2018届高三数学（理）一轮复习三角函数考点专练

2018届高三数学（理）一轮复习三角函数考点专练

板块命题点专练（五） 命题点一 同角三角函数的基本关系及诱导公式 命题指数：☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 1．(2016·全国丙卷)若 tan α＝3 4 ，则 cos2α＋2sin 2α＝( ) A．64 25 B．48 25 C．1 D．16 25 解析：选 A 因为 tan α＝3 4 ，则 cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos α sin2α＋cos2α ＝1＋4tan α tan2α＋1 ＝ 1＋4×3 4 3 4 2＋1 ＝64 25 ．故选 A． 2．(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M．将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( ) 解析：选 B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x， 当 x∈ 0，π 2 时，f(x)＝cos x·sin x＝1 2sin 2x； 当 x∈ π 2 ，π 时，f(x)＝－cos x·sin x＝－1 2sin 2x，故选 B． 3．(2015·四川高考)已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析：由 sin α＋2cos α＝0，得 tan α＝－2． 所以 2sin αcos α－cos2α＝2sin αcos α－cos2α sin2α＋cos2α ＝2tan α－1 tan2α＋1 ＝－4－1 4＋1 ＝－1． 答案：－1 命题点二 三角函数的图象与性质 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中 题型：选择题、填空题、解答题 1．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋π 6 ，④y＝tan 2x－π 4 中，最小正周期为π的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 解析：选 A ①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cos x|，最小正周期为π；③y＝ cos 2x＋π 6 ，最小正周期为π；④y＝tan 2x－π 4 ，最小正周期为π 2 ，所以最小正周期为π的所 有函数为①②③，故选 A． 2．(2016·全国甲卷)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移 π 12 个单位长度，则平移后图象 的对称轴为( ) A．x＝kπ 2 －π 6(k∈Z) B．x＝kπ 2 ＋π 6(k∈Z) C．x＝kπ 2 － π 12(k∈Z) D．x＝kπ 2 ＋ π 12(k∈Z) 解析：选 B 将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移 π 12 个单位长度，得到函数 y＝2sin 2 x＋ π 12 ＝2sin 2x＋π 6 的图象．由 2x＋π 6 ＝kπ＋π 2(k∈Z)，得 x＝kπ 2 ＋π 6(k∈Z)，即平移后 图象的对称轴为 x＝kπ 2 ＋π 6(k∈Z)． 3．(2016·全国甲卷)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A．y＝2sin 2x－π 6 B．y＝2sin 2x－π 3 C．y＝2sin x＋π 6 D．y＝2sin x＋π 3 解析：选 A 由图象知T 2 ＝π 3 － －π 6 ＝π 2 ，故 T＝π，因此ω＝2π π ＝2．又图象的一个最高 点坐标为 π 3 ，2 ，所以 A＝2，且 2×π 3 ＋φ＝2kπ＋π 2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π 6(k∈Z)，结合选项 可知 y＝2sin 2x－π 6 ．故选 A． 4．(2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间 为( ) A．kπ－1 4 ，kπ＋3 4 ，k∈Z B．2kπ－1 4 ，2kπ＋3 4 ，k∈Z C．k－1 4 ，k＋3 4 ，k∈Z D．2k－1 4 ，2k＋3 4 ，k∈Z 解析：选 D 由图象知，周期 T＝2 5 4 －1 4 ＝2， ∴2π ω ＝2，∴ω＝π． 由π×1 4 ＋φ＝π 2 ＋2kπ，得φ＝π 4 ＋2kπ，k∈Z， 不妨取φ＝π 4 ，∴f(x)＝cos πx＋π 4 ． 由 2kπ＜πx＋π 4 ＜2kπ＋π， 得 2k－1 4 ＜x＜2k＋3 4 ，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为 2k－1 4 ，2k＋3 4 ，k∈Z，故选 D． 5．(2016·全国甲卷)函数 f(x)＝cos 2x＋6cos π 2 －x 的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选 B ∵f(x)＝cos 2x＋6cos π 2 －x ＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－ 2 sin x－3 2 2＋11 2 ， 又 sin x∈[－1,1]，∴当 sin x＝1 时，f(x)取得最大值 5．