高科数学专题复习课件：8_5　直线、平面垂直的判定与性质

高科数学专题复习课件：8_5　直线、平面垂直的判定与性质

§8.5 　直线、平面垂直的判定与性质 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 定义 如果直线 l 与平面 α 内 的 直线 都垂直，则直线 l 与平面 α 垂直 . 1. 直线与平面垂直 知识梳理 任意一条 (2) 判定定理与性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两 条 直线 都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒ l ⊥ α 相交 a ， b ⊂ α a ∩ b ＝ O l ⊥ a l ⊥ b 性质定理 垂直于同一个平面的两条 直线 ⇒ a ∥ b 平行 a ⊥ α b ⊥ α 2. 直线和平面所成的角 (1) 定义 平面的一条斜线 和 所 成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 . 若一条直线垂直于平面，它们所成的角 是 ， 若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角 是 的 角 . (2) 范围： [0 ， ]. 它在平面上的射影 0° 直角 3. 平面与平面垂直 (1) 二面角的有关概念 ① 二面角：从一条直线出发 的 所 组成的图形叫做二面角； ② 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别 作 的 两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 . (2) 平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角 是 ， 就说这两个平面互相垂直 . 两个半平面 垂直于棱 直二面角 (3) 平面与平面垂直的判定定理与性质定理   文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面 的 ， 则这两个平面垂直 ⇒ α ⊥ β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直 于 的 直线与另一个平面垂直 ⇒ l ⊥ α 交线 垂线 重要结论： (1) 若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 . (2) 若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线 ( 证明线线垂直的一个重要方法 ). (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行 . (4) 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l ⊥ α .( 　　 ) (2) 垂直于同一个平面的两平面平行 .( 　　 ) (3) 直线 a ⊥ α ， b ⊥ α ，则 a ∥ b .( 　　 ) (4) 若 α ⊥ β ， a ⊥ β ⇒ a ∥ α .( 　　 ) (5) 若直线 a ⊥ 平面 α ，直线 b ∥ α ，则直线 a 与 b 垂直 .( 　　 ) 思考辨析 × × √ × √ 1.( 教材改编 ) 下列命题中不正确的 是 A. 如果平面 α ⊥ 平面 β ，且直线 l ∥ 平面 α ，则直线 l ⊥ 平面 β B. 如果平面 α ⊥ 平面 β ，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β C. 如果平面 α 不垂直于平面 β ，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D. 如果平面 α ⊥ 平面 γ ，平面 β ⊥ 平面 γ ， α ∩ β ＝ l ，那么 l ⊥ γ 考点自测 答案 解析 根据面面垂直的性质，知 A 不正确，直线 l 可能平行平面 β ，也可能在平面 β 内 . 2. 设平面 α 与平面 β 相交于直线 m ，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b ⊥ m ，则 “ α ⊥ β ” 是 “ a ⊥ b ” 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充分 必要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 若 α ⊥ β ，因为 α ∩ β ＝ m ， b ⊂ β ， b ⊥ m ， 所以 根据两个平面垂直的性质定理可得 b ⊥ α ，又 a ⊂ α ，所以 a ⊥ b ； 反过来 ，当 a ∥ m 时，因为 b ⊥ m ，且 a ， m 共面，一定有 b ⊥ a ， 但 不能保证 b ⊥ α ，所以不能推出 α ⊥ β . 