初中二次函数知识点及经典题型

初中二次函数知识点及经典题型

二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般 一般式： )0,,(2  acbacbxaxy 是常数， （2）两根 当抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 02  cbxax 有实根 1x 和 2x 存在时，根据二次三项式的分解因式 ))(( 21 2 xxxxacbxax  ，二次函数 cbxaxy  2 可转化为两根式 ))(( 21 xxxxay  。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3） 顶点式： )0,,()( 2  akhakhxay 是常数， 知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小 值），即当 a bx 2  时， a bacy 4 4 2最值 。 如果自变量的取值范围是 21 xxx  ，那么，首先要看 a b 2  是否在自变量取值范 围 21 xxx  内，若在此范围内，则当 x= a b 2  时， a bacy 4 4 2最值 ；若不在此范围 内，则需要考虑函数在 21 xxx  范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而 增大，则当 2xx  时， cbxaxy  2 2 2最大 ，当 1xx  时， cbxaxy  1 2 1最小 ；如 果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 1xx  时， cbxaxy  1 2 1最大 ，当 2xx  时， cbxaxy  2 2 2最小 。 知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函 数 二次函数 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数， 图 像 a>0 a<0 y 0 x y 0 x 性 质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是 x= a b 2  ，顶点坐标是 （ a b 2  ， a bac 4 4 2 ）； （3）在对称轴的左侧，即当 x< a b 2  时，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即 当 x> a b 2  时，y 随 x 的增大而增大，简 记左减右增； （4）抛物线有最低点，当 x= a b 2  时，y 有 最小值， a bacy 4 4 2最小值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是 x= a b 2  ，顶点坐标是 （ a b 2  ， a bac 4 4 2 ）； （3）在对称轴的左侧，即当 x< a b 2  时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， 即当 x> a b 2  时，y 随 x 的增大而减 小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当 x= a b 2  时，y 有 最大值， a bacy 4 4 2最大值 2、二次函数 )0,,(2  acbacbxaxy 是常数， 中， cb、、a 的含义： a 表示开口方向：a >0 时，抛物线开口向上 a <0 时，抛物线开口向下 b 与对称轴有关：对称轴为 x= a b 2  c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标：（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ac4b 2  ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交 点。 当  >0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当  =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当  <0 时，图像与 x 轴没有交点。 知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记 忆） 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题 方法） Y 如图：点 A 坐标为（x1，y1）点 B 坐标为（x2，y2） 则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为    2 21 2 21 yyxx  A 0 x B 2，二次函数图象的平移 ① 将抛物线解析式转化成顶点式  2y a x h k   ，确定其顶点坐标 h k， ； ② 保持抛物线 2y ax 的形状不变，将其顶点平移到 h k， 处，具体平移方法如下： ③平移规律 函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点， 对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） (必须理解记忆) 说明① 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必 在 Y 轴右侧异右 ②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 对称点坐标: 对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆， X 轴对称 y 相反, Y 轴对称,x 前面添负号； 原点对称最好记,横纵坐标变符号。 关于 x 轴对称 2y ax bx c   关于 x 轴对称后，得到的解析式是 2y ax bx c    ；  2y a x h k   关于 x 轴对称后，得到的解析式是  2y a x h k    ； 关于 y 轴对称 2y ax bx c   关于 y 轴对称后，得到的解析式是 2y ax bx c   ；  2y a x h k   关于 y 轴对称后，得到的解析式是  2y a x h k   ； 关于原点对称 2y ax bx c   关于原点对称后，得到的解析式是 2y ax bx c    ；  2y a x h k   关于原点对称后，得到的解析式是  2y a x h k    关于顶点对称 2y ax bx c   关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 by ax bx c a      ；  2y a x h k   关于顶点对称后，得到的解析式是  2y a x h k    ． 