高三数学备考试题-函数(含答案)+立体几何+平面向量+数列+圆锥曲线
高三数学备考试题
函数(含答案)+立体几何+平面向量+数列+圆锥曲线
高考一轮复习备考试题(附参考答案)
函数
一、填空题
1、（2014 年江苏高考）已知函数 1)( 2 mxxxf ，若对于任意 ]1,[ mmx ，都有
0)( xf 成立，则实数m的取值范围是 ▲ ．
2、（2014 年江苏高考）已知 )(f x 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 )3,0[x 时，
|
2
12|)( 2 xxxf
axf )(y 在区间 ]4,3[ 上有 10 个零点（互不相同），则实数a的取值范围是 ▲ ．
3、（2013 年江苏高考）已知 )(xf 是定义在 R上的奇函数。当 0x 时， xxxf 4)( 2 ，
则不等式 xxf )( 的解集用区间表示为 。
4、（2012 年江苏高考）函数 xxf 6log21)( 的定义域为 ▲ ．
5、（2012 年江苏省高考）设 ( )f x 是定义在R 上且周期为 2 的函数，在区间 [ 1 1] ， 上，
0
1
1 1
( ) 2 0
1
x
x
ax
f x bx
x
≤
≤ ≤
， ，
， ，
其中 a bR， ．若
1 3
2 2
f f
，则 3a b 的值为 ▲ ．
6、（2012 年江苏省 5 分）已知函数 2( ) ( )f x x ax b a b R， 的值域为[0 ) ， ，若关于 x
的不等式 ( )f x c 的解集为 ( 6)m m ， ，则实数 c的值为 ▲ ．
7、（2015 届江苏南京高三 9 月调研）设 f(x)＝x2－3x＋a．若函数 f(x)在区间(1，3)内有零点，
则实数 a 的取值范围为 ▲
8、（2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研）已知函数
2
3 1
( )
x a x
f x
x a x
≤
， ，
， 1，
若 ( )f x 在 R
上为增函数，则实数 a的取值范围是 ▲
9、（2015 届江苏苏州高三 9 月调研）已知函数 2log
1
a xf x
x
为奇函数 ,则实数 a的值
为 ▲
1
10、（南京市 2014 届高三第三次模拟）已知函数 f (x)＝
x，x≥0，
x2，x＜0， ，则关于 x 的不等式 f(x2)
＞f(3－2x)的解集是 ▲
11、（南通市 2014 届高三第三次调研）已知函数 ( )f x 对任意的 xR 满足 ( ) ( )f x f x ，且
当 0x≥ 时， 2( ) 1f x x ax ．若 ( )f x 有 4 个零点，则实数 a的取值范围是 ▲ ．
12、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））函数 1y x 的定义域为 A，函数
lg 2y x 的定义域为 B，则 A B = ▲
13、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知奇函数 ( )f x 是R 上的单调函数，若函
数 2( ) ( )y f x f k x 只有一个零点，则实数 k 的值是 ▲ ．
14、（徐州市 2014 届高三第三次模拟）已知函数 ( )f x 是定义在R 上的奇函数，且当 0x≤ 时，
2( ) 3f x x x ，则不等式 ( 1) 4f x x 的解集是 ▲
15、（徐州市 2014 届高三第三次模拟）已知函数
1( ) ( )
ex
af x a
x
R ．若存在实数m，n，
使得 ( ) 0f x ≥ 的解集恰为 ,m n ，则 a的取值范围是 ▲
16、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模））函数 f(x)＝lnx＋ 1－x的定义域为
▲
17、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
当 0≤x≤1 时，f(x)＝x2，当 x＞0 时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线 y＝kx 与函数 y＝f(x)
的图象恰有 5 个不同的公共点，则实数 k 的值为 ▲
18、（2014 江苏百校联考一）函数
1( ) 2sin( ) , [ 2, 4]
1
f x x x
x
的所有零点之和
为 ．
19、（南京、盐城市 2014 高三第一次模拟）若函数 ( )f x 是定义在 R上的偶函数，且在区间
[0. ) 上是单调增函数.如果实数 t满足
1(ln ) (ln ) 2 (1)f t f f
t
时，那么 t的取值范围是
