高三数学同步辅导教材(第9讲)

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高三数学总复习教程（第 9 讲） 一、本讲内容 指数函数与对数函数 二、学习指导 指数函数与对数函数的底 a 取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数函数与对数函数互 为反函数，指数运算与对数运算互为逆运算. 指数 对数 形式 ab=c logac=b 性 质 ab·ac=ab+c c b a a =ab－c (ab)c=abc logab+logac=loga(bc) logab－logac=loga c b logab  = logab loga  b=  1 logab logab logac= logab cloga = logac bloga b =c logab= alog blog c c (换底公式) 指数函数与对数函数的性质，应结合它们的图象进行对比、记忆、要特别注意区分 a＞1 与 a∈(0,1) 这两种不同情况. 三、典型例题讲评 例 1．求函数 y=|2|x－2|－2|的值域，单调区间，并作出它的草图. 本题关键是理解并处理好两层绝对值的意义，作图时着重它由 y=2x 图象经过怎样的变化而得，而不 能盲目列表作图。 由 f(x)=|2|x－2|－2|知 f(x)=f(4－x), x=2 为其对称轴，故先考虑 x≥2 的一部分即可，此时 f(x)= |2|x－2|－ 2|，当 x≥3 时值非负，故 f(x)= 2x－2－2 当 x≥3 2－2x－2 当 x∈ 3,2 至此，值域单调性一目了然. 例 2．f(x)=lg 3 a421 xx  若当 x∈ ∞， 1 时，f(x)有意义，就 a 的取值范围，又若 a∈ 0， 1 ， 求证 f(2x)≥2f(x). ∞， 应为 f(x)定义域的子集，即当 x∈ ∞， 时，必使 1+2x+4xa＞0，即 a＞－［( 4 1 )x+( 2 1 )x］. 故当 x∈ ∞，－ 时，a 大于右边最大值即可. 第二小题中，即证 3 a421 x2x2  ≥( 3 a421 xx  )2. 可改写为了(1+22x+42xa)≥(1+2x+4xa)2. ∵a∈ 0， ，故 1，22x，42xa 均为正数，且 1+22x+42xa≥1+22x+42xa2. 再根据基本不等式，先证了 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2(等号当且仅当 a=b=c 时成立). 即可得到 3(1+22x+42xa2)≥(1+2x+4xa)2 的结论. 例 3．某厂今年头三个月产量分别为 1，1.2，1.3（单位：万件）四月初，甲、乙两统计员根据第一 季度情况分别给出了全年产量模拟函数：甲：f(x)=ax2+bx+c 乙：g(x)=pgx+r (1)试写甲、乙所给的模拟函数解析式； (2)若该厂四月份实际产量为 1.33 万件，而五月份上半月产量超过了四月份同期水平，据此，你认为 哪一个模拟函数较切实际？说明你的理由. 两模拟函数中都各有三个待定系数，由前三个月数据不难求出具体解析式，据此推测发展趋势，看 与实际的差距程度来到定孰优熟者，而不能拘泥于个制数据，立足于全局，放眼于未来，是本题立意所 在。 例 4．已知不等式 loga(2－ 2 x 2 )＞loga(a－x)有且仅有一个整数解，求 a 的取值范围. 整数解问题是同学们比较陌生的，而本题的“题眼”也正在于“整数解”. 显然，不等式两边要有意义，须 2－ ＞0，(当然也须 a－x＞0). 故整数解只可能是－1、0、1 中 的一个，我们分别考察－1、0、1 是不等式解时，a 的取值范围，（分别记为 A、B、C）由逻辑关系，有 且仅有一个整数解的 a 的取值范围为［A∩(CR(B∪C))］∪［B∩CR(A∪C)］∪［C∩CR(B∪C)］ 例 5．已知函数 f(x)的函数是 y= 110 2 x  －1. 