福建省龙海第二中学2021届第一学期半期考试高三数学试题

福建省龙海第二中学2021届第一学期半期考试高三数学试题

第 1 页 共 13 页 高三数学试题 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。请将正确答案的代号涂在答题卡上。 1.设全集 { | 0}= ≥U xx ，集合 }1{=A ，则 ACU =（ ） A.( ,1) (1, )−∞ +∞ B. ( ,1)−∞ C.[0,1) (1, )+∞ D.(1, )+∞ 2.命题 :p ABC∆ 为锐角三角形，命题 :q ABC∆ 中， BA cossi n > . 则命题 p 是命题 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.幂函数 )(xf 满足 )2(3)4( ff = ,则 )2 1(f 等于( ) A. 3 1 B.3 C. 3 1− D. 3− 4.若 3sin( 2 )25 π α−= ，则 44sin cosαα− 的值为（ ） A． 4 5 B． 3 5 C． 4 5 − D． 3 5 − 5.设 π πln,3 3ln,2 2ln === cba ,则下列判断中正确的是( ) 2020-2021 学年第一学期半期考 “六校联考”半期考高三数学试卷 第 2 页 共 13 页 A. cba >> B. acb >> C. bca >> D. abc >> 6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分 家万事休。在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征。函数 ( ) (1 ) sine 2 1xfx x= − + 在区间 π π( ,)22 − 上的图象的大致形状是( ) A． B． C． D． 7.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2020 年5月1日 12 35000 2020 年5月15日 60 35600 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程。在这段时间内，该车每百千米平均耗油量为（ ） A．6升 B．8 升 C．10升 D．12升 8.若函数 )( 0,3 0,2)( Ra xax xaxf x ∈    >− ≤−= － 在 R 上没有零点,则 a 的取值范围是( ) A. ）+∞,0( B. }0{),1 +∞（ C. ]0,(−∞ D. ]1,(−∞ 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.己知实数 yx, 满足约束条件    ≥ ≤−− ≤−+ 1 02 02 x yx yx ,则（ ） A.目标函数 yxz −= 的最小值为 0 B. 目标函数 yxz += 的最小值为 0 C.目标函数 22)1( yxz ++= 的最小值为 5 D.目标函数 22)1( yxz ++= 的最小值为 4 第 3 页 共 13 页 10.设正实数 a ，b 满足 1ab+=，则（ ） A. 22log log 2ab+ ≥− B． 4 171 ≥+ abab C. 22312 +≤+ ba D． 12 2 ab− > 11.已知函数 ( ) [ ]xxf cossin= （[ x ]表示不超过实数 x 的最大整数部分），则（ ） A. ( )xf 的最小正周期为 π2 B. ( )xf 是偶函数 C. ( )xf 在    20 π， 单调递减 D. ( )xf 的值域为[ ]11si nsi n ，− 12.已知函数 )(xf 为 R 上的可导函数，则下列判断中正确的是（ ） A.若 )(xf 在 0xx = 处的导数值为 0 ，则 )(xf 在 0xx = 处取得极值 B.若 )(xf ′ 为奇函数，则 )(xf 为偶函数 C.若 )(xf ′ 为偶函数，则 )(xf 为奇函数 D.若 )(xf 的图像关于某直线对称，则 )(' xf 的图像关于某点成中心对称 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。其中 16 题两空，第一空 2 分，第二空 3 分， 请将正确答案填写在答题卡上。 13.不等式 ax <−1 的解集为 ( )20， ，则 a 的值为_________________. 14.命题 [ ]1,1: 0 −∈∃xp ， 012 0 ≤−+ mx 为真命题，则实数 m 的取值范围是______________. 15.已知函数 12 1)( 2 −−−= kxxexf x 有两个极值点，则 k 的取值范围是____________. 16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆 的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的 第 4 页 共 13 页 面积之和。其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 从这个定理可 以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性 质．已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上， AC 、 BD 是其两条对角线， 4=BD ， 且 ACD∆ 为正三角形，则 ABC∆ 面积的最大值为___________ ， 四边形 ABCD 的面积为 ________________.