选C.
课标理数2.A4[2011·江西卷] 若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0
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