高三数学总复习学案6

高三数学总复习学案6

学案6　函数的奇偶性与周期性 导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．‎ 自主梳理 ‎1．函数奇偶性的定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．‎ ‎2．奇偶函数的性质 ‎(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；‎ f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.‎ ‎(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于_____ ___‎ 对称．‎ ‎(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．‎ ‎3．函数的周期性 ‎(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．‎ ‎(2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋)＝f(x－)．‎ ‎②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．‎ ‎③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．‎ 自我检测 ‎1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－‎7m＋12)为偶函数，则m的值是 (　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎2．(2011·茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 (　　)‎ A．增函数且最小值是－5‎ B．增函数且最大值是－5‎ C．减函数且最大值是－5‎ D．减函数且最小值是－5‎ ‎3．函数y＝x－的图象 (　　)‎ A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 ‎4．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 012)＋f(2 011)的值为 (　　)‎ A．－2 B．－‎1 ‎ C．1 D．2‎ ‎5．(2011·开封模拟)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.‎ 探究点一　函数奇偶性的判定 例1　判断下列函数的奇偶性．‎ ‎(1)f(x)＝(x＋1) ；(2)f(x)＝x(＋)；‎ ‎(3)f(x)＝log2(x＋)；(4)f(x)＝ 变式迁移1　判断下列函数的奇偶性．‎ ‎(1)f(x)＝x2－x3；‎ ‎(2)f(x)＝＋；‎ ‎(3)f(x)＝.‎ 探究点二　函数单调性与奇偶性的综合应用 例2　函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]<0的解集．‎ 变式迁移2　(2011·承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．‎ 探究点三　函数性质的综合应用 例3　(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.‎ 变式迁移3　定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　　)‎ A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 转化与化归思想的应用 例　(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；‎ ‎(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．‎ ‎【答题模板】‎ 解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，‎ ‎∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝‎2f(1)，∴f(1)＝0.[2分]‎ ‎(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，‎ ‎∴f(－1)＝f(1)＝0.[4分]‎ 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分]‎ ‎(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，‎ f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]‎ ‎∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，‎ 即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]‎ ‎∵f(x)为偶函数，‎ ‎∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]‎ 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D.‎ ‎∴0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]‎ 解上式，得30，从而得出0<|g(x)|≤a，解之得x的范围．‎ ‎【易错点剖析】‎ 在(3)中，由f(|(3x＋1)·(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误．‎ ‎1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．‎ ‎2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．‎ ‎3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．‎ ‎4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a为常数且a≠0)，则f(x)的一个周期为‎2a ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·吉林模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，那么a＋b的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎2．(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若f(－3)＝0，则<0的解集为 (　　)‎ A．(－3,0)∪(0,3)‎ B．(－∞，－3)∪(0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)‎ D．(－3,0)∪(3，＋∞)‎ ‎3．(2011·鞍山月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)等于 (　　)‎ A．4.5 B．－4.5‎ C．0.5 D．－0.5‎ ‎4．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于 (　　)‎ A．3 B．‎1 ‎ C．－1 D．－3‎ ‎5．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)大小关系是 (　　)‎ A．f(－1)>f(2) B．f(－1)1，f(2)＝，则m的取值范围是________．‎ ‎8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 010)的值为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．‎ ‎10．(12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)‎ ‎(1)证明f(x)是偶函数；‎ ‎(2)画出这个函数的图象；‎ ‎(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；‎ ‎(4)求函数的值域．‎ ‎11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．‎ ‎(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；‎ ‎(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．‎ 答案 自主梳理 ‎1．f(－x)＝－f(x)　f(－x)＝f(x)‎ ‎2．(1)0　0　(2)y　原点　(3)相反 ‎3．(1)f(x)　周期　最小正周期　(2)③‎‎2a 自我检测 ‎1．B　[因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]‎ ‎2．A　[奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]‎ ‎3．A　[由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]‎ ‎4．C　[f(－2 012)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.]‎ ‎5．－1‎ 解析　∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，‎ ‎∴a＝－1.代入检验f(x)＝是奇函数，故a＝－1.‎ 课堂活动区 例1　解题导引　判断函数奇偶性的方法．‎ ‎(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．‎ ‎(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．‎ ‎(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．‎ 解　(1)定义域要求≥0且x≠－1，‎ ‎∴－10，则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；‎ 当x>0时，－x<0，则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．‎ ‎∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．‎ 故f(x)为奇函数．‎ 变式迁移1　解　(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)‎ 既不是奇函数也不是偶函数．‎ ‎(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(3)由得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]．‎ ‎∴定义域关于原点对称，‎ 又f(x)＝，f(－x)＝－ ‎∴f(－x)＝－f(x)‎ ‎∴f(x)为奇函数．‎ 例2　解题导引　本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．‎ 在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．‎ 解　∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，‎ 且由f(1)＝0得f(－1)＝0.‎ 若f[x(x－)]<0＝f(1)，‎ 则即00)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1f(2)，即f(－1)>f(2)．]‎ ‎6．1‎ 解析　∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.‎ ‎7．－11，‎ ‎∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴<－1.‎ 解得：－14，即a4，∴x1x2(x1＋x2)>16，‎ ‎∴a的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)‎