20 、（ 苏 锡 常 镇 四 市 2014 届 高 三 3 月 调 研 （ 一 ）） 已 知 函 数
2
2
(2 )e , 0,
( )
4 3, 0,
xx x x
f x
x x x
≤
( ) ( ) 2g x f x k ，若函数 ( )g x 恰有两个不同的零点，则实数 k的
取值范围为 ▲
21、（南通市 2014 届高三上学期期末考试）设函数 ( )y f x 是定义域为 R，周期为 2 的周期
函数，且当 1 1x ， 时， 2( ) 1f x x ；已知函数
lg | | 0
( )
1 0
x x
g x
x
， ，
， ．
则函数 ( )f x 和 ( )g x
的图象在区间 5 10 ， 内公共点的个数为 ．
22、（苏州市 2014 届高三 1 月第一次调研）已知
2
2
( 0),
( )
( 0)
x x x
f x
x x x
≥
，则不等式
2( 1) 12f x x 的解集是 ▲
23、（泰州市 2014 届高三上学期期末考试）设函数 ( ) ( )f x x a x a b （ ,a b都是实数）．
则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上）
①对任意实数 ,a b，函数 ( )y f x 在 R上是单调函数；
②存在实数 ,a b，函数 ( )y f x 在 R上不是单调函数；
③对任意实数 ,a b，函数 ( )y f x 的图像都是中心对称图形；
④存在实数 ,a b，使得函数 ( )y f x 的图像不是中心对称图形．
24、（江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考）
设 1
2( )
1
f x
x
=
+
， 1 1( ) [ ( )]n nf x f f x+ = ，且
(0) 1
(0) 2
n
n
n
f
a
f
-
=
+
，则 2014a ▲
25、、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）在用二分法．．．求方程
3 2 1 0x x 的一个近似
解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，则下一步可断定该根所在的区间为
▲ .
26、（江苏省东海县第二中学 2014届高三第三次学情调研）已知函数
ln( ) , ( ) xf x kx g x
x
，
如果关于 x的方程 ( ) ( )f x g x 在区间
1[ , ]e
e
内有两个实数解，那么实数 k 的取值范围是
▲ .
27、（江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研）已知函数
2log , 1
2 , 0 1
x x
f x
f x x
≥
，则
3
21
2f
= ▲
28、（无锡市 2014 届高三上学期期中）定义在 R 上的奇函数 ( )f x ，当 0x 时，
2log ( 1) (0 1)
( )
| 3 | 1 ( 1)
x x
f x
x x
，则函数
1( ) ( )
2
g x f x 的所有零点之和为＿＿＿＿＿。
29、（兴化市 2014 届高三上学期期中） 3．若 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为＿＿＿＿＿
30、（徐州市 2014 届高三上学期期中）已知函数
2
2
log ( 1) ( 0)
( )
2 ( 0)
x x
f x
x x x
，，若函数
( ) ( )g x f x m 有 3 个零点，则实数m的取值范围＿＿＿＿＿。
二、解答题
1、（泰兴市第三高级中学 2015 高三上第一次质检）已知函数 f(x)＝x2＋mx＋n 的图象过点(1，
3)，且 f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于原点对称．
(1) 求 f(x)与 g(x)的解析式；
(2) 若 F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
2、（泰兴市第三高级中学 2015 高三上第一次质检）已知函数 f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4
－2x2.
(1) 求函数 f(x)的定义域；
(2) 判断函数 f(x)的奇偶性；
(3) 求函数 f(x)的值域．
3、已知函数 ]2,0(,2)(
2
x
x
axxxf ，其中常数 a > 0．
(1) 当 a = 4 时，证明函数 f(x)在 ]2,0( 上是减函数；
(2) 求函数 f(x)的最小值．
4、已知函数 2( ) log (4 2 4)x xf x b ， ( )g x x .