关于点 m n， 对称  2y a x h k   关于点 m n， 对称后，得到的解析式是  22 2y a x h m n k      根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永 远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再 确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 1.二次函数 ，二次项系数是 ，一次项系数 是 ，常数项是 。 2. 函数 y= x2 的图象叫 线，它开口向 ，对称 轴是 ，顶点坐标为 . 3. 把二次函数 配方成 的形式 为 ，它的图象是 ，开口 向 ，顶点坐标是 ，对称轴 是 。 4. 将抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则新抛物线的 解析式为（ ）. A. B. C. D. 5.如图所示的抛物线是二次函数 的图象，那么 的值 是 ． 6.已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方 程 的解为 ． 7 已知二次函数 的图象如图所示，则点 在 第 象限． 8.二次函数 ，当 时， 。此抛物线与 x 轴有 个交点。 9 抛物线 的顶点坐标是 （ ） A. （0，1） B.（0，-1） C.（1,0） D.（-1,0） 10.二次函数 与 x 轴的交点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11.在同一坐标系中一次函数 和二次函数 的图象可能为 （ ） 2013•遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若 M=a+b-c， N=4a-2b+c，P=2a-b．则 M，N，P 中，值小于 0 的数有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D 0 个 分析：根据图象得到 x=-2 时对应的函数值小于 0，得到 N=4a-2b+c 的值小于 0，根据对称轴在直线 x=-1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下 得到 a 小于 0，变形即可对于 P 作出判断，根据 a，b，c 的符号判断得出 a+b-c 的符号． 解答：解：∵图象开口向下，∴a＜0， ∵对称轴在 y 轴左侧，∴a，b 同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过 y 轴正半轴， ∴c＞0，∴M=a+b-c＜0 当 x=-2 时，y=4a-2b+c＜0，∴N=4a-2b+c＜0， 对称抽大于-1∴b＞2a，∴2a-b＜0，∴P=2a-b＜0，则 M，N，P 中，值小于 0 的 数有 M，N，P．故选：A． （2013•漳州）二次函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是 （ ） A．a＜0 B．b2-4ac＜0 C．当-1＜x＜3 时，y＞0 D．对称轴等于 1 ． 分析：根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可． 解答：解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故本选项错误； B、∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点，∴△=b 2-4ac＞0，故本选项错误； C、由函数图象可知，当-1＜x＜3 时，y＜0，故本选项错误； D、∵抛物线与 x 轴的两个交点分别是（-1，0），（3，0），∴对称轴= =1 （2013•张家界）若正比例函数 y=mx（m≠0），y 随 x 的增大而减小，则它和二次函数 y=mx 2+m 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 分析：根据正比例函数图象的性质确定 m＜0，则二次函数 y=mx 2+m 的图象开口方向向 下，且与 y 轴交于负半轴． 解答：解：∵正比例函数 y=mx（m≠0），y 随 x 的增大而减小， ∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且 m＜0． ∴二次函数 y=mx 2+m 的图象开口方向向下，且与 y 轴交于负半轴． 综上所述，符合题意的只有 A 选项． 故选 A． −1+3 2 （2013•岳阳）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜ 0；③c＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c＜0．其中正确的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关 系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：如图，①抛物线开口方向向下，则 a＜0．故①正确； ②∵对称轴 x=-b/2a=1，∴b=-2a＞0，即 b＞0．故②错误； ③∵抛物线与 y 轴交于正半轴，∴c＞0．故③正确； ④∵对称轴 x=- b/2a=1 ∴b+2a=0．故④正确；⑤根据图示知，当 x=1 时，y＞0，即 a+b+c＞0．故⑤错误． 综上所述，正确的说法是①③④，共有 3 个．故选 C． （2013•乌鲁木齐）已知 m，n，k 为非负实数，且 m-k+1=2k+n=1，则代数式 2k 2-8k+6 的最小值为（ ） A．-2 B．0 C．2 D．