高三数学总复习学案20
学案 20 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像及
三角函数模型的简单应用
导学目标： 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了
解参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模
型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
自主梳理
1．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．
X
Ωx＋φ
y＝
Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.图象变换：函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数 y＝sin x 的图象作如下变
换得到：
（1）相位变换：y＝sin x y＝sin(x＋φ)，把 y＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向
____(φ<0)平行移动__________个单位．
（2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把 y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标
____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．
（3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把 y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐
标______(A>1)或______(0
0，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____
叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．
函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为____________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为
________．
自我检测
1．(2011·池州月考)要得到函数 y＝sin 2x－π
4 的图象，可以把函数 y＝sin 2x 的图象( )
A．向左平移π
8
个单位
B．向右平移π
8
个单位
C．向左平移π
4
个单位
D．向右平移π
4
个单位
2．已知函数 f(x)＝sin ωx＋π
4 (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.将 y＝f(x)的图象向左平移
|φ|个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则φ的一个值是 ( )
A.π
2 B.3π
8 C.π
4 D.π
8
3．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π
4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数 g(x)＝cos ωx
的 图 象 ， 只 要 将 y ＝ f(x) 的 图 象
( )
A．向左平移π
8
个单位长度
B．向右平移π
8
个单位长度
C．向左平移π
4
个单位长度
D．向右平移π
4
个单位长度
4 ． (2011· 太 原 高 三 调 研 ) 函 数 y ＝ sin 2x－π
3 的 一 条 对 称 轴 方 程 是
( )
A．x＝π
6 B．x＝π
3
C．x＝ π
12 D．x＝5π
12
5．(2011·六安月考)若动直线 x＝a 与函数 f(x)＝sin x 和 g(x)＝cos x 的图象分别交于 M、
N 两 点 ， 则 |MN| 的 最 大 值 为
( )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
探究点一 三角函数的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin 2x＋π
3 .
(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明 y
＝2sin 2x＋π
3 的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．
变式迁移 1 设 f(x)＝1
2cos2x＋ 3sin xcos x＋3
2sin2x (x∈R)．
(1)画出 f(x)在 －π
2
，π
2 上的图象；
(2)求函数的单调增减区间；
(3)如何由 y＝sin x 的图象变换得到 f(x)的图象？
探究点二 求 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π
2
，x∈R)的图象的一部分如图所示．求
函数 f(x)的解析式．
变式迁移 2 (2011·宁波模拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π
2)的图象与 y
轴的交点为(0,1)，它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋
2π，－2)．
(1)求 f(x)的解析式及 x0 的值；
(2)若锐角θ满足 cos θ＝1
3
，求 f(4θ)的值．
探究点三 三角函数模型的简单应用
例 3 已知海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作 y＝
f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b.(1)根据以上数据，求函
数 y＝Acos ωt＋b 的最小正周期 T，振幅 A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于 1
米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间，
有多少时间可供冲浪者进行运动？
变 式 迁 移 3 交 流 电 的 电 压 E( 单 位 ： 伏 ) 与 时 间 t( 单 位 ： 秒 ) 的 关 系 可 用 E ＝
220 3sin 100πt＋π
6 表示，求：
(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次
取得最大值时的时间．
数形结合思想的应用
例 (12 分)设关于θ的方程 3cos θ＋sin θ＋a＝0 在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、
β.
(1)求实数 a 的取值范围；
(2)求α＋β的值．
【答题模板】
解 (1)原方程可化为 sin(θ＋π
3)＝－a
2
，
作出函数 y＝sin(x＋π
3)(x∈(0,2π))的图象．
[3 分]
由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是
－1<－a
2<1
－a
2
≠ 3
2
.
即－20，ω>0)的图象如图所示，f(π
2)＝－2
3
，则
f(0) 等 于
( )
A．－2
3 B．－1
2
C.2
3 D.1
2
5．(2011·烟台月考)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为 4，最小值为 0，
最小正周期为π
2
，直线 x＝π
3
是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )
A．y＝4sin 4x＋π
6 B．y＝2sin 2x＋π
3 ＋2
C．y＝2sin 4x＋π
3 ＋2 D．y＝2sin 4x＋π
6 ＋2
题号 1 2 3 4 5
答案
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)
6．已知函数 y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
7．(2010·潍坊五校联考)函数 f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π
4
个单位长度后得到 g(x)的图
象，则 g(x)＝______.
8．(2010·福建)已知函数 f(x)＝3sin ωx－π
6 (ω>0)和 g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的图象的对称
轴完全相同．若 x∈ 0，π
2 ，则 f(x)的取值范围是____________．
三、解答题(共 38 分)
9．(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π
2
，x∈R)的图象的一部分如下图
所示．
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)当 x∈[－6，－2
3]时，求函数 y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的 x 的值．
10．(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，0<ω≤2 且 0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其
图象过点 M(0,2)．又 f(x)的图象关于点 N
3π
4
，0 对称且在区间[0，π]上是减函数，求 f(x)的
解析式．
11．(14 分)(2010·山东)已知函数 f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为
π，
(1)求ω的值；
(2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)
的图象，求函数 y＝g(x)在区间 0， π
16 上的最小值．
答案 自主梳理
1.0－φ
ω
π
2
－φ
ω
π－φ
ω
3π
2
－φ
ω
2π－φ
ω
0 π
2 π 3π
2 2π 2.(1)左 右 |φ| (2)伸长
缩短 1
ω (3)伸长 缩短 A 3.A 2π
ω
1
T ωx＋φ φ 2π
|ω|
π
|ω|
自我检测
1．B 2.D 3.A 4.D 5.B
课堂活动区
例 1 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周
期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；
(2)变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利
用ωx＋φ＝ω x＋φ
ω 来确定平移单位．
解 (1)y＝2sin 2x＋π
3 的振幅 A＝2，周期 T＝2π
2
＝π，初相φ＝π
3.