函数 g(x)的图象与函数 y= 1x x34   的图象关于 y=x－1 对称，F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数 F(x)的解析式并写出它的定义域； (2)F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A、B，使直线 AB 与 y 轴垂直？若存在，求出 A、B 两点的 坐标，若不存在，说明理由 f(x)的解析式可通过求反函数的步骤求出，而求 g(x)的解析式，我们可有两 种选择：①设 P(x,y)为 y=g(x)的图象上任意一点，则它关于直线 y=x－1 的对称点 P ( 2 1yx  ， 2 3yx  ). 在已知曲线上，满足：y= ；也可先把 y= 向左平均 1 个单位，得到 y= x x31  ， 它关于 y=x 的对称图形的解析式为 y= 3x 1  .再把它向右平均一个单位，得 y= 2x 1  . 即为 y=g(x)的解析 式，而 F(x)的定义域则应为 f(x)与 g(x)定义域的交集. 在第(2)小题中，KAB=0，若存在，应有(x1，y). (x2，y) (x1≠x2)均在 F(x)图象上. 例 6．a、b 为两上不同的正数，变量 m∈(0,1)∪(1,+∞). (1)求证：过 A(a, logma)、B(b, logmb)两点的直线恒过一定点； (2)求上述定点恰为坐标原点的条件； (3)②中若 1＜a＜b. 取 m1=2，m2=8, 且 log2a=log8b，求 A、B 两点的坐标. 先写出直线 AB 的方程，要过定点，即与 m 无关，应把方程按 m 进行整理，令与 m 有关的项的系 数为 0，即可求设定点坐标，令此点标为(0,0)并进行化简，便可提出条件，再结合第三小题的特有条件， 即可求出 A、B 坐标. 四、巩固练习 1．已知集合 A=｛x|x2－ax≤x－a｝， B=｛x|1≤log2(x+1)≤2｝,C=｛x|x2+bx+c＞0｝ (1)若 A∩B=A，求 a 的取值范围. (2)若 B∩C= ，且 B∪C=R，求 b、c 的值. 2．已知 f(log2x)= 1x2x2  (1)求函数 y=f(x)的解析式； (2)写出 f(x)的单调区间； (3)讨论 f(x+1)与 f(x)的大小关系. 3．设函数 f(x)=log ax21 1)1x( 2 2 1   (1)求 f(x)的定义域； (2)求不等式 f(x)＞0 的解集. 4．设函数 f(x)= x1 x1lg2x 1   (1)试判断 f(x)的单调性，并证明之； (2)求证方程 f－1(x) =0 有唯一解 (3)解不等式：f［x(x－ 2 1 )］＜ 5．已知函数 f(x)=log 2 (x+a)的图象经过原点. (1)若 f(x－3)，f( 2 －1)，f(x－4)构成等差数列，求 x 的值. (2)设 g(x)=f(x)+1 m, n∈R+且 n2=mt. m、n、t 互不相等，比较 g(m)+g(t)与 2g(n)的大小. 6．已知 f(x)=lg(1+x)－x 在 ,0 上单调递减，解不等式；lg(1+ x 1x  )＞ x 1x  +lg2－1 7．已知函数 f(x)= 12 2a2a x x   是奇函数. (1)求 a 的值； (2)判断函数 f(x)的单调性，并用定义证明； (3)k＞0 时，解关于 x 的不等式；f－1 (x)＞log2 k x1 8．a∈(0,1)，f(x)=loga(x+ 1x2  ). 已知关于 x 的方程 f－1 (x)+a－x=k 在 0,4log a 上有两相 异实解，求 k 的取值范围，并求此两根之和. 9．已知常数 a＞1，变量 x、y 满足 3logxa+logax－logxy=3 (1)若 x=at(t≠0)，试以 a、t 表示 y； (2)若 t∈ ,1 ，y 有最小值 8，求此时 a 和 x 的值各为多少？ 10．已知函数 f(x)= )1d(d )1d(2 x x   (d＞0 且 d≠1) (1)求 f－1(x) (2)已知当 f－1(x)的定义域为［a、b］时，值域为［logd 1db d  ，logd 1da d  ］，试判断函数 f－1(x)的 单调性 (3)在(2)中，求 d 的取值范围. 五、参考答案 1．