2.5 解答：解：∵m，n，k 为非负实数，且 m-k+1=2k+n=1， ∴m，n，k 最小为 0，当 n=0 时，k 最大为：1/2 ∴0≤k≤1/2 ∵2k 2-8k+6=2（k-2）2-2， ∴a=2＞0，∴k≤2 时，代数式 2k 2-8k+6 的值随 x 的增大而减小 故选：D． （2013•黔西南州）如图所示，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下 面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错 误的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关 系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：（1）图象与 x 轴有 2 个交点，依据根的判别式可知 b2-4ac＞0，正确； （2）图象与 y 轴的交点在 1 的下方，所以 c＜1，错误； （3）∵对称轴在-1 的右边，∴-b/2a＞-1，又 a＜0，∴2a-b＜0，正确； （4）当 x=1 时，y=a+b+c＜0，正确； 故错误的有 1 个． 故选：A． （2013•茂名）下列二次函数的图象，不能通过函数 y=3x 2 的图象平移得到的是（ ） A．y=3x 2+2 B．y=3（x-1）2 C．y=3（x-1） 2+2 D．y=2x 2 分析：根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利 用排除法求解． 解答：解：A、y=3x 2 的图象向上平移 2 个单位得到 y=3x 2+2，故本选项错误； B、y=3x 2 的图象向右平移 1 个单位得到 y=3（x-1）2，故本选项错误； C、y=3x 2 的图象向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到 y=3（x-1） 2+2，故本选项 错误；D、y=3x 2 的图象平移不能得到 y=2x 2，故本选项正确．故选 D． （2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 21 2 x 经过平移得到抛物线 y= 21 2 x −2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 根据抛物线解析式计算出 y= 21 2 x −2x 的顶点坐标，过点 C 作 CA⊥y 轴于点 A，根据抛 物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形 ACBO 的面积，然后求解即可． （2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y=-mx 2+2x+2（m 是常数，且 m≠0）的图象可能是（ ） A． B． C． D． （2013•达州）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 y＝b/x 与一次函数 y=cx+a 在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． （2013•包头）已知二次函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜ 0；②4a+2b+c＜0；③a-b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行 推理，利用图象将 x=1，-1，2 代入函数解析式判断 y 的值，进而对所得结论进行判 断． 解答：解：①图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，能得到：a＞0，-b/2a＞0，则 b＜ 0，正确； ②∵对称轴为直线 x=1，∴x=2 与 x=0 时的函数值相等，∴当 x=2 时，y=4a+2b+c＞0， 错误； ③当 x=-1 时，y=a-b+c＞0，正确； ④∵a-b+c＞0，∴a+c＞b；∵当 x=1 时，y=a+b+c＜0，∴a+c＜-b；∴b＜a+c＜-b， ∴|a+c|＜|b|，∴（a+c） 2＜b2，正确． 所以正确的结论是①③④．故选 C． （2013•松北区三模）已知抛物线的解析式为为 y=（x-2） 2+1，则当 x≥2 时，y 随 x 增 大的变化规律是（ ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 （2013•浦东新区一模）如果抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0）和（3，0），那么对 称轴是直线（ ） A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3 （2013•德州）下列函数中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ） A．y=-x+1 B．y=x 2-1 C．y=1/x D．y=-x 2+1 （2012•兰州）二次函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax 2+bx+c|=k（k≠ 0）有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3 ．分析：先根据题意画出 y=|ax 2+bx+c|的图象，即可得出|ax 2+bx+c|=k（k≠0）有两 个不相等的实数根时，k 的取值范围． 解答： 解：∵当 ax 2+bx+c≥0，y=ax 2+bx+c（a≠0）的图 象在 x 轴上方， ∴此时 y=|ax 2+bx+c|=ax 2+bx+c， ∴此时 y=|ax 2+bx+c|的图象是函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）在 x 轴上方部分的图象， ∵当 ax 2+bx+c＜0 时，y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象在 x 轴下方， ∴此时 y=|ax 2+bx+c|=-（ax 2+bx+c） ∴此时 y=|ax 2+bx+c|的图象是函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）在 x 轴下方部分与 x 轴对称的 图象， ∵y=ax 2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是-3， ∴函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）在 x 轴下方部分与 x 轴对称的图象的顶点纵坐标是 3， ∴y=|ax 