- 2021-05-08 发布 |
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文档介绍
2018届高三数学一轮复习: 第5章 第4节 课时分层训练31
课时分层训练(三十一) 数列求和 A组 基础达标 (建议用时:30分钟) 一、选择题 1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于( ) 【导学号:01772189】 A.n2+1- B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- A [该数列的通项公式为an=(2n-1)+, 则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+ =n2+1-.] 2.(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{an}中,an+1-an=2,Sn为{an}的前n项和.若S10=50,则数列{an+an+1}的前10项和为( ) A.100 B.110 C.120 D.130 C [{an+an+1}的前10项和为a1+a2+a2+a3+…+a10+a11=2(a1+a2+…+a10)+a11-a1=2S10+10×2=120.故选C.] 3.(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 B [由题意,知每天所走路程形成以a1为首项,公比为的等比数列,则=378,解得a1=192,则a2=96,即第二天走了96里.故选B.] 4.(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于( ) A.5 B.6 C.7 D.16 C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0. 又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.故选C.] 5.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=,n∈N*,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 017=( ) 【导学号:01772190】 A.-1 B.-1 C.-1 D.+1 C [由f(4)=2得4a=2,解得a=,则f(x)=x. ∴an===-, S2 017=a1+a2+a3+…+a2 017=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1.] 二、填空题 6.设数列{an }的前n项和为Sn,且an=sin,n∈N*,则S2 016=__________. 【导学号:01772191】 0 [an=sin,n∈N*,显然每连续四项的和为0. S2 016=S4×504=0.] 7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn=__________. 2n +1-2 [∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n. ∴Sn==2n+1-2.] 8.(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前n项和为Sn,若a2=12,Sn=kn2-1(n∈N*),则数列的前n项和为__________. [令n=1得a1=S1=k-1,令n=2得S2=4k-1=a1+a2=k-1+12,解得k=4,所以Sn=4n2-1,===,则数列的前n项和为++…+==.] 三、解答题 9.(2017·成都二诊)已知数列{an}满足a1=1,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式an; (2)设数列{an }的前n项和为Sn,证明:Sn<2. [解] (1)∵当n≥2时,(n+1)an=(n-1)an-1, 得=,=,…,=. 将上述式子相乘得=.3分 又a1==1, ∴an=.5分 (2)证明:∵an==2, ∴Sn=2 =2=2-, ∴Sn<2.12分 10.(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前1 000项和. [解] (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1. 所以{an}的通项公式为an=n.3分 b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.5分 (2)因为bn= 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.12分 B组 能力提升 (建议用时:15分钟) 1.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg an,…的前n项和Sn等于( ) 【导学号:01772192】 A.n·2n B.(n-1)·2n-1-1 C.(n-1)·2n+1 D.2n+1 C [∵等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时, a4a2n-4=102n,∴a=102n,即an=10n, ∴2n-1lg an=2n-1lg 10n=n·2n-1, ∴Sn=1+2×2+3×22+…+n·2n-1,① 2Sn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,② ∴①-②得-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)·2n-1,∴Sn=(n-1)·2n+1.] 2.(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=__________. n·2n(n∈N*) [由Sn=2an-2n得当n=1时,S1=a1=2;当n≥2时,Sn=2(Sn-Sn-1)-2n,即-=1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,则=n,Sn=n·2n(n≥2),当n=1时,也符合上式,所以Sn=n·2n(n∈N*).] 3.(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn. [解] (1)当n≥2时,由an+1=2Sn+3得an=2Sn-1+3, 两式相减,得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an, ∴an+1=3an,∴=3. 当n=1时,a1=3,a2=2S1+3=2a1+3=9,则=3. 3分 ∴数列{an}是以a1=3为首项,公比为3的等比数列. ∴an=3×3n-1=3n. 5分 (2)法一:由(1)得bn=(2n-1)an=(2n-1)·3n,7分 ∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)·3n,① 3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)·3n+1,② ①-②得-2Tn=1×3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)·3n+1 =3+2×(32+33+…+3n)-(2n-1)·3n+1 =3+2×-(2n-1)·3n+1 =-6-(2n-2)·3n+1.10分 ∴Tn=(n-1)·3n+1+3. 12分 法二:由(1)得bn=(2n-1)an=(2n-1)·3n.7分 ∵(2n-1)·3n=(n-1)·3n+1-(n-2)·3n, ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn =(0+3)+(33+0)+(2×34-33)+…+[(n-1)·3n+1-(n-2)·3n] =(n-1)·3n+1+3. 12分查看更多