高三数学总复习学案41

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高三数学总复习学案41

学案41 空间几何体的表面积与体积 导学目标: 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力,会利用所学公式进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力.‎ 自主梳理 ‎1.多面体的表面积 ‎(1)设直棱柱高为h,底面多边形的周长为c,则S直棱柱侧=______.‎ ‎(2)设正n棱锥底面边长为a,底面周长为c,斜高为h′,则S正棱锥侧=____________=____________.‎ ‎(3)设正n棱台下底面边长为a,周长为c,上底面边长为a′,周长为c′,斜高为h′,则 S正棱台侧=__________=____________.‎ ‎(4)设球的半径为R,则S球=____________.‎ ‎2.几何体的体积公式 ‎(1)柱体的体积V柱体=______(其中S为柱体的底面面积,h为高).‎ 特别地,底面半径是r,高是h的圆柱体的体积V圆柱=πr2h.‎ ‎(2)锥体的体积V锥体=________(其中S为锥体的底面面积,h为高).‎ 特别地,底面半径是r,高是h的圆锥的体积V圆锥=πr2h.‎ ‎(3)台体的体积V台体=______________(其中S′,S分别是台体上、下底面的面积,h为高).‎ 特别地,上、下底面的半径分别是r′、r,高是h的圆台的体积V圆台=πh(r2+rr′+r′2).‎ ‎(4)球的体积V球=__________(其中R为球的半径).‎ 自我检测 ‎1.已知两平行平面α,β间的距离为3,P∈α,边长为1的正三角形ABC在平面β内,则三棱锥P—ABC的体积为(  )‎ A. B. C. D. ‎2.(2011·唐山月考)‎ 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,则它的表面积与正方体表面积的比为(  )‎ A.∶3 B.∶2‎ C.∶6 D.∶6‎ ‎3.设三棱柱ABC—A1B‎1C1的体积为V,P,Q分别是侧棱AA1,CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B—APQC的体积为(  )‎ A.V B.V C.V D.V ‎4.(2011·平顶山月考)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(  )‎ A.9π B.10π C.11π D.12π ‎5.(2011·陕西)某几何体的三视图如下,则它的体积是(  )‎ A.8- B.8- C.8-2π D. 探究点一 多面体的表面积及体积 例1 三棱柱的底面是边长为4的正三角形,侧棱长为3,一条侧棱与底面相邻两边都成60°角,求此棱柱的侧面积与体积.‎ 变式迁移1 (2011·烟台月考)已知三棱柱ABC—A1B‎1C1的侧棱与底面边长都等于2,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则三棱柱的侧面面积为________.‎ 探究点二 旋转体的表面积及体积 例2 ‎ 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.‎ 变式迁移2 直三棱柱ABC—A1B‎1C1的各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于________.‎ 探究点三 侧面展开图中的最值问题 例3 如图所示,长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=a,BC=b,CC1=c,并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.‎ 变式迁移3 ‎ ‎(2011·杭州月考)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= .P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是________.‎ ‎1.有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式为基础,充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.‎ ‎2.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供便利.(1)几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.(2)几何体的“补形”‎ ‎:与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体补成锥体研究体积. ‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )‎ A.48 B.32+8 C.48+8 D.80‎ ‎2.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是,则这个三棱柱的体积是(  )‎ A.96 B.‎16‎ C.24 D.48 ‎3.已知正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长为a,长为定值的线段EF在棱AB上移动(EFb>c>0,∴ab>ac>bc>0. ‎ 故最短线路的长为.‎ 变式迁移3 5 解析 将△BCC1沿BC1线折到面A‎1C1B上,如图所示.‎ 连接A‎1C即为CP+PA1的最小值,过点C作CD垂直A‎1C1延长线交于D,△BCC1为等腰直角三角形,‎ ‎∴CD=1,C1D=1,A1D=A‎1C1+C1D=7.‎ ‎∴A‎1C== =5 .‎ 课后练习区 ‎1.C [‎ 由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面是边长为4的正方形;上底面是长为4、宽为2的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4;另两个侧面是矩形,宽为4,长为=.所以S表=42+2×4+×(2+4)×4×2+4××2=48+8.]‎ ‎2.D [由πR3=,∴R=2.∴正三棱柱的高h=4.设其底面边长为a,则·a=2,∴a=4.‎ ‎∴V=×(4)2×4=48.]‎ ‎3.D 4.B ‎5.C [将三视图还原成几何体的直观图如图所示.‎ 它的四个面的面积分别为8,6,10,6,故最大的面积应为10.‎ ‎6.6 解析 取底面中心为O,AF中点为M,连接PO、OM、PM、AO,则PO⊥OM,‎ OM⊥AF,PM⊥AF,‎ ‎∵OA=OP=2,∴OM=,‎ PM==.‎ ‎∴S侧=6××2×=6.‎ ‎7.π 解析 围成圆锥筒的母线长为‎4 cm,‎ 设圆锥的底面半径为r,则2πr=·2π×4,‎ ‎∴r=1,∴圆锥的高h==.‎ ‎∴V圆锥=·πr2·h=π(cm3).‎ ‎8.2πR2‎ 解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为α,则圆柱高为2Rcos α,圆柱底面半径为Rsin α,∴S圆柱侧=2π·Rsin α·2Rcos α=2πR2sin 2α.当sin 2α=1时,S圆柱侧最大为2πR2,此时,S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.‎ 方法二 设圆柱底面半径为r,则其高为2.‎ ‎∴S圆柱侧=2πr·2,‎ S′圆柱侧=4π-.‎ 令S′圆柱侧=0,得r=R.‎ 当00;‎ 当R
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