2+bx+c|的图象如右图， ∵观察图象可得当 k≠0 时， 函数图象在直线 y=3 的上方时，纵坐标相同的点有两个， 函数图象在直线 y=3 上时，纵坐标相同的点有三个， 函数图象在直线 y=3 的下方时，纵坐标相同的点有四个， ∴若|ax 2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根， 则函数图象应该在 y=3 的上边， 故 k＞3， 故选 D． （2013•镇江）如图，抛物线 y=ax 2+bx（a＞0）经过原点 O 和点 A（2，0）． （1）写出抛物线的对称轴与 x 轴的交点坐标； （2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若 x1＜x2＜1，比较 y1，y2 的大小； （3）点 B（-1，2）在该抛物线上，点 C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，求直线 AC 的函数关系式． 分析：（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与 x 轴的交点坐标； （2）根据抛物线的对称轴与 x 轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是 x=1，然后根 据函数图象的增减性进行解题； （3）根据已知条件可以求得点 C 的坐标是（3，2），所以根据点 A、C 的坐标来求直线 AC 的函数关系式． 解答： 解：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的 对称轴与 x 轴的交点坐标（1，0）； （2）抛物线的对称轴是直线 x=1． 根据图示知，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小， 所以，当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2； （3）∵对称轴是 x=1，点 B（-1，2）在该抛物线上，点 C 与点 B 关于抛物线的对称轴 对称，∴点 C 的坐标是（3，2）． 设直线 AC 的关系式为 y=kx+b（k≠0）． 0＝2k+b 2＝3k+b 解得 k＝2 b＝−4 ∴直线 AC 的函数关系式是：y=2x-4． （2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP′C，那么是否存在点 P，使 四边形 POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边 形 ABPC 的最大面积． 分析：（1）将 B、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形 POP′C 为菱形，那么 P 点必在 OC 的 垂直平分线上，据此可求出 P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出 P 点的坐 标； （3）由于△ABC 的面积为定值，当四边形 ABPC 的面积最大时，△BPC 的面积最大；过 P 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于 Q，交 x 轴于 F，易求得直线 BC 的解析式，可设出 P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线 BC 的解析式求出 Q、P 的纵坐标，即可得到 PQ 的 长，以 PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积，由此可得到关于四边 形 ACPB 的面积与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形 ABPC 的最 大面积及对应的 P 点坐标 ． （2010•通化）某公司经销一种绿茶，每千克成本为 50 元．市场调查发现，在一段时间 内，销售量 w（千克）随销售单价 x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=- 2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 y（元），解答下列问题： （1）求 y 与 x 的关系式； （2）当 x 取何值时，y 的值最大？ （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90 元/千克，公司想要在这段时 间内获得 2250 元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 分析：（1）因为 y=（x-50）w，w=-2x+240 故 y 与 x 的关系式为 y=-2x 2+340x-12000． （2）用配方法化简函数式求出 y 的最大值即可． （3）令 y=2250 时，求出 x 的解即可． 解答：解：（1）y=（x-50）•w=（x-50）•（-2x+240）=-2x 2+340x-12000， ∴y 与 x 的关系式为：y=-2x 2+340x-12000． （3 分） （2）y=-2x 2+340x-12000=-2（x-85） 2+2450∴当 x=85 时，y 的值最大．（6 分） （3）当 y=2250 时，可得方程-2（x-85）2+2450=2250 解这个方程，得 x1=75，x2=95 根据题意，x2=95 不合题意应舍去 ∴当销售单价为 75 元时，可获得销售利润 2250 元． （10 分） （2010•青海）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将 减少 20 千克． （1）现该商场要保证每天盈利 6 000 元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价 多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 分析：本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值． 解答：解：（1）设每千克应涨价 x 元，则（10+x）（500-20x）=6 000（4 分） 解得 x=5 或 x=10，为了使顾客得到实惠，所以 x=5．