3.( 2017· 宝鸡质检 ) 对于四面体 ABCD ，给出下列四个命题： ① 若 AB ＝ AC ， BD ＝ CD ，则 BC ⊥ AD ； ② 若 AB ＝ CD ， AC ＝ BD ，则 BC ⊥ AD ； ③ 若 AB ⊥ AC ， BD ⊥ CD ，则 BC ⊥ AD ； ④ 若 AB ⊥ CD ， AC ⊥ BD ，则 BC ⊥ AD . 其中为真命题的是 A. ①② B. ②③ C . ②④ D. ①④ 答案 解析 ① 如图，取 BC 的中点 M ，连接 AM ， DM ，由 AB ＝ AC ⇒ AM ⊥ BC ，同理 DM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ 平面 AMD ，而 AD ⊂ 平面 AMD ，故 BC ⊥ AD . ④ 设 A 在平面 BCD 内的射影为 O ，连接 BO ， CO ， DO ，由 AB ⊥ CD ⇒ BO ⊥ CD ，由 AC ⊥ BD ⇒ CO ⊥ BD ⇒ O 为 △ BCD 的垂心 ⇒ DO ⊥ BC ⇒ AD ⊥ BC . 4.(2016· 济南模拟 ) 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD ⊥ 平面 ABCD ， NB ⊥ 平面 ABCD ，且 MD ＝ NB ＝ 1 ， G 为 MC 的中点 . 则下列结论中不正确 的是 A. MC ⊥ AN B. GB ∥ 平面 AMN C. 平面 CMN ⊥ 平面 AMN D. 平面 DCM ∥ 平面 ABN 答案 解析 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中 ( 如图 ) ， 取 AN 的中点 H ，连接 HB ， MH ， GB ， 则 MC ∥ HB ，又 HB ⊥ AN ，所以 MC ⊥ AN ，所以 A 正确 ； 由 题意易得 GB ∥ MH ，又 GB ⊄ 平面 AMN ， MH ⊂ 平面 AMN ， 所以 GB ∥ 平面 AMN ，所以 B 正确 ； 因为 AB ∥ CD ， DM ∥ BN ，且 AB ∩ BN ＝ B ， CD ∩ DM ＝ D ，所以平面 DCM ∥ 平面 ABN ，所以 D 正确 . 5.( 教材改编 ) 在三棱锥 P － ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O . (1) 若 PA ＝ PB ＝ PC ，则点 O 是 △ ABC 的 ____ 心 . 答案 解析 外 如图 1 ，连接 OA ， OB ， OC ， OP ， 在 Rt △ POA 、 Rt △ POB 和 Rt △ POC 中 ， PA ＝ PC ＝ PB ， 所以 OA ＝ OB ＝ OC ，即 O 为 △ ABC 的外心 . (2) 若 PA ⊥ PB ， PB ⊥ PC ， PC ⊥ PA ，则点 O 是 △ ABC 的 ____ 心 . 答案 解析 垂 如图 2 ，延长 AO ， BO ， CO 分别交 BC ， AC ， AB 于 H ， D ， G . ∵ PC ⊥ PA ， PB ⊥ PC ， PA ∩ PB ＝ P ， ∴ PC ⊥ 平面 PAB ， AB ⊂ 平面 PAB ， ∴ PC ⊥ AB ， 又 AB ⊥ PO ， PO ∩ PC ＝ P ， ∴ AB ⊥ 平面 PGC ， 又 CG ⊂ 平面 PGC ， ∴ AB ⊥ CG ，即 CG 为 △ ABC 边 AB 上 的 高 . 同理可证 BD ， AH 为 △ ABC 底边上的高， 即 O 为 △ ABC 的垂心 . 题型分类　深度剖析 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例 1 　 (2016· 全国甲卷改编 ) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ， AB ＝ 5 ， AC ＝ 6 ，点 E ， F 分别在 AD ， CD 上， AE ＝ CF ＝ ， EF 交 BD 于点 H . 将 △ DEF 沿 EF 折到 △ D ′ EF 的位置 . OD ′ ＝ . 证明： D ′ H ⊥ 平面 ABCD . 证明 几何画板展示 由已知得 AC ⊥ BD ， AD ＝ CD . 因此 EF ⊥ HD ，从而 EF ⊥ D ′ H . 所以 OH ＝ 1 ， D ′ H ＝ DH ＝ 3. 于是 D ′ H 2 ＋ OH 2 ＝ 3 2 ＋ 1 2 ＝ 10 ＝ D ′ O 2 ，故 D ′ H ⊥ OH . 又 D ′ H ⊥ EF ，而 OH ∩ EF ＝ H ，且 OH ， EF ⊂ 平面 ABCD ， 所以 D ′ H ⊥ 平面 ABCD . 