①2≤x+1≤22. x∈［1，3］ ∴B=［1，3］ A= ｛1｝ 当 a=1 ［1，a］ 当 a＞1 今由 A∩B=A，知 A B. ［a，1］ 当 a＜1 ②由题得知，C=(－∞，1)∪(3，+∞). ∴ －b=3+1 b=－4 c=3×1 c=3 2．设 t=log2x，则 x=2x，故 f(t)=|2t－1| ∴f(x)= 2x－1 当 x≥0 1－2x 当 x＜0 它在  0, 上单调递减，在 ,0 上单调递增. f(x+1)－f(x)= (2x+1－1)－(2x－1)=2x 当 x≥0 －(1－2x)=3·2x－2 当 x∈ 0,1 －2x 当 x＜－1 故当 x＞log2 3 2 时，f(x+1)大，当 x＜log2 时，f(x)大，而为 x= log2 时，两者相等, 3．(1)令 x201 1)1x(   ＞0，即 1+2ax＞0. 当 a=0，定义域为 R，当 a＞0 时，定义域为(－ a2 1 ，+∞)， 当 a＜0 时，定义域为(－∞，－ )； (2)log 2 1 ax21 1)1x( 2   ＞0  0＜ ax21 1)1x( 2   ＜1. 由(1)知，在定义域范围内，即解 x2－2x+2 ＜1+2ax. 亦即 x2－2x(1+a)+1＜0. 1O 当 a=0 时 x∈R (x－1)2＜0 2O 当 a＞0 时 x∈(－ ,+∞) x∈(1+a－ a2a2  , 1+a+ a2a2  ) 原不等式解集为(1+a－ a2a2  , 1+a+ ).(此时 1+a－ a2a2  ＞－ ) 3O 当 a∈ 0,2 时，x2－2x(1+a)+1＜0 解集为 ，从而原不等式解集为 . 4O 当 a＜－2 时， x∈(－∞, － ) x∈(1+a－ , 1+a+ ) 原不等式解集为(1+a－ , 1+a+ ) (此时 1－a+ ＜－    a2 1 4．(1) x1 x1   ＞0 x+2≠0 当 x∈(－1，1)时，函数 y= 2x 1  单调递减，函数 y= = x1 2  －1 也单调递减，从而 y=lg 单调递减. ∴f(x)在(－1，1)单调递减. (2)在 f(x)= +lg 中，令 x=0，知 y= 2 1 ，故 x= 是 f－1(x)=0 的一个解，又 f(x)单调减， 故 f－1(x)也单调递减，故 f－1(x)=0 至多一解. 综上 f－1(x)=0 有唯一解 (3)由②知，f(0)= ，故不等式即 f［x(x－ )］＜f(0). 又 f(x)为(－1，1)上的减函数，故 1＞x(x － )＞0. 解集为(－ ，0)∪( ，1) 5．由已知，log 2 (0+a)=0 ∴a=1 即 解集为 解得 f(x)的定义域为(－1，1) (1)2 log 2 ( 2 －1+1)= log (x－3+1)+log ( x－4+1) x＞3 2=(x－2)( x－3) ∴x=4 (2)∵g(m)+g(t)－2g(n)=f(m)+f(t)－2g(n) = log (m+1)+ log (t+1)－2log (n+1) = log (mt+m+t+1)－log (n+1)2 =log (mt+2 mt +1)－log (n+1)2 = log (n2+2n+1)－log (n+1)2=0 ∴g(m)+g(t)＞2g(n) 6．正确理解 f(x)的含义，把不等式与 f(x)挂上钩是本题的钥匙. lg(1+ x 1x  )－ ＞lg(1+1)－1 即 f( )＞f(1). 0≤x－ x 1 ＜1 x 1x2  ≥0 x≥1 或－1≤x＜1 x 1xx2  ＜0 x＜ 2 51 或 0＜x＜ 2 51 不等式解集为        2 51,1 ∪        2 51,1 7．(1)∴f(x)为奇函数. ∴ 12 2a2a x x   + 12 2a2a x x     =0 (2a－2)(2x+1)=0 ∴a=1. (2)f(x)= 12 12 x x   =1－ 12 2 x  . 在 R 上单调递增，证明如下：对任意的 x1＜x2. f(x1)－f(x2)=(1－ 12 2 1x  )－( 12 2 2x  )= )12)(12( )22(2 21 21 xx xx   ＜0. ∴f(x)单调递增. (3)f－1(x)=log2 x1 x1   x∈(－1，1) 单调递增. 