(注：圆内接凸四边形对角互补） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本题满分 10 分） 已知函数 baxxxf +−= 3)( 在 1=x 处的切线方程为 0=y . （1）求实数 ba, 的值； （2）求函数 )(xf 在区间 ]2,1[− 上的最大值与最小值之和. 18.（本题满分 12 分） ○1 函数 ( ) )0(4 1 2cos2 1 2cos2sin2 3 2 >−+= ωωωω ）（）（）（ xxxxf ， ○2 函数 1 π( ) sin( )( 0,| | )22fx xω ϕω ϕ= +><的图像向右平移 π 12 个单位长度得到 ()gx的图像， ()gx的图像关于原点对称. 在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： “六校联考”半期考高三数学试卷 第 5 页 共 13 页 “已知_______，函数 ()fx图像的相邻两条对称轴之间的距离为 π 2 .” （1）求 π()6f 的值； （2）求函数 ()fx在[0, π]上的单调递增区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.（本题满分 12 分） （1）已知角α 的终边上有一点 )4,3(P ，求 )cos()2 3cos( )2 3sin()sin( απαπ απαπ −++ −−− 的值. （2）已知 2tantan6 =++ βαπβα ，＝ ，求 )cos( βα − 的值. 20.（本题满分 12 分） 如图，在 ABC∆ 中， 3B π= ， 2BC = ，线段 AC 的垂直平分线 交 AB 于点 D ，连接CD . 第 6 页 共 13 页 （1）若 BCD∆ 的面积为 3 3 ，求 CD 的长； （2）若 6 2DE = ，求角 A 的大小. 21.（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) lngx x a x= − . （1）讨论 ()gx的单调性； （2）若 2a > ，且 ( )1()fx gxx = − 存在两个极值点 12,xx( )21 xx < ， 证明： ( ) ( ) ( )1 2 12( 2)fx fx a x x− >− − . 22.（本题满分 12 分） 第 7 页 共 13 页 已知函数 mxexf x +=)( . （1）讨论 )(xf 的零点个数； （2）若不等式 1ln1 ++≥+− xaxxe ax 对 1>x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 第 8 页 共 13 页 2020-2021 学年第一学期半期考 数学科试题参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D B A C B 二、多项选择题 题号 9 10 11 12 答案 AD BD AB BD 三、填空题 13. 1 14. ]1,(−∞ 15. ),1( +∞ 16. 3 34 四、解答题 17.（本题满分 12 分） 解 ：（ 1）由已知得切点为 )0,1( ，且 axxf −=′ 23)( ，.........................1 分 ∴    =′ = 0)1( 0)1( f f ，即    =− =+− 03 01 a ba ，解得 2,3 == ba .........................5 分 （2）由（1）知 23)( 3 +−= xxxf ， 33)( 2 −=′ xxf 令 033)( 2 =−=′ xxf 得 1,1 =−= xx .........................7 分 ∴ 4)2(,0)1(,4)1( ===− fff 第 9 页 共 13 页 则 )(xf 在区间 ]2,1[− 上的最大值与最小值之和为 4 ..........................10 分 18.（本题满分 12 分） 选择条件①： 依题意， ()fx相邻两对称轴之间距离为 π 2 ，则周期为 π ，从而 2ω = ，..........2 分 1( ) sin(2 )2fx x φ= + ， 1 π( ) sin(2 )26gx x φ= +− ， 又 ()gx的图像关于原点对称，则 (0) 0g = ，由 π||2 φ < 知 π 6 φ = ，................5 分 从而 1 π( ) sin(2 )26fx x= + ， π 1()62f = ........................7 分 选择条件②： ( ) )0(4 1 2cos2 1 2cos2sin2 3 2 >−+= ωωωω ）（）（）（ xxxxf 即有： 311 π( ) sin cos = sin( )4 42 6fx x x xωωω=++ 又因为 ()fx相邻两对称轴之间距离为 π 2 ，则周期为 π ，从而 2ω = ， 从而 1 π( ) sin(2 )26fx x= + ， π 1()62f = ........................7 分 （2） 1 π( ) sin(2 )26fx x= + ，令 π π2 π-2 2π ,26 2k x k kzπ ≤ +≤ + ∈， 解得 π ππ , π ,36x k k kz∈− + ∈ ， 从而 ()fx在[ ]0, π 上的单调递增区间为 π 20, , ,63 π π        .........................12 分 19.（本题满分 12 分） 第 10 页 共 13 页 .