湖南省永州市2020届高三上学期模拟考试 数学（理）
永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
数学(理科)
注意事项：
1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
2.考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足，则z的共轭复数为
A.1－i B.1＋i C.－1＋i D.－1－i
2.已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|log2x>0}，则
A.A∩B＝{x|1
1}
3.执行右图所示程序框图，若输入p＝，则输出结果为
A.2 B.3 C.4 D.5
4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。
对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是
A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg)内的人数不变
B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg)内的人数减少了4人
C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg)
D.他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg
5.已知数列是首项为8，公比为的等比数列，则a4等于
A.8 B.32 C.64 D.128
6.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；姓380人，编号为221，222，…，600。为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10。现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是
A. B. C. D.
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝
A.－2 B.0 C.2 D.2020
8.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如右图所示，且A(，－l)，B(π，1)，则φ的值为
A.－ B. C.－ D.
9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便。每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位。某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层)：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一。设水管的直径与保温带的宽度都为4cm。在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)
A. B. C. D.
10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为
A.8π B.6π C.4π D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12.数列{an}满足an＋1＋an＝11－n＋(－1)n，且00)与C1，C2分别交于点M、N，求的最大值。
23.[选修4－5：不等式选讲](本题满分10分)
已知函数f(x)＝|x－2|。
(1)求不等式f(x)≤2x＋5的解集；
(2)记函数g(x)＝f(x＋1)－f(－x＋5)，且g(x)的最大值为M，若a>0，求证：。
永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
C
C
B
D
B
A
C
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13． 14． 15．
16．(1)（2分）; (2) （3分）
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）解：（1）
…………………………………………………………………3分
在中，由余弦定理可得
………………………………………………………………6分
（2）
……8分
，，
，，
………………………………………………………10分
在中，由正弦定理可得，
． ………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
A
B
C
F
E
D
（第18题图）
x
y
解：（1）证明：因为，，
所以，因为，所以．
又因为，，
所以，而，
所以，又，
所以． ………………6分
（2）解：设直线与平面所成交的余弦值为．
连接，在中，，，
，所以，且，，
又因为，，，
所以，．在中，，，所以．
如图，以点为坐标原点，分别以 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点
坐标为，，，，
因为，为的中点，所以为的中点，即，
设平面的法向量，
，，
由，即，
整理得， 令，得，，则．……10分
因为 ，所以，
故直线与平面所成交的正弦值为． ……………12分
19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆过点，∴，① ………2分
又因为直线的斜率之积为，可求得，②
联立①②得．
∴所求的椭圆方程为． ……………………………………………6分
（2）方法1：由（1）知，． 由题意可设，
令x=m,得．又设
由整理得：．…………………6分
∵，∴，，
所以， ……………………………………………………8分
∴ ，…10分
要使与k无关，只须，此时恒等于4.
∴ ……………………………………………………………………………12分
方法2：:设，则，令x=m,得，
∴
由有，
所以，
要使与无关，只须，此时.
∴ …………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）如果，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为
检测结果恰有两份次品的概率． ………………………3分
（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，由已知得，的所有可能取值为
,
= …………………5分
要减少检验次数，则，则
∴，，即， ………………………7分
（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为，，则由（2）知，
， ，
………………10分
②设这组采用混合检验的检验次数分别为，，， ，，，且检验总次数，
，
，
所以检验总次数的数学期望． …………………12分
21．（本小题满分12分）
证明：(1)当x∈（0,1）时，f′(x)＝＞0，函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+1<0，f(1)＝3>0，所以存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0．…4分
(2) 当x∈（1，2）时，,
令t=2-x, x=2-t，x∈（1，2），t∈（0，1），
, t∈（0，1） ……………………6分
记函数，t∈（0，1）．
则h′(t)＝． ……………………8分
由(1)得，当t∈(0，x0)时，f(t)<0，h′(t)＞0，
当t∈(x0，1)时，f(t) >0，h′(t) <0．
故在(0，x0)上h(t)是增函数，又h(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，h(t)>0，所以h(t)在(0，x0]上无零点．
在(x0，1)上h(t)为减函数，由h(x0)>0，h(1)＝－ln 2<0，知存在唯一t1∈(x0，1)，使h(t1)＝0， ……………………………………………10分
故存在唯一的t1∈(0，1)，使h(t1)＝0．
因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1，2)，使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．
因为当t∈ (0，1)时，1＋t>0，故与g(2－t)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈（1，2），使g(x1)＝0．
因为x1＝2－t1，t1>x0，所以x0＋x1<2． …………………………………………12分
22．（本小题满分10分）
解：（1）直线的直角坐标方程为，
将，代入方程得
，即， …………………………5分
（2）设直线的极坐标方程为，设，
则，
由，有，
当时，的最大值为． ………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）由得，解得
不等式的解集为． ………………………5分
（2）
当且仅当时等号成立，
， ………………………7分
．
当且仅当，即时等号成立． ………………………10分
