高三数学总复习学案33
第七章 不等式、推理与证明
学案33 不等式的概念与性质
导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．
自主梳理
1．不等关系
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0)，变量与________间的不等关系(如x>5)，函数与________之间的不等关系(如x2＋1≥2x)等．
2．不等式
用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．
3．两个实数大小的比较
(1)作差法：设a，b∈R，则a>b⇔a－b>0，a
0，b>0，则a>b⇔__________，
ab⇔________；
(2)传递性：a>b，b>c⇒________；
(3)加法性质：a>b⇔________；
推论：a>b，c>d⇒________；
(4)乘法性质：a>b，c>0⇒________；
推论：a>b>0，c>d>0⇒________；
(5)乘方性质：a>b>0⇒________________________；
(6)开方性质：a>b>0⇒________________________；
(7)倒数性质：a>b，ab>0⇒________________.
自我检测
1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
2．若a，b是任意实数，且a>b，则( )
A．a2>b2 B.<1
C．lg(a－b)>0 D.a0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是( )
A．＋≥2
B．ln(ab＋1)>0
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D．a3＋b3≥2ab2
4．(2011·上海)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
5．(2010·安徽)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
探究点一 数与式的大小比较
例1 (1)设x2时，比较cn与an＋bn的大小．
变式迁移1 已知a>2，b>2，试比较a＋b与ab的大小．
探究点二 不等式性质的简单应用
例2 下面的推理过程
⇒ac>bd⇒>，其中错误之处的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
变式迁移2 (2011·许昌月考)若a B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
探究点三 求字母或代数式范围问题
例3 (1)已知12ac B．c(b－a)<0
C．cb20
2．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D.>
3．(2011·金华模拟)已知a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．lg a>lg b B．a2>b2
C.< D．2a>2b
4．(2011·舟山七校联考)若a和>均不能成立
B.>和>均不能成立
C．不等式>和2>2均不能成立
D．不等式>和2<2均不能成立
5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若x>y>1，且0logay；③x－a>y－a；④logxa0>b，cb＋d2；③b－c>d－c.其中正确命题的序号是________．
8．已知－≤α<β≤，则的取值范围是________；的取值范围是______________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·阳江月考)已知a＋b>0，试比较＋与＋.
10．(12分)比较aabb与abba(a，b为不相等的正数)的大小．
11．(14分)已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2.试比较a，b，c的大小．
学案33 不等式的概念与性质
自主梳理
1．常量 常量 函数 2.不等号 3.(2)>1 4.(1)bc (3)a＋c>b＋c a＋c>b＋d (4)ac>bc ac>bd (5)an>bn (n∈N且n≥2) (6)> (n∈N且n≥2)
(7)<
自我检测
1．A 2.D 3.D 4.D
5．①③⑤
课堂活动区
例1 解题导引 比较大小有两种基本方法：
(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．
解 (1)方法一 (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
∵x0，x－y<0.
∴－2xy(x－y)>0.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
方法二 ∵xy2，x＋y<0.
∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0.
∴0<＝<1.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn>0.
而＝n＋n.
∵a2＋b2＝c2，则2＋2＝1，
∴0<<1,0<<1.
∵n∈N，n>2，
∴n<2，n<2.
∴＝n＋n<＝1.
∴an＋bn2，b>2，∴a－1>1，b－1>1.
∴(a－1)(b－1)－1>0.
∴ab－(a＋b)>0.
∴ab>a＋b.
方法二 (作商法)∵＝＋，
且a>2，b>2，∴<，<.
∴＋<＋＝1.
∴<1.又∵ab>4>0，∴a＋bb⇒ac>bc，c>d⇒bc>bd都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac>bd是正确的，由ac>bd⇒>是对不等式ac>bd两边同除cd，由于不知cd的正、负，故这一步也是错误的．]
变式迁移2 B [∵a0.
取倒数，则有>，选项A正确．
∵a|b|和a2>b2两个不等式均成立，选项C、D正确．
对于B，－＝，
又∵a0，c<0，但b的符号不确定，b可能为0，故C错误．
由b>c⇒ab>ac，b可能为0，故A正确．
⇒c(b－a)>0，故B错误．
⇒ac(a－c)<0，故D错误．]
2．C [∵a>b>0，∴ab>0，∴>.
∴a＋>b＋.故选C.]
3．D [只有指数函数y＝2x在R上为增函数，所以D正确．而A、C显然不是对于一切实数都成立的，B的等价条件是|a|>|b|，显然也错误．]
4．D [∵a有可能成立；又∵a|b|>0，则有<，即>不成立．]
5．D [①由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad，
得>，即－>0；
②由ab>0，－>0，即>，
得bc>ad，即bc－ad>0；
③由bc－ad>0，－>0，
即>0，得ab>0；
故可组成3个正确的命题．]
6．3
解析 ∵x>y>1,0ya>0，∴x－a.
即logxa>logya，∴④也不成立．
7．①②
解析 ∵ad<0，bc>0，∴add2>0.
由已知a>b，同向不等式相加得a＋c2>b＋d2，故②正确；
对于结论③，d－c>0，b－c的正、负不确定，故③不正确．
8.
解析 ∵－≤α<，－<β≤，
∴－π<α＋β<π，∴－<<.
∵－≤－β<，
∴－π≤α－β<π，∴－≤<.
又∵α－β<0，∴－≤<0.
9．解 ＋－＝＋
＝(a－b)＝.(6分)
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0.
∴＋≥＋.(12分)
10．解 ＝aa－bbb－a＝a－b，(4分)
当a>b>0时，>1，a－b>0，
∴a－b>1；(8分)
当01.(11分)
综上所述，当a，b为不相等的正数时，总有aabb>abba.
(12分)
11．解 ∵bc>a2>0，∴b，c同号．(2分)
又a2＋c2>0，a>0，∴b＝>0.
∴c>0.(4分)
由(a－c)2＝2ab－2ac＝2a(b－c)≥0，
∴b－c≥0.(6分)
当b－c>0，即b>c时，
由⇒·c>a2⇒(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0.
∵a>0，b>0，c>0，∴2a2＋ac＋c2>0.
∴a－c<0，即aa2，∴b2>a2，即b≠a.
又∵a2－2ab＋c2＝(a－b)2＝0⇒a＝b与a≠b矛盾，
∴b－c≠0.综上，可知a
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