2018届高三数学一轮复习: 第5章 第4节 课时分层训练31

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2018届高三数学一轮复习: 第5章 第4节 课时分层训练31

课时分层训练(三十一) 数列求和 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于(  ) ‎ ‎【导学号:01772189】‎ A.n2+1-      B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- A [该数列的通项公式为an=(2n-1)+,‎ 则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+ ‎=n2+1-.]‎ ‎2.(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{an}中,an+1-an=2,Sn为{an}的前n项和.若S10=50,则数列{an+an+1}的前10项和为(  )‎ A.100 B.110‎ C.120 D.130‎ C [{an+an+1}的前10项和为a1+a2+a2+a3+…+a10+a11=2(a1+a2+…+a10)+a11-a1=2S10+10×2=120.故选C.]‎ ‎3.(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了(  )‎ A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 B [由题意,知每天所走路程形成以a1为首项,公比为的等比数列,则=378,解得a1=192,则a2=96,即第二天走了96里.故选B.]‎ ‎4.(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于(  )‎ A.5 B.6‎ C.7 D.16‎ C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.‎ 又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.故选C.]‎ ‎5.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=,n∈N*,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 017=(  ) ‎ ‎【导学号:01772190】‎ A.-1 B.-1‎ C.-1 D.+1‎ C [由f(4)=2得‎4a=2,解得a=,则f(x)=x.‎ ‎∴an===-,‎ S2 017=a1+a2+a3+…+a2 017=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1.]‎ 二、填空题 ‎6.设数列{an }的前n项和为Sn,且an=sin,n∈N*,则S2 016=__________. ‎ ‎【导学号:01772191】‎ ‎0 [an=sin,n∈N*,显然每连续四项的和为0.‎ S2 016=S4×504=0.]‎ ‎7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn=__________.‎ ‎2n +1-2 [∵an+1-an=2n,‎ ‎∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1‎ ‎=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.‎ ‎∴Sn==2n+1-2.]‎ ‎8.(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前n项和为Sn,若a2=12,Sn=kn2-1(n∈N*),则数列的前n项和为__________.‎  [令n=1得a1=S1=k-1,令n=2得S2=4k-1=a1+a2=k-1+12,解得k=4,所以Sn=4n2-1,===,则数列的前n项和为++…+==.]‎ 三、解答题 ‎9.(2017·成都二诊)已知数列{an}满足a1=1,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)设数列{an }的前n项和为Sn,证明:Sn<2.‎ ‎[解] (1)∵当n≥2时,(n+1)an=(n-1)an-1,‎ 得=,=,…,=.‎ 将上述式子相乘得=.3分 又a1==1,‎ ‎∴an=.5分 ‎(2)证明:∵an==2,‎ ‎∴Sn=2 ‎=2=2-,‎ ‎∴Sn<2.12分 ‎10.(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.‎ ‎(1)求b1,b11,b101;‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和.‎ ‎[解] (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.‎ 所以{an}的通项公式为an=n.3分 b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.5分 ‎(2)因为bn= 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a‎4a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg an,…的前n项和Sn等于(  ) ‎ ‎【导学号:01772192】‎ A.n·2n B.(n-1)·2n-1-1‎ C.(n-1)·2n+1 D.2n+1‎ C [∵等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,‎ a‎4a2n-4=102n,∴a=102n,即an=10n,‎ ‎∴2n-1lg an=2n-1lg 10n=n·2n-1,‎ ‎∴Sn=1+2×2+3×22+…+n·2n-1,①‎ ‎2Sn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,②‎ ‎∴①-②得-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)·2n-1,∴Sn=(n-1)·2n+1.]‎ ‎2.(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=__________.‎ n·2n(n∈N*) [由Sn=2an-2n得当n=1时,S1=a1=2;当n≥2时,Sn=2(Sn-Sn-1)-2n,即-=1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,则=n,Sn=n·2n(n≥2),当n=1时,也符合上式,所以Sn=n·2n(n∈N*).]‎ ‎3.(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解] (1)当n≥2时,由an+1=2Sn+3得an=2Sn-1+3,‎ 两式相减,得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an,‎ ‎∴an+1=3an,∴=3.‎ 当n=1时,a1=3,a2=2S1+3=‎2a1+3=9,则=3. 3分 ‎∴数列{an}是以a1=3为首项,公比为3的等比数列.‎ ‎∴an=3×3n-1=3n. 5分 ‎(2)法一:由(1)得bn=(2n-1)an=(2n-1)·3n,7分 ‎∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)·3n,①‎ ‎3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)·3n+1,②‎ ‎①-②得-2Tn=1×3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)·3n+1‎ ‎=3+2×(32+33+…+3n)-(2n-1)·3n+1‎ ‎=3+2×-(2n-1)·3n+1‎ ‎=-6-(2n-2)·3n+1.10分 ‎∴Tn=(n-1)·3n+1+3. 12分 法二:由(1)得bn=(2n-1)an=(2n-1)·3n.7分 ‎∵(2n-1)·3n=(n-1)·3n+1-(n-2)·3n,‎ ‎∴Tn=b1+b2+b3+…+bn ‎=(0+3)+(33+0)+(2×34-33)+…+[(n-1)·3n+1-(n-2)·3n]‎ ‎=(n-1)·3n+1+3. 12分
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