解 ：（ 1）原式 1tan 1tan cossin cossin − +=− += α α αα αα 由已知可得 3 4tan =α ，故原式 7= ........................6 分 （3）由 2tantan =+ βα ，可得 2coscos )sin( cos sin cos sin =+=+ βα βα β β α α 4 1coscos,6 =∴=+ βαπβα 又 2 3sinsincoscos)cos( =+=+ βαβαβα 2 3 4 1sinsin −=∴ βα 2 31sinsincoscos)cos( −=+=−∴ βαβαβα ........................12 分 20.（本题满分 12 分） 解：(1)由已知得 S △ BCD＝ 1 2 BC·BD·sin B＝ 3 3 ，又 BC＝2，sin B＝ 3 2 ， ∴BD＝ 2 3 ，cos B＝ 1 2 ．在 △ BCD 中，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos B＝22＋ 2 3 2）（ －2×2× 2 3 × 1 2 ＝ 28 9 ． ∴CD＝ 27 3 ．........................6 分 (2) ∵CD＝AD＝ 6 sin 2sin DE AA = ， 在 △ BCD 中，由正弦定理，得 sin sin BC CD BDC B =∠ ， 第 11 页 共 13 页 又∠BDC＝2A，得 26 sin2 2sin sinA AB = ， 解得 cos A＝ 2 2 ，所以 A＝ 4 π ．........................12 分 21.本题满分 12 分） 解：解（1） ( ) lngx x a x= − 的定义域为( )0, ∞+ ， ( ) 1 a xagx xx −′ =−= ....................2 分 (i)若 0a ≤ ，则 ( ) 0gx′ ≥ ，所以 ( )gx在( )0, ∞+ 单调递增. ........................3 分 (ii)若 0a > ，当 ( )0,xa∈ 时， ( ) 0gx′ < ；当 ( ),xa∈ +∞ 时， ( ) 0gx′ > . 所以 ( )gx在( )0,a 单调递减，在( ),a +∞ 单调递增........................5 分 （2）因为 ( )fx存在两个极值点且 2a > . ( ) 2 2 1x axfx x −+′ = − ， 所以 ( )fx的两个极值点 12,xx满足 2 10x ax− +=， 所以 12 1=xx ，不妨设 12xx< ，则 2 1>x ........................7 分 则 ( ) ( )12 12 12 12 12 1 ln ln1fx fx xxaxx xx xx − −=− −+−− 12 2 12 2 2 ln ln 2ln221 xx xaaxx xx −−=−+ =−+− − ，........................8 分 要证 ( ) ( )12 12 2fx fx axx − <−− ，只需证 22 2 1 2ln 0xxx −+ <. 设 ( ) 1 2ln ( 1)h x x xxx = −+ > ，则 ( ) 2 2( 01)hx x x −′ =−<，........................10 分 第 12 页 共 13 页 知 ( )hx在 ( )1, +∞ 单调递减，又 ( )10h = 当 ( )1,x∈ +∞ 时， ( ) 0hx< ，故 22 2 1 2ln 0xxx −+ <， 即 ( ) ( )12 12 2fx fx axx − <−− ，所以 ( ) ( ) ( )1 2 12( 2)fx fx a x x− >− − ........................12 分 22.（本题满分 12 分） （1）令 ( ) 0=xf ，即 0=+ mxex 0=x 不是方程的根， x em x =−∴ ........................1 分 令 x exg x =)( ,则 ( ) ( ) 2 1 x exxg x−=′ ........................2 分 当 1>x 时， 0)( >′ xg ， )(xg 单调递增，当 10 << x 时， 0)( <′ xg ， )(xg 单调递减，当 0m 时，函数有 1 个零点； 当 em −< 时，函数亦两个零点； 当 0e ≤<− m 时，函数亦 0 个零点.........................6 分 （2）不等式可化为 ( ) xaexe xax ln1 ln1 +≥−+− ........................7 分 令 xexh x +=)( ，则 )(xh 为增函数 所以有 ( ) ( )xahxh ln1 ≥− ，得到 xax ln1≥− ， 所以不等式 1ln1 ++≥+− xaxxe ax 对 1>x 恒成立等价于不等式 0ln1 ≥−− xax 对 1>x 恒成 立........................8 分 第 13 页 共 13 页 令 )1(,ln1)( >−−= xxaxxm ，有 x axxm −=′ )( 当 1≤a 时，因为 1>x ，所 以 0>− ax ，所 以 0)( >′ xm ，函 数 )(xm 为增函数，所以 0)1()( =≥ mxm ， 即 1≤a 时，不等式恒成立； 当 1>a 时，因为 ax <<1 时， 0)( <′ xm ，函数 )(xm 为减函数，有 0)1()( =< mam ，与题设矛盾. 综上，当 1≤a 时，不等式 1ln1 ++≥+− xaxxe ax 对 1>x 恒成立。........................12 分