思维 升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1) 证明直线和平面垂直的常用方法有： ① 判定定理； ② 垂直于平面的传递性 ( a ∥ b ， a ⊥ α ⇒ b ⊥ α ) ； ③ 面面平行的性质 ( a ⊥ α ， α ∥ β ⇒ a ⊥ β ) ； ④ 面面垂直的性质 . (2) 证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 . 因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 . 跟踪训练 1 　 (2015· 江苏 ) 如图，在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，已知 AC ⊥ BC ， BC ＝ CC 1 . 设 AB 1 的中点为 D ， B 1 C ∩ BC 1 ＝ E . 求证： (1) DE ∥ 平面 AA 1 C 1 C ； 由题意知， E 为 B 1 C 的中点， 又 D 为 AB 1 的中点，因此 DE ∥ AC . 又因为 DE ⊄ 平面 AA 1 C 1 C ， AC ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ， 所以 DE ∥ 平面 AA 1 C 1 C . 证明 (2) BC 1 ⊥ AB 1 . 证明 因为棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 是直三棱柱， 所以 CC 1 ⊥ 平面 ABC . 因为 AC ⊂ 平面 ABC ， 所以 AC ⊥ CC 1 . 又因为 AC ⊥ BC ， CC 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 ， BC ⊂ 平面 BCC 1 B 1 ， BC ∩ CC 1 ＝ C ， 所以 AC ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 又 因为 BC 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 ， 所以 BC 1 ⊥ AC . 因为 BC ＝ CC 1 ，所以矩形 BCC 1 B 1 是正方形， 因此 BC 1 ⊥ B 1 C . 因为 AC ， B 1 C ⊂ 平面 B 1 AC ， AC ∩ B 1 C ＝ C ， 所以 BC 1 ⊥ 平面 B 1 AC . 又因为 AB 1 ⊂ 平面 B 1 AC ， 所以 BC 1 ⊥ AB 1 . 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例 2 　如图，四棱锥 P － ABCD 中， AB ⊥ AC ， AB ⊥ PA ， AB ∥ CD ， AB ＝ 2 CD ， E ， F ， G ， M ， N 分别为 PB ， AB ， BC ， PD ， PC 的中点 . (1) 求证： CE ∥ 平面 PAD ； 证明 方法一 　 取 PA 的中点 H ，连接 EH ， DH . 又 E 为 PB 的中点， 所以 EH 綊 AB . 又 CD 綊 AB ， 所以 EH 綊 CD . 所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CE ∥ DH . 又 DH ⊂ 平面 PAD ， CE ⊄ 平面 PAD . 所以 CE ∥ 平面 PAD . 方法二　 连接 CF . 因为 F 为 AB 的中点， 所以 AF ＝ AB . 又 CD ＝ AB ，所以 AF ＝ CD . 又 AF ∥ CD ，所以四边形 AFCD 为平行四边形 . 因此 CF ∥ AD ，又 CF ⊄ 平面 PAD ， AD ⊂ 平面 PAD ， 所以 CF ∥ 平面 PAD . 因为 E ， F 分别为 PB ， AB 的中点，所以 EF ∥ PA . 又 EF ⊄ 平面 PAD ， PA ⊂ 平面 PAD ， 所以 EF ∥ 平面 PAD . 因为 CF ∩ EF ＝ F ，故平面 CEF ∥ 平面 PAD . 又 CE ⊂ 平面 CEF ，所以 CE ∥ 平面 PAD . (2) 求证：平面 EFG ⊥ 平面 EMN . 证明 因为 E 、 F 分别为 PB 、 AB 的中点，所以 EF ∥ PA . 又因为 AB ⊥ PA ， 所以 EF ⊥ AB ，同理可证 AB ⊥ FG . 又因为 EF ∩ FG ＝ F ， EF ⊂ 平面 EFG ， FG ⊂ 平面 EFG . 所以 AB ⊥ 平面 EFG . 又因为 M ， N 分别为 PD ， PC 的中点， 所以 MN ∥ CD ，又 AB ∥ CD ，所以 MN ∥ AB ， 所以 MN ⊥ 平面 EFG . 又因为 MN ⊂ 平面 EMN ，所以平面 EFG ⊥ 平面 EMN . 引申 探究 1. 在本例条件下，证明：平面 EMN ⊥ 平面 PAC . 证明 因为 AB ⊥ PA ， AB ⊥ AC ， 且 PA ∩ AC ＝ A ，所以 AB ⊥ 平面 PAC . 