(2)令 X＝2x＋π
3
，则 y＝2sin 2x＋π
3 ＝2sin X.
列表：
X －π
6
π
12
π
3
7π
12
5π
6
X 0 π
2 π 3π
2 2π
y＝sin X 0 1 0 －1 0
y＝2sin 2x＋π
3 0 2 0 －2 0
描点连线，得图象如图所示：
(3)将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的1
2
倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 2x
的图象；再将 y＝sin 2x 的图象向左平移π
6
个单位，得到 y＝sin 2 x＋π
6 ＝sin 2x＋π
3 的图象；
再将 y＝sin 2x＋π
3 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y
＝2sin 2x＋π
3 的图象．
变式迁移 1 解 y＝1
2·1＋cos 2x
2
＋ 3
2 sin 2x＋3
2·1－cos 2x
2
＝1＋ 3
2 sin 2x－1
2cos 2x＝1＋sin 2x－π
6 .
(1)(五点法)设 X＝2x－π
6
，
则 x＝1
2X＋ π
12
，令 X＝0，π
2
，π，3π
2
，2π，
于是五点分别为
π
12
，1 ，
π
3
，2 ，
7π
12
，1 ，
5π
6
，0 ，
13π
12
，1 ，描点连线即可得图象，如
下图．
(2)由－π
2
＋2kπ≤2x－π
6
≤π
2
＋2kπ，k∈Z，
得单调增区间为 －π
6
＋kπ，kπ＋π
3 ，k∈Z.
由π
2
＋2kπ≤2x－π
6
≤3π
2
＋2kπ，k∈Z，
得单调减区间为
π
3
＋kπ，kπ＋5π
6 ，k∈Z.
(3)把 y＝sin x 的图象向右平移π
6
个单位；再把横坐标缩短到原来的1
2
倍(纵坐标不变)；最
后把所得图象向上平移 1 个单位即得 y＝sin 2x－π
6 ＋1 的图象．
例 2 解题导引 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的解析式的步骤：
(1)求 A，b.确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－m
2
，b＝M＋m
2
.(2)求ω.确定函数
的周期 T，则ω＝2π
T .(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点
法”的第几个点．
解 由图象可知 A＝2，T＝8.
∴ω＝2π
T
＝2π
8
＝π
4.
方法一 由图象过点(1,2)，
得 2sin
π
4
×1＋φ ＝2，
∴sin
π
4
＋φ ＝1.∵|φ|<π
2
，∴φ＝π
4
，
∴f(x)＝2sin
π
4x＋π
4 .
方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．
∴π
4
×1＋φ＝π
2
，∴φ＝π
4
，
∴f(x)＝2sin
π
4x＋π
4 .
变式迁移 2 解 (1)由题意可得：
A＝2，T
2
＝2π，即2π
ω
＝4π，∴ω＝1
2
，
f(x)＝2sin
1
2x＋φ ，f(0)＝2sin φ＝1，
由|φ|<π
2
，∴φ＝π
6.∴f(x)＝2sin(1
2x＋π
6)．
f(x0)＝2sin
1
2x0＋π
6 ＝2，
所以 1
2x0＋π
6
＝2kπ＋π
2
，x0＝4kπ＋2π
3 (k∈Z)，
又∵x0 是最小的正数，∴x0＝2π
3 .
(2)f(4θ)＝2sin 2θ＋π
6
＝ 3sin 2θ＋cos 2θ，
∵θ∈ 0，π
2 ，cos θ＝1
3
，∴sin θ＝2 2
3
，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－7
9
，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝4 2
9
，
∴f(4θ)＝ 3×4 2
9
－7
9
＝4 6－7
9
.
例 3 解题导引 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模
型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问
题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键
是建模．(2)如何从表格中得到 A、ω、b 的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三
角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型 y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)中参数的确定有
如下结论：①A＝ymax－ymin
2
；②k＝ymax＋ymin
2
；③ω＝2π
T
；④φ由特殊点确定．
解 (1)由表中数据，知周期 T＝12，
∴ω＝2π
T
＝2π
12
＝π
6
，
由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5；
由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝1
2cos π
6t＋1.
(2)由题知，当 y>1 时才可对冲浪者开放，
∴1
2cos π
6t＋1>1，∴cos π
6t>0，
∴2kπ－π
2<π
6t<2kπ＋π
2
，k∈Z，
即 12k－30，依题意得2π
2ω
＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8 分)
(2)由(1)知 f(x)＝ 2
2 sin 2x＋π
4 ＋1
2
，
所以 g(x)＝f(2x)
＝ 2
2 sin 4x＋π
4 ＋1
2.……………………………………………………………………(10 分)
当 0≤x≤ π
16
时，π
4
≤4x＋π
4
≤π
2.
所以 2
2
≤sin 4x＋π
4 ≤1.
因此 1≤g(x)≤1＋ 2
2
，…………………………………………………………………(13 分)
所以 g(x)在此区间内的最小值为 1.…………………………………………………(14 分)