原不等式同解于 ＞ k x1 x∈(－1，1) x＞1－k x∈(－1，1) 故当 k≥2 时，原不等式解集为(－1，1) 当 k∈(0，2)，原不等式解集为(1－k，1) 8．y=loga(x+ 1x2  ) ∴ay= x+ 1x2  a－y= 1xx 1 2  = x－ 两式相.加 ay+a－y=2x ∴f－1(x)= 2 aa xx  x∈k 方程即 k= 2 a3a xx  . 记 t=ax∈ 4.1 则 k= 2 1t3t  任取 t1＜t2. k1－k2= 2 1 21 2121 tt )3tt)(tt(  . 故当 t1，t2∈［1， 3 ］时，k1－k2＞0，单调递减，当 t1， t2∈［ ， 4 时，k1－k2＜0，单调递增，当 t= 时，k 有最小值 ，当 t=1 或 3 时，k=2；当 t(3,4) 时，k∈(2, 8 19 ). ∵y=ax 单调，故对每一个适合题意的 x，有且只有一个<>与之对应，故当 k∈  2,3 时，方程有两 相异实解；ax1+x2=ax1·ax2=t1t2=3 ∴两根之和 x1+x2=loga3 9．由已知，3logxa+logax－logxy=3. 换为以 a 为底 logay=log2 ax－3logax+3=t2－3t+3 (t≠0) ∴y=a 2t －3t+3 当 t= 2 3 时，t2－3t+3 有最小值 4 3 ，从而 y 有最小值 a 4 3 ，令 a =8，a=16. 10．(1)由 y= )1d(d )1d(2 x x   知 dx= 2dy 2dy   . ∴f－1(x)=logd 2 2   dx dx 又∵dx∈(0,1)∪(1,+∞) ∴原函数值域，亦即 f－1(x)的定义域∈(－∞，－ d 2 )∪( ，+∞) (2)若 f－1(x)单调递增，则 logd 2 2   da da =logd 1db d  logd 2 2   db db =logd 1da d  即 (da+2)(db－1)=d(da－2) (db+2)(da－1)=d(db－2) 两式相减，得－3d(a－b)=d2(a－b). ∵b＞a, d＞0 且≠1. 故无解； 若 f－1(x)单调递减，则应有 logd 2da 2da   =logd 1da d  logd 2db 2db   =logd 1db d  即 a、b 为方程 d2x2+d(1－d)x+2(d－1)=0 的两不等根. △=d2(d2－10d+9)＞0 d＞9 或 d∈(0,1). 若 d∈(0,1)由韦达定理知，方程一正根一负根，且负根绝对值大， ∴正根 d2 9d10d1d 2  ＞ 9d10d 2  ＞5－d. 两边非负、平方 9＞25，不可能 若 d＞9, 由韦达定理，两根均正，小根 d2 9d10d1d 2  ＞ ，d－5＞ 9d10d 2  两边均正， 平方 25＞9，成立 . ∴d＞9 此时 f－1(x)=logd(1+ 2x2 4  )单调递减. 六、附录 例 1．∵2|x－2|∈ ,1 ∴2|x－2|－2∈ ,1 . ∴y∈ ,0 y=|2|x－2|－2|的对称轴为 x=2. 又当 x≥3 时，y=|2x－2－2|=2x－2－2 单调递增；当 x∈［2,3］时，y=|2x－2－2|=2－2x－2 单调递减； ∴原函数在 1, 及［2,3］单调递减，而在［1,2］及  ,3 单 调递减. 图象如图 1 中的曲线 (表示废弃的部分) 例 2．①令 3 a421 xx  ＞0，当 x≤1 时恒成立，记 2x=t∈ 2,0 g(t)=1+t+at2，t∈ , 当 a=0 时，g(t)=1+t＞1＞0; 当 a＞0 时，g(t)在 单调递增，g(t)＞g(0)=1＞0； 当 a＜时，g(t)在 单调递减，g(t)≥g(x)=4a+3，为正即可，故 a∈( 4 3 ，0) 综上 a∈( 4 3 ，+∞) 解法二 令 1+2x+△xa＞0. ∴a＞－(( 4 1 )x+( 2 1 )x)，函数 g(x)=－(t2+t) t∈      ,2 1 的最 大值为 g( )= , ∴a＞ . 