又 MN ∥ CD ， CD ∥ AB ，所以 MN ∥ AB ， 所以 MN ⊥ 平面 PAC . 又 MN ⊂ 平面 EMN ， 所以平面 EMN ⊥ 平面 PAC . 2. 在本例条件下，证明：平面 EFG ∥ 平面 PAC . 证明 因为 E ， F ， G 分别为 PB ， AB ， BC 的中点， 所以 EF ∥ PA ， FG ∥ AC ， 又 EF ⊄ 平面 PAC ， PA ⊂ 平面 PAC ， 所以 EF ∥ 平面 PAC . 同理， FG ∥ 平面 PAC . 又 EF ∩ FG ＝ F ， 所以平面 EFG ∥ 平面 PAC . 思维 升华 (1) 判定面面垂直的方法 ① 面面垂直的定义； ② 面面垂直的判定定理 ( a ⊥ β ， a ⊂ α ⇒ α ⊥ β ). (2) 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化 . 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 . 跟踪训练 2 　 (2016· 江苏 ) 如图，在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中， D ， E 分别为 AB ， BC 的中点，点 F 在侧棱 B 1 B 上，且 B 1 D ⊥ A 1 F ， A 1 C 1 ⊥ A 1 B 1 . 求证： (1) 直线 DE ∥ 平面 A 1 C 1 F ； 由已知， DE 为 △ ABC 的中位线， ∴ DE ∥ AC ，又由三棱柱的性质可得 AC ∥ A 1 C 1 ， ∴ DE ∥ A 1 C 1 ， 又 ∵ DE ⊄ 平面 A 1 C 1 F ， A 1 C 1 ⊂ 平面 A 1 C 1 F ， ∴ DE ∥ 平面 A 1 C 1 F . 证明 (2) 平面 B 1 DE ⊥ 平面 A 1 C 1 F . 在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 ， ∴ AA 1 ⊥ A 1 C 1 ， 又 ∵ A 1 B 1 ⊥ A 1 C 1 ，且 A 1 B 1 ∩ AA 1 ＝ A 1 ， ∴ A 1 C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， ∵ B 1 D ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ， ∴ A 1 C 1 ⊥ B 1 D ， 又 ∵ A 1 F ⊥ B 1 D ，且 A 1 F ∩ A 1 C 1 ＝ A 1 ， ∴ B 1 D ⊥ 平面 A 1 C 1 F ， 又 ∵ B 1 D ⊂ 平面 B 1 DE ， ∴ 平面 B 1 DE ⊥ 平面 A 1 C 1 F . 证明 题型三　垂直关系中的探索性问题 例 3 　如图，在三棱台 ABC － DEF 中， CF ⊥ 平面 DEF ， AB ⊥ BC . (1) 设平面 ACE ∩ 平面 DEF ＝ a ，求证： DF ∥ a ； 在三棱台 ABC － DEF 中， AC ∥ DF ， AC ⊂ 平面 ACE ， DF ⊄ 平面 ACE ， ∴ DF ∥ 平面 ACE . 又 ∵ DF ⊂ 平面 DEF ，平面 ACE ∩ 平面 DEF ＝ a ， ∴ DF ∥ a . 证明 (2) 若 EF ＝ CF ＝ 2 BC ，试问在线段 BE 上是否存在点 G ，使得平面 DFG ⊥ 平面 CDE ？若存在，请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由 . 解答 线段 BE 上存在点 G ，且 BG ＝ BE ，使得平面 DFG ⊥ 平面 CDE . 证明如下： 取 CE 的中点 O ，连接 FO 并延长交 BE 于点 G ， 连接 GD ， GF ， ∵ CF ＝ EF ， ∴ GF ⊥ CE . 在三棱台 ABC － DEF 中， AB ⊥ BC ⇒ DE ⊥ EF . 由 CF ⊥ 平面 DEF ⇒ CF ⊥ DE . 又 CF ∩ EF ＝ F ， ∴ DE ⊥ 平面 CBEF ， ∴ DE ⊥ GF . 又 GF ⊂ 平面 DFG ， ∴ 平面 DFG ⊥ 平面 CDE . 此时，如平面图所示，延长 CB ， FG 交于点 H ， ∵ O 为 CE 的中点， EF ＝ CF ＝ 2 BC ， 由平面几何知识易证 △ HOC ≌△ FOE ， 思维 升华 同 “ 平行关系中的探索性问题 ” 的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明 . 