（6 分） （2）设涨价 x 元时总利润为 y， 则 y=（10+x）（500-20x） =-20x 2+300x+5 000 =-20（x2-15x）+5000 =-20（x2-15x+225/4-225/4）+5000 =-20（x-7.5）2+6125 当 x=7.5 时，y 取得最大值，最大值为 6 125．（8 分） 答：（1）要保证每天盈利 6000 元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 5 元； （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价 7.5 元，能使商场获利最 多．（10 分） （2010•锦州）如图，抛物线与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点，且 x1＞x2，与 y 轴交于点 C（0，4），其中 x1，x2 是方程 x2-2x-8=0 的两个根． （1）求这条抛物线的解析式； （2）点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于点 E，连接 CP，当△CPE 的 面积最大时，求点 P 的坐标； （3）探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 Q，使△QBC 成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）先通过解方程求出 A，B 两点的坐标，然后根据 A，B，C 三点的坐标，用待 定系数法求出抛物线的解析式． （2）本题要通过求△CPE 的面积与 P 点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△ CPE 的面积的最大值以及对应的 P 的坐标．△CPE 的面积无法直接表示出，可用△CPB 和△BEP 的面积差来求，设出 P 点的坐标，即可表示出 BP 的长，可通过相似三角形△ BEP 和△BAC 求出．△BEP 中 BP 边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△ CEP 的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值． （3）本题要分三种情况进行讨论： ①QC=BC，那么 Q 点的纵坐标就是 C 点的纵坐标减去或加上 BC 的长．由此可得出 Q 点的 坐标． ②QB=BC，此时 Q，C 关于 x 轴对称，据此可求出 Q 点的坐标． ③QB=QC，Q 点在 BC 的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出 QC 的长，进而求出 Q 点的坐标． （2009•天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c（a＞0）的图象的 顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标 为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=1/3 （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使 以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存 在，请说明理由． （3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相 切，求该圆半径的长度． （4）如图，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动 点，当点 P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和△APG 的最 大面积． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题． 分析：（1）求二次函数的表达式，需要求出 A、B、C 三点坐标．已知 B 点坐标，且 OB=OC，可知 C（0，3），tan∠ACO= 1 3 ，则 A 坐标为（-1，0）．将 A，B，C 三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达 式． （2）假设存在这样的点 F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点 D 坐标，今儿求出直 线 CD，E 是直线与 x 轴交点，可得 E 点坐标．四边形 AECF 为平行四边形，则 CE∥AF， 则两直线斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F 在抛物线上，为等式 （3），根据这三个等式，即可求出 m、n 是否存在． （3）分情况讨论，当圆在 x 轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上， 设圆半径为 r，则 N 的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出 r 的值．当 圆在 x 轴的下方时，方法同上，只是 N 的坐标变为（r+1，-r），代入抛物线解析式即 可求解． （4）G 在抛物线上，代入解析式求出 G 点坐标，设点 P 的坐标为（x，y），即（x，x2- 2x-3）已知点 A、G 坐标，可求出线段 AG 的长度，以及直线 AG 的解析式，再根据点到 直线的距离求出 P 到直线的距离，即为三角形 AGP 的高，从而用 x 表示出三角形的面 积，然后求当面积最大时 x 的值． （2009•青海）矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C 两点的坐标分别为 A （6，0），C（0，-3），直线 y=-3/4 x 与 BC 边相交于 D 点． （1）求点 D 的坐标； （2）若抛物线 y=ax 2-9/4x 经过点 A，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线 OD 交于点 M，点 P 为对称轴上一动点，以 P、 O、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的点 P 的坐标． 