解法三 令 1+2x+△xa＞0. ∴a＞－(( )x+( )x)，∵ 、 均为(0，1)中的数，∴y=( )x y=( )x 均为减函数，从而 y=［( )x+( )x］为增函数，最大值为－［( )1+( )1］= 4 3 ∴a＞ . ②证法一 ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca. 三式相加有 a2+b++c2≥ab+bc+ca ∴3(a2+b++c2)≥(a+b+c)2. 其中等号当且仅当 a=b=c 时成立，又 a∈ 1,0 ∴42xa≥42xa2 从而 3(1+22x+42xa)≥3(1+22x +42xa2)≥(1+2x+4xa)2 即 f(2x)≥2f(x) 或中等号当且仅当 x=0 且 a=1 时取得. 证法二 ∵a∈ ，∴(y－1)2+(y－2x)2+(y－△xa)2+42xa(1－a)≥0 恒成立. 从而△=4(1+2x+△xa)2－12(1+22x+42xa)≤0 即 3 a421 x2x2  ≥( 3 a421 xx  )2 恒成立.∴原不等式 恒成立. 例 3．由已知 f(1)=a+b+c=1 解得 p=－0.05 f(2)=4a+2b+c=1.2 q=0.35 f(3)=9a+3b+c=1.3 r=0.7 ∴f(x)=－0.05x2+0.35x+0.7. 开口向下，对称轴为 x=3.5，故四月份应与三月份持平，且以后显下降趋 势与四月及五月上半月显示的发展趋势介速； g(1)=pq+r=1 解得 p=－0.8 g(2)=pq2+r=1.2 q=0.5 g(3)=pq3+r=1.3 r=1.4 ∴8(x)= －0.8·0.5x+1.4，为单调递增函数，由后来的实际产量的，此模拟函数较符合实际. 例 4．∵ 2－ 2 x 2 ＞0 ∴x∈｛－1，0，1｝ x∈E 若－1 为原不等式的一个整数解，则有 loga 2 3 ＞loga(a+1) 当 a＞1 时，a+1＞2＞ . 原不等式不成立. 当 a∈(0，1)时， ＜a+1 ∴a∈( ，1). 若 0 为原不等式的一个整数解，则有 loga2＞logaa. 当 a＞1 时，2＞a，∴a∈(1，2) 当 a∈(0，1)时，2＜a. 无解； ∴a∈(1，2) 若 1 为原等式的一个整数外，则有 lga ＞lga(a－1). 故 a 必大于 1， ＞a－1. ∴a∈(1， 2 5 ) 今不等式只有唯一的整数解，∴a∈( ，1)∪      2 5,2 例 5．由 y= 110 2 x  －1 知 10x+1= 1y 2  . 反函数 f(x)=lg x1 x1   (x∈(－1,1)) 记 r(x)= 1x x34   ，则 r(x+1)= x x31 . 它的反函数为 y= x3 1  . ∴g(x)= x2 1  (x≠－2) ∴F(x)=lg x1 x1   + x2 1  x∈(－1,1) y=F(x) 若存在 A(x1，y) B(x2，y) (x1≠x2) 使 AB⊥y 轴，则不妨设 x1＜x2. y=lg 2 1 x1 x1   + 1x2 1  =lg 2 2 x1 x1   + 2x2 1  于是 lg )x1)(x1( )x1)(x1( 21 21   = )x2)(x2( xx 21 21   ∵x1x2∈(－1,1) ∴1－x1 1+x1 1－x2 1+x2 2+ x1 2+x2 均正. 又(1－x1)(1+x2)－(1+x2)(1－x1)=2(x2－x1)＞0. 故 ＞1, lg ＞0. 而右边为负值，故这样的 A、B 不存在. 例 6．①KAB= ba blogalog mm   直线 AB 的方程为(logma－logmb)x－(a－b)y+alogmb－blgma=0. 亦 即(lga－lgb)x－(a－b)lgm·y+algb－blga=0. 恒过定点( blgalg blgaalgb   ,0) ②要使上述定点是原点，该 blga=algb 即 ab=ba ③log2a=log8b ∴b=a3 又 a 3a = a a3 . 从而 a3=3a, 又 a＞0， ∴a= 3 A：( ,log2 ) B：(3 ,log83 )