高三数学总复习学案9
学案9 幂函数
导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
自主梳理
1．幂函数的概念
形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．
2．幂函数的性质
(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：
定义域
值域
奇偶性
单调性
过定点
y＝x
R
R
奇
↗
(1,1)
y＝x2
R
[0，＋∞)
偶
[0，＋∞)↗
(－∞，0]↙
y＝x3
R
R
奇
↗
y＝
[0，＋∞)
[0，＋∞)
非奇
非偶
[0，＋∞)↗
y＝x－1
(－∞，0)
∪(0，＋∞)
(－∞，0)
∪(0，＋∞)
奇
(－∞，0)↙
(0，＋∞)↙
(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．
(3)α>0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．
自我检测
1．(2011·石家庄月考)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
2．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )
A．②①③④ B．②③①④
C．④①③② D．④③①②
3．(2011·沧州模拟)设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为 ( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
4．与函数y＝的图象形状一样的是 ( )
A．y＝2x B．y＝log2x C．y＝ D．y＝x＋1
5．已知点(，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是 ( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝ D．f(x)＝
探究点一 幂函数的定义与图象
例1 已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)
f(a－1)的实数a的取值范围．
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．右图是函数y＝ (m，n∈N*，m、n互质)的图象，则 ( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
2．(2010·陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是 ( )
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
3．下列函数图象中，正确的是 ( )
4．(2010·安徽)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 ( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
5．下列命题中正确的是 ( )
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn当n>0时是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n<0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
A．①和④ B．④和⑤
C．②和③ D．②和⑤
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·邯郸模拟)若幂函数y＝的图象不经过原点，则实数m的值为________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．
8．已知函数f(x)＝xα(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若00时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0f(x＋3)．
11．(14分)(2011·荆州模拟)已知函数f(x)＝(k∈Z)满足f(2)0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．
答案 自主梳理
1．y＝xα x α 2.(2)(0，＋∞) 四 (3)(0,0)，(1,1) 增函数 不过
自我检测
1．B [方法一 由幂函数的图象与性质，n<0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；
由增(减)快慢知n(C1)>n(C2)>n(C3)>n(C4)．
故C1，C2，C3，C4的n值依次为
2，，－，－2.
方法二 作直线x＝2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,，，2－2，故n值分别为2，，－，－2.]
2．D [第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y＝，③y＝x－1恰好符合，
∴第二个图象对应③；
第三个图象为指数函数图象，表达式为y＝ax，且a>1，①y＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；
第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a>1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②.
∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.]
3．A 4.C 5.B
课堂活动区
例1 解 (1)设f(x)＝xα，
∵图象过点(，2)，故2＝()α，
解得α＝2，∴f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，∵图象过点(2，)，
∴＝2β，解得β＝－2.
∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．
由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1,1)．
∴①当x>1，或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－130.7.
(2)函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；0<＝1；
<0，∴.
变式迁移2 (1)①< ②<
(2)m>0
解析 根据幂函数y＝x1.3的图象，
当01时，y>1，∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y＝xm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知，当x>0时，随着x的增大，函数值也增大，∴m>0.
例3 解 ∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，
∴m2－2m－3<0，解得－13－2a>0，
或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，
解得a<－1或f(a－1)得
解得1≤a<.
∴a的取值范围为[1，)．
课后练习区
1．C [由图象知，函数为偶函数，
∴m为偶数，n为奇数．
又函数图象在第一限内上凸，∴<1.]
2．C [∵(x＋y)α≠xα·yα，
∴幂函数f(x)＝xα不具有此性质．
∵loga(x＋y)≠logax·logay，
∴对数函数f(x)＝logax不具有此性质．
∵ax＋y＝ax·ay，∴指数函数f(x)＝ax具有此性质．
∵cos(x＋y)≠cos x·cos y，
∴余弦函数y＝cos x不具有此性质．]
3．C [对A、B，由y＝x＋a知a>1，可知A、B图象不正确；
D中由y＝x＋a知0c，
∵y＝()x在x∈(－∞，＋∞)递减，
∴，即c>b，
∴a>c>b.]
5．D
6．1或2
解析 由解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合．
7．cα>.
又∵x∈(0,1)，∴，故④错．
9．解 设在[－1,1)中，f(x)＝xn，
由点(，)在函数图象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)
令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)
又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)
10．解 由条件知>0，
－n2＋2n＋3>0，解得－1f(x＋3)转化为x2－x>x＋3.
解得x<－1或x>3.
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)
11．解 (1)∵f(2)0，解得－10满足题设，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(，)处取得．
……………………………………………………………………………………………(8分)
而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，
∴g(x)max＝＝，…………………………………………………………………(12分)
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．……………………………………………………(14分)