跟踪训练 3 　 (2016· 北京东城区模拟 ) 如图，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，侧棱 AA 1 ⊥ 底面 ABC ， M 为棱 AC 的中点 . AB ＝ BC ， AC ＝ 2 ， AA 1 ＝ . (1) 求证： B 1 C ∥ 平面 A 1 BM ； 证明 连接 AB 1 与 A 1 B ，两线交于点 O ，连接 OM ， 在 △ B 1 AC 中， ∵ M ， O 分别为 AC ， AB 1 中点， ∴ OM ∥ B 1 C ， 又 ∵ OM ⊂ 平面 A 1 BM ， B 1 C ⊄ 平面 A 1 BM ， ∴ B 1 C ∥ 平面 A 1 BM . (2) 求证： AC 1 ⊥ 平面 A 1 BM ； 证明 ∵ 侧棱 AA 1 ⊥ 底面 ABC ， BM ⊂ 平面 ABC ， ∴ AA 1 ⊥ BM ， 又 ∵ M 为棱 AC 中点， AB ＝ BC ， ∴ BM ⊥ AC . ∵ AA 1 ∩ AC ＝ A ， ∴ BM ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ， ∴ BM ⊥ AC 1 . ∵ AC ＝ 2 ， ∴ AM ＝ 1. ∴∠ AC 1 C ＝ ∠ A 1 MA ， 即 ∠ AC 1 C ＋ ∠ C 1 AC ＝ ∠ A 1 MA ＋ ∠ C 1 AC ＝ 90° ， ∴ A 1 M ⊥ AC 1 . ∵ BM ∩ A 1 M ＝ M ， ∴ AC 1 ⊥ 平面 A 1 BM . 解答 平面 AC 1 N ⊥ 平面 AA 1 C 1 C . 证明如下： 设 AC 1 中点为 D ，连接 DM ， DN . ∵ D ， M 分别为 AC 1 ， AC 中点， 又 ∵ N 为 BB 1 中点， ∴ DM ∥ BN ，且 DM ＝ BN ， ∴ 四边形 BNDM 为平行四边形， ∴ BM ∥ DN ， ∵ BM ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ， ∴ DN ⊥ 平面 ACC 1 A 1 . 又 ∵ DN ⊂ 平面 AC 1 N ， ∴ 平面 AC 1 N ⊥ 平面 AA 1 C 1 C . 典例 　 (12 分 ) 如图所示， M ， N ， K 分别是正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 AB ， CD ， C 1 D 1 的中点 . 求证： (1) AN ∥ 平面 A 1 MK ； ( 2) 平面 A 1 B 1 C ⊥ 平面 A 1 MK . 立体几何 证明问题中的转化思想 思想与方法系列 17 规范解答 思想方法指 导 (1) 线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2) 线线关系是线面关系、面面关系的基础 . 证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3) 证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范 . 返回 证明 　 (1) 如图所示，连接 NK . 在正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， ∵ 四边形 AA 1 D 1 D ， DD 1 C 1 C 都为正方形， ∴ AA 1 ∥ DD 1 ， AA 1 ＝ DD 1 ， C 1 D 1 ∥ CD ， C 1 D 1 ＝ CD . [ 2 分 ] ∵ N ， K 分别为 CD ， C 1 D 1 的中点， ∴ DN ∥ D 1 K ， DN ＝ D 1 K ， ∴ 四边形 DD 1 KN 为平行四边形 ， [ 3 分 ] ∴ KN ∥ DD 1 ， KN ＝ DD 1 ， ∴ AA 1 ∥ KN ， AA 1 ＝ KN ， ∴ 四边形 AA 1 KN 为平行四边形， ∴ AN ∥ A 1 K . [ 4 分 ] ∵ A 1 K ⊂ 平面 A 1 MK ， AN ⊄ 平面 A 1 MK ， ∴ AN ∥ 平面 A 1 MK . [ 6 分 ] (2) 如图所示，连接 BC 1 . 在正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， AB ∥ C 1 D 1 ， AB ＝ C 1 D 1 . ∵ M ， K 分别为 AB ， C 1 D 1 的中点， ∴ BM ∥ C 1 K ， BM ＝ C 1 K ， ∴ 四边形 BC 1 KM 为平行四边形， ∴ MK ∥ BC 1 . [ 8 分 ] 在正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， A 1 B 1 ⊥ 平面 BB 1 C 1 C ， BC 1 ⊂ 平面 BB 1 C 1 C ， ∴ A 1 B 1 ⊥ BC 1 . ∵ MK ∥ BC 1 ， ∴ A 1 B 1 ⊥ MK . ∵ 四边形 BB 1 C 1 C 为正方形， ∴ BC 1 ⊥ B 1 C . [ 10 分 ] ∴ MK ⊥ B 1 C . ∵ A 1 B 1 ⊂ 平面 A 1 B 1 C ， B 1 C ⊂ 平面 A 1 B 1 C ， A 1 B 1 ∩ B 1 C ＝ B 1 ， ∴ MK ⊥ 平面 A 1 B 1 C . 