【数学】河南省豫南九校2019-2020学年高一上学期第三次联考试题（解析版）

【数学】河南省豫南九校2019-2020学年高一上学期第三次联考试题（解析版）

www.ks5u.com 河南省豫南九校2019-2020学年 高一上学期第三次联考试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.下列命题正确的是（　　）‎ A. 经过三点确定一个平面 B. 经过一条直线和一个点确定一个平面 C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 ‎【答案】C ‎【解析】A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.‎ ‎2.下列哪个函数的定义域与函数的值域相同（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的值域为，‎ 对于A，函数的定义域为；‎ 对于B，函数的定义域为；‎ 对于C，函数的定义域为；‎ 对于D，函数的定义域为；故选：B.‎ ‎3.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，‎ 则，故选C.‎ ‎4.已知圆锥的侧面积展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，‎ 由已知可得，所以，所以，‎ 即圆锥的母线与底面半径之比为2.‎ 故选D．‎ ‎5.已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数f(x)=x2+x+a的图象的对称轴方程为,故函数在区间(0,1)上单调递增，‎ 再根据函数f(x)在(0,1)上有零点,可得，解得−20，故选C.‎ ‎11.已知为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为（ ）‎ A. B. ‎ C. 1 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】偶函数，为奇函数，且①‎ ‎② ‎ ‎①②两式联立可得，.‎ 由得，‎ ‎∵在为增函数，∴，‎ 故选：A.‎ ‎12.无论，，同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④若与无公共点，与无公共点，则与无公共点；‎ ‎⑤若，，两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个.‎ 其中说法正确的序号为（ ）‎ A. ①③ B. ①③⑤ ‎ C. ①③④⑤ D. ①④⑤‎ ‎【答案】B ‎【解析】由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；‎ 由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；‎ 由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得③正确；‎ 若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误；‎ 若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，若三个平面两两相交，则交点有无数个，故⑤正确；‎ 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设函数，若为奇函数，则______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】若函数为奇函数，则，‎ 即，‎ 即对任意的恒成立，则，得.‎ 故答案为：-1‎ ‎14.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为，则它的侧面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为，‎ 则，，‎ 则，则，‎ 则.‎ 故答案为：‎ ‎15.已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递减，并且 ‎，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为函数在定义域上是偶函数，‎ 所以，解得，‎ 所以可得 又在上单调递减，所以在上单调递增,‎ 因为，‎ 所以由可得，‎ 解得.‎ 故的取值范围是.‎ ‎16.正四面体的棱长为，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将四面体ABCD补为正方体，如下图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球.设球心为O，面积最小的截面就是与OE垂直的截面.由图可知，这个截面就是底面正方形的外接圆，其面积为：..‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.如图所示，在正方体中，、分别是和的中点.求证：，，交于一点.‎ ‎【解】证明：如图所示，连接、、，‎ 因为、分别是和的中点，‎ 所以且.‎ 即：，且，‎ 所以四边形是梯形，‎ 所以与必相交，设交点为，‎ 则，且，又平面，‎ 且平面，所以平面，‎ 且平面，‎ 又平面平面，所以，‎ 所以、、三线交于一点.‎ ‎18.已知函数f（x）=是定义在R上的奇函数；‎ ‎（1）求a、b的值，判断并证明函数y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调性 ‎（2）已知k＜0且不等式f（t2-2t+3）+f（k-1）＜0对任意的t∈R恒成立，求实数k 的取值范围．‎ ‎【解】（1）∵函数f（x）=是奇函数 ‎∴由定义f（-x）==-，‎ ‎∴a=b=0，∴f（x）=，‎ y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．‎ 证明如下：‎ ‎∵f（x）=，∴， ‎ ‎∵x＞1，∴，‎ ‎∴y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．‎ ‎（2）由f（t2-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）为奇函数得：f（t2-2t+3）＜f（1-k）‎ 因为t2-2t+3≥2，1-k＞1，且y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，‎ 所以t2-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，‎ 因为t2-2t+3的最小值为2，所以2＞1-k，∴k＞-1‎ ‎∵k＜0，∴-1＜k＜0．∴实数k的取值范围是（-1，0）．‎ ‎19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．‎ ‎(1)求f(50)的值；‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？‎ ‎【解】（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，‎ ‎∴‎ ‎（2），‎ 依题得，即，‎ 故.‎ 令，则，‎ 当时，即时，，‎ ‎∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.‎ ‎20.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为增函数.‎ ‎（1）求不等式的解集.‎ ‎（2）设，是否存在实数，使在区间上的最大值为2，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】（1）由已知得且，所以或 当时，为奇函数，不合题意 当时，，所以不等式变为 则，解得 所以不等式的解集为.‎ ‎（2），令，‎ 由得 因为在上有定义所以且，‎ 所以在上为增函数，‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ 即，∴，又，∴‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 即，∴，此时解不成立.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在上的值域；‎ ‎（2）若对任意，总有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）当时，设，∵，∴，‎ ‎∴，对称轴，图像开口向上，‎ ‎∴在为增函数，‎ ‎∴，∴的值域为.‎ ‎（2）由题意知，在上恒成立，即，‎ ‎∴在恒成立，‎ 则只需当时，，‎ 设，，由得，‎ 设，则，‎ 所以在上递增，‎ 即在上的最小值为，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎22.在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面平面，求多面体的体积.‎ ‎【解】（Ⅰ）取中点，连接.‎ ‎∵分别是的中点 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴平面，平面 又∵‎ 平面平面 又平面 ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）连接，设交于点.‎ 又平面平面，平面平面 平面 ‎ 多面体可以分解为四棱锥和四棱锥 在菱形中，且知：.‎ 设梯形的面积为，‎ 则.‎