故选 B． 6．(2016·全国丙卷)函数 y＝sin x－ 3cos x 的图象可由函数 y＝sin x＋ 3cos x 的图象至 少向右平移________个单位长度得到． 解析：因为 y＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋π 3 ，y＝sin x－ 3cos x＝2sin x－π 3 ，所以把 y ＝2sin x＋π 3 的图象至少向右平移2π 3 个单位长度可得 y＝2sin x－π 3 的图象． 答案：2π 3 7．(2016·浙江高考)已知 2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则 A＝________，b ＝________． 解析：∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋ 2sin 2x＋π 4 ， ∴1＋ 2sin 2x＋π 4 ＝Asin(ωx＋φ)＋b， ∴A＝ 2，b＝1． 答案： 2 1 8．(2014·北京高考)设函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若 f(x)在 区间 π 6 ，π 2 上具有单调性，且 f π 2 ＝f 2π 3 ＝－f π 6 ，则 f(x)的最小正周期为________． 解析：∵f(x)在区间 π 6 ，π 2 上具有单调性，且 f π 2 ＝f 2π 3 ，∴x＝π 2 和 x＝2π 3 均不是 f(x) 的极值点，其极值应该在 x＝ π 2 ＋2π 3 2 ＝7π 12 处取得，∵f π 2 ＝－f π 6 ，∴x＝π 6 也不是函数 f(x)的 极值点，又 f(x)在区间 π 6 ，π 2 上具有单调性，∴x＝π 6 － 7π 12 －π 2 ＝ π 12 为 f(x)的另一个相邻的极 值点，故函数 f(x)的最小正周期 T＝2× 7π 12 － π 12 ＝π． 答案：π 9．(2014·北京高考)函数 f(x)＝3sin 2x＋π 6 的部分图象如图所示． (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0 的值； (2)求 f(x)在区间 －π 2 ，－ π 12 上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)的最小正周期为2π ω ＝2π 2 ＝π，x0＝7π 6 ，y0＝3． (2)因为 x∈ －π 2 ，－ π 12 ，所以 2x＋π 6 ∈ －5π 6 ，0 ． 于是，当 2x＋π 6 ＝0，即 x＝－ π 12 时，f(x)取得最大值 0； 当 2x＋π 6 ＝－π 2 ，即 x＝－π 3 时，f(x)取得最小值－3． 10．(2016·天津高考)已知函数 f(x)＝4tan xsin π 2 －x ·cos x－π 3 － 3． (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 －π 4 ，π 4 上的单调性． 解：(1)f(x)的定义域为 x|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z ． f(x)＝4tan xcos xcos x－π 3 － 3 ＝4sin xcos x－π 3 － 3 ＝4sin x 1 2cos x＋ 3 2 sin x － 3 ＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3 ＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3 ＝sin 2x－ 3cos 2x ＝2sin 2x－π 3 ． 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π． (2)令－π 2 ＋2kπ≤2x－π 3 ≤π 2 ＋2kπ， 得－ π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z． 设 A＝ －π 4 ，π 4 ，B＝x|－ π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z ，易知 A∩B＝ － π 12 ，π 4 ． 所以当 x∈ －π 4 ，π 4 时，f(x)在区间 － π 12 ，π 4 上单调递增，在区间 －π 4 ，－ π 12 上单调递 减． 11．(2015·重庆高考)已知函数 f(x)＝1 2sin 2x－ 3cos2x． (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g(x) 的图象．当 x∈ π 2 ，π 时，求 g(x)的值域． 解：(1)f(x)＝1 2sin 2x－ 3cos2x ＝1 2sin 2x－ 3 2 (1＋cos 2x) ＝1 2sin 2x－ 3 2 cos 2x－ 3 2 ＝sin 2x－π 3 － 3 2 ， 因此 f(x)的最小正周期为π，最小值为－2＋ 3 2 ． (2)由条件可知 g(x)＝sin x－π 3 － 3 2 ． 当 x∈ π 2 ，π 时，有 x－π 3 ∈ π 6 ，2π 3 ， 从而 y＝sin x－π 3 的值域为 1 2 ，1 ， 那么 g(x)＝sin x－π 3 － 3 2 的值域为 1－ 3 2 ，2－ 3 2 ． 故 g(x)在区间 π 2 ，π 上的值域是 1－ 3 2 ，2－ 3 2 ．