又 ∵ MK ⊂ 平面 A 1 MK ， ∴ 平面 A 1 B 1 C ⊥ 平面 A 1 MK . [ 12 分 ] 返回 课时作业 1. 若平面 α ⊥ 平面 β ，平面 α ∩ 平面 β ＝直线 l ， 则 A. 垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B. 垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C. 垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D. 垂直于直线 l 的平面一定与平面 α ， β 都垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 对于 A ，垂直于平面 β 的平面与平面 α 平行或相交，故 A 错误； 对于 B ，垂直于直线 l 的直线与平面 α 垂直、斜交、平行或在平面 α 内，故 B 错误； 对于 C ，垂直于平面 β 的平面与直线 l 平行或相交，故 C 错误；易知 D 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 设 m ， n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，下列命题中正确的 是 A. 若 α ⊥ β ， m ⊂ α ， n ⊂ β ，则 m ⊥ n B. 若 α ∥ β ， m ⊂ α ， n ⊂ β ，则 m ∥ n C. 若 m ⊥ n ， m ⊂ α ， n ⊂ β ，则 α ⊥ β D. 若 m ⊥ α ， m ∥ n ， n ∥ β ，则 α ⊥ β √ 答案 解析 A 中， m 与 n 可垂直、可异面、可平行 ； B 中， m 与 n 可平行、可异面 ； C 中，若 α ∥ β ，仍然满足 m ⊥ n ， m ⊂ α ， n ⊂ β ，故 C 错误；故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(2016· 包头模拟 ) 如图，三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，侧棱 AA 1 垂直底面 A 1 B 1 C 1 ，底面三角形 A 1 B 1 C 1 是正三角形， E 是 BC 中点，则下列叙述正确的 是 A. CC 1 与 B 1 E 是异面直线 B. AC ⊥ 平面 ABB 1 A 1 C. AE 与 B 1 C 1 是异面直线，且 AE ⊥ B 1 C 1 D. A 1 C 1 ∥ 平面 AB 1 E √ 答案 解析 A 不正确，因为 CC 1 与 B 1 E 在同一个侧面中，故不是异面直线 ； B 不正确，由题意知，上底面 ABC 是一个正三角形，故不可能存在 AC ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ； C 正确，因为 AE ， B 1 C 1 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线 ； D 不正确，因为 A 1 C 1 所在的平面与平面 AB 1 E 相交，且 A 1 C 1 与交线有公共点，故 A 1 C 1 ∥ 平面 AB 1 E 不正确，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把 △ ABD 和 △ ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ① BD ⊥ AC ； ②△ BAC 是等边三角形； ③ 三棱锥 D － ABC 是正三棱锥； ④ 平面 ADC ⊥ 平面 ABC . 其中正确的 是 A. ①②④ B . ①②③ C. ②③④ D . ①③④ √ 答案 解析 由题意知， BD ⊥ 平面 ADC ，故 BD ⊥ AC ， ① 正确 ； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高，平面 ABD ⊥ 平面 ACD ，所以 AB ＝ AC ＝ BC ， △ BAC 是等边三角形， ② 正确 ； 易 知 DA ＝ DB ＝ DC ，又由 ② 知 ③ 正确 ； 由 ① 知 ④ 错 . 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图所示，直线 PA 垂直于 ⊙ O 所在的平面， △ ABC 内接于 ⊙ O ，且 AB 为 ⊙ O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点 . 现有结论： ① BC ⊥ PC ； ② OM ∥ 平面 APC ； ③ 点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长 . 