分析：前两问由抛物线性质，用待定系数求出点 D 的坐标和抛物线的表达式；最后一问 找三角形相似，作辅助线过点 O 作 OD 的垂线交抛物线的对称轴于点 P2，再根据相似三 角形比例关系求出 P 点坐标． （2009•临沂）如图，抛物线经过 A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A， P，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得△DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标． ． 分析：（1）已知抛物线经过 A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式的交点式，再 把 C（0，-2）代入即可； （2）∵△OAC 是直角三角形，以 A，P，M 为顶点的三角形与其相似，由于点 P 可能在 x 轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答； （3）过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E，将△DCA 分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们 的底相同，为 DE，高的和为 4，就可以表示它们的面积和，即△DCA 的面积，运用代数 式的变形求最大值． （2009•江苏）如图，已知二次函数 y=x 2-2x-1 的图象的顶点为 A．二次函数 y=ax 2+bx 的图象与 x 轴交于原点 O 及另一点 C，它的顶点 B 在函数 y=x 2-2x-1 的图象 的对称轴上． （1）求点 A 与点 C 的坐标； （2）当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 y=ax 2+bx 的关系式． ． 分析：（1）二次函数 y=ax 2+bx 的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函 数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴． y=x 2-2x-1=（x-1） 2-2，所以顶点 A 的坐标为（1，-2）对称轴为 x=1， 所以二次函数 y=ax 2+bx 关于 x=1 对称，且函数与 x 轴的交点分别是原点和 C 点， 所以点 C 和点 O 关于直线 l 对称，所以点 C 的坐标为（2，0）； （2）因为四边形 AOBC 是菱形，根据菱形性质，可以得出点 O 和点 C 关于直线 AB 对 称，点 B 和点 A 关于直线 OC 对称，因此，可求出点 B 的坐标，点 B 的坐标为（1， 2）， 二次函数 y=ax 2+bx 的图象经过点 B（1，2），C（2，0），将 B，C 代入解析式，可 得， 解得a+b＝−2 4a+2b＝0 a＝−2 b＝4 所以二次函数 y=ax 2+bx 的关系式为 y=-2x 2+4x． （2009•武汉）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件； 如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设 每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你 直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？ 分析：（1）根据题意可知 y 与 x 的函数关系式． （2）根据题意可知 y=-10-（x-5.5） 2+2402.5，当 x=5.5 时 y 有最大值． （3）设 y=2200，解得 x 的值．然后分情况讨论解． 解答：解：（1）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40） =-10x 2+110x+2100（0＜x≤15 且 x 为整数）； （2）由（1）中的 y 与 x 的解析式配方得：y=-10（x-5.5）2+2402.5． ∵a=-10＜0，∴当 x=5.5 时，y 有最大值 2402.5． ∵0＜x≤15，且 x 为整数， 当 x=5 时，50+x=55，y=2400（元），当 x=6 时，50+x=56，y=2400（元） ∴当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元． （3）当 y=2200 时，-10x 2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10． ∴当 x=1 时，50+x=51，当 x=10 时，50+x=60． ∴当售价定为每件 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元． 当售价不低于 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元． 当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时，每个月的利润不低于 2200 元（或当售 价分别为 51，52，53，54，55，56，57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于 2200 元）． （2006•南通）已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 A，B，C 三点，当 x≥0 时，其图象如图所 示． （1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线 y=ax 2+bx+c 当 x＜0 时的图象； （3）利用抛物线 y=ax 2+bx+c，写出 x 为何值时，y＞0． 考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象． 分析：本题的关键是求出抛物线的解析式，在题目给出的图象中可得出 A、B、C 三点的 坐标，可用待定系数求出抛物线的解析式，进而可画出 x＜0 时抛物线的图象，以及 y＞ 0 时 x 的取值范围． （2011•天水）抛物线 y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y＞0，则 x 的取值范围是 ． （2007•舟山）抛物线 y=2（x-2） 2-6 的顶点为 C，已知 y=-kx+3 的图象经过点 C，则 这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）