其中正确的 是 A . ①② B. ①②③ C. ① D . ②③ √ 答案 解析 对于 ① ， ∵ PA ⊥ 平面 ABC ， ∴ PA ⊥ BC ， ∵ AB 为 ⊙ O 的直径， ∴ BC ⊥ AC ， ∴ BC ⊥ 平面 PAC ， 又 PC ⊂ 平面 PAC ， ∴ BC ⊥ PC ； 对于 ② ， ∵ 点 M 为线段 PB 的中点， ∴ OM ∥ PA ， ∵ PA ⊂ 平面 PAC ， OM ⊄ 平面 PAC ， ∴ OM ∥ 平面 PAC ； 对于 ③ ，由 ① 知 BC ⊥ 平面 PAC ， ∴ 线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离，故 ①②③ 都正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图， ∠ BAC ＝ 90° ， PC ⊥ 平面 ABC ，则在 △ ABC 和 △ PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线有 _____________ ；与 AP 垂直的直线有 ________. 答案 解析 AB 、 BC 、 AC AB ∵ PC ⊥ 平面 ABC ， ∴ PC 垂直于直线 AB ， BC ， AC ； ∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ PC ， AC ∩ PC ＝ C ， ∴ AB ⊥ 平面 PAC ， ∴ 与 AP 垂直的直线是 AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，侧棱长为 2 ， AC ＝ BC ＝ 1 ， ∠ ACB ＝ 90° ， D 是 A 1 B 1 的中点， F 是 BB 1 上的动点， AB 1 ， DF 交于点 E . 要使 AB 1 ⊥ 平面 C 1 DF ，则线段 B 1 F 的 长为 ________. 答案 解析 设 B 1 F ＝ x ， 因为 AB 1 ⊥ 平面 C 1 DF ， DF ⊂ 平面 C 1 DF ， 所以 AB 1 ⊥ DF . 设 Rt △ AA 1 B 1 斜边 AB 1 上的高为 h ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在 Rt △ DB 1 E 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图， PA ⊥ 圆 O 所在的平面， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上的一点， E ， F 分别是点 A 在 PB ， PC 上的射影，给出下列结论： ① AF ⊥ PB ； ② EF ⊥ PB ； ③ AF ⊥ BC ； ④ AE ⊥ 平面 PBC . 其中正确结论的序号是 ________. 答案 解析 ①②③ 由题意知 PA ⊥ 平面 ABC ， ∴ PA ⊥ BC . 又 AC ⊥ BC ，且 PA ∩ AC ＝ A ， ∴ BC ⊥ 平面 PAC ， ∴ BC ⊥ AF . ∵ AF ⊥ PC ，且 BC ∩ PC ＝ C ， ∴ AF ⊥ 平面 PBC ， ∴ AF ⊥ PB ，又 AE ⊥ PB ， AE ∩ AF ＝ A ， ∴ PB ⊥ 平面 AEF ， ∴ PB ⊥ EF . 故 ①②③ 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2016· 保定模拟 ) 如图， 在 直二面角 α － MN － β 中，等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC ⊂ α ，一直角边 AC ⊂ β ， BC 与 β 所成角的正弦值 为 ， 则 AB 与 β 所成的角是 ________. 答案 解析 如图所示，作 BH ⊥ MN 于点 H ，连接 AH ， 则 BH ⊥ β ， ∠ BCH 为 BC 与 β 所成的 角 . ∵△ ABC 为等腰直角三角形， ∴ AC ＝ AB ＝ ， ∴ AB 与 β 所成的角为 ∠ BAH . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(2016· 全国乙卷 ) 如图，在以 A ， B ， C ， D ， E ， F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形， AF ＝ 2 FD ， ∠ AFD ＝ 90° ，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60°. (1) 证明：平面 ABEF ⊥ EFDC ； 证明 由已知可得 AF ⊥ DF ， AF ⊥ FE ， DF ∩ FE ＝ F ， 所以 AF ⊥ 平面 EFDC ， 又 AF ⊂ 平面 ABEF ， 故平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC . (2) 求二面角 E-BC-A 的余弦值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 过 D 作 DG ⊥ EF ，垂足为 G ， 由 (1) 知 DG ⊥ 平面 ABEF . 由 (1) 知 ∠ DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角，故 ∠ DFE ＝ 60° ，则 | DF | ＝ 2 ， | DG | ＝ ， 可得 A (1,4,0) ， B ( － 3,4,0) ， E ( － 3,0,0) ， D (0,0 ， ). 由已知， AB ∥ EF ， AB ⊄ 平面 EFDC ， EF ⊂ 平面 EFDC ， 所以 AB ∥ 平面 EFDC ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又平面 ABCD ∩ 平面 EFDC ＝ CD ， 故 AB ∥ CD ， CD ∥ EF ， 由 BE ∥ AF ，可得 BE ⊥ 平面 EFDC ， 所以 ∠ CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角， ∠ CEF ＝ 60° ， 设 n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 BCE 的法向 量， 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设 m 是平面 ABCD 的法向量，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED ⊥ 平面 ABCD ， EF ∥ AB ， AB ＝ 2 ， BC ＝ EF ＝ 1 ， AE ＝ ， DE ＝ 3 ， ∠ BAD ＝ 60° ， G 为 BC 的中点 . (1) 求证： FG ∥ 平面 BED ； 证明 如图，取 BD 的中点 O ，连接 OE ， OG . 在 △ BCD 中，因为 G 是 BC 的中点， 所以 OG ∥ DC 且 OG ＝ DC ＝ 1. 又因为 EF ∥ AB ， AB ∥ DC ， 所以 EF ∥ OG 且 EF ＝ OG ， 所以四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FG ∥ OE . 又 FG ⊄ 平面 BED ， OE ⊂ 平面 BED ， 所以 FG ∥ 平面 BED . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 求证：平面 BED ⊥ 平面 AED ； 证明 在 △ ABD 中， AD ＝ 1 ， AB ＝ 2 ， ∠ BAD ＝ 60° ， 由余弦定理可得 BD ＝，进而 ∠ ADB ＝ 90° ， 即 BD ⊥ AD . 又因为平面 AED ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ， 平面 AED ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， 所以 BD ⊥ 平面 AED . 又因为 BD ⊂ 平面 BED ， 所以平面 BED ⊥ 平面 AED . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 EF ∥ AB ，所以直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所成的角 . 过点 A 作 AH ⊥ DE 于点 H ，连接 BH . 又平面 BED ∩ 平面 AED ＝ ED ， 由 (2) 知 AH ⊥ 平面 BED ， 所以直线 AB 与平面 BED 所成的角即为 ∠ ABH . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 在直角梯形 SBCD 中， ∠ D ＝ ∠ C ＝ ， BC ＝ CD ＝ 2 ， SD ＝ 4 ， A 为 SD 的中点，如图 (1) 所示，将 △ SAB 沿 AB 折起，使 SA ⊥ AD ，点 E 在 SD 上，且 SE ＝ SD ，如图 (2) 所示 . (1) 求证： SA ⊥ 平面 ABCD ； 证明 由题意，知 SA ⊥ AB ， 又 SA ⊥ AD ， AB ∩ AD ＝ A ， 所以 SA ⊥ 平面 ABCD . (2) 求二面角 E － AC － D 的正切值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以 EO ⊥ 平面 ABCD . 过 O 作 OH ⊥ AC 交 AC 于 H ，连接 EH ，则 AC ⊥ 平面 EOH ， 所以 AC ⊥ EH ， 所以 ∠ EHO 为二面角 E － AC － D 的平面角 . 连接 EO ，如图所示 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12