（1）当 5b 时，求 ( )f x 的定义域；
（2）若 ( ) ( )f x g x 恒成立，求b的取值范围．
5、已知函数 ( ) 1 1f x x x 。
（1）求函数 ( )f x 的定义域和值域；
（2）设
2( ) ( ) 2 ( )
2
aF x f x f x （ a为实数），求 ( )F x 在 0a 时的最大值 ( )g a ；
（3）对（2）中 )(ag ，若
2 2 2 ( )m tm g a 对 0a 所有的实数 a及 [ 1,1]t 恒成
立，求实数m的取值范围。
6、已知二次函数 2 1f x ax a x a 。
（1）函数 f x 在 , 1 上单调递增，求实数 a的取值范围；
（2）关于 x的不等式
2
f x
x
在 1, 2x 上恒成立，求实数 a的取值范围；
（3）函数 21 1a x
g x f x
x
在 2 , 3 上是增函数，求实数 a的取值范围。
参考答案
一、选择题
1、 )0,
2
2(
【提示】二次函数开口向上，在区间 ]1,[ mm 上始终满足 0)( xf ，只需
0)1(
0)(
mf
mf
即
可，
01)1()1(
01
2
22
mmm
mm
，解得
0
2
3
2
2
2
2
m
m
，则 )0,
2
2(m
2、【答案】 )
2
1,0(
【提示】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找 )(xfy 与 ay 的图象交
点去推出零点，先画出[0,3]上
2
122 xxy 的图像，再将 x轴下方的图象对称到上方，利
用周期为 3，将图象平移至 ]4,3[ ，发现若 )(xf 图象要与 ay 有 10 个不同的交点，则
)
2
1,0(a
3、答案：x＜0 ，则 x ＞0 ，∴ xxxxxf 4)(4)()( 22 ∵ )(xf 是定义在R上
的奇函数
∴ )()( xfxf ∴ xxxf 4)( 2 ∴ xxxf 4)( 2 又∵ 0)0( f
∴
)0(4
0
)0(4
)(
2
2
xxx
xxx
xf ∴
xxx
x
4
0
2
或者
xxx
x
4
0
2
∴ 5x 或者 05 x
∴不等式 xxf )( 的解集用区间表示为 ,50,5
4、 0 6 ， 。
5、【答案】 10 。
【提示】∵ ( )f x 是定义在R 上且周期为 2 的函数，∴ 1 1f f ，即
21=
2
ba
①。
又∵
3 1 1= 1
2 2 2
f f a
，
1 3
2 2
f f
，
∴
1 41=
2 3
ba
②。
联立①②，解得， =2. = 4a b 。∴ 3 = 10a b 。
6、【答案】9。
【提示】由值域为[0 ) ， ，当 2 =0x ax b 时有
2 4 0a b V ，即
2
4
ab ，
∴
22
2 2( )
4 2
a af x x ax b x ax x
。
∴
2
( )
2
af x x c
解得
2
ac x c ，
2 2
a ac x c 。
∵不等式 ( )f x c 的解集为 ( 6)m m ， ，∴ ( ) ( ) 2 6
2 2
a ac c c ，解得
9c 。
7、(0，9
4
] 8、 [ 1,2] 9、1 10、(－∞，－3)∪(1，3)
11、 2, 12、［1，2） 13、
1
4
14、 (4, ) 15、
1(0, )
e
16、(0，1] 17、2 2－2
18、答案：8
提示：设 xt 1 ，则 tx 1 ，原函数可化为
t
ttg 1)sin(2)(
t
t 1sin2 ，其
中 ]3,3[t ，因 )()( tgtg ，故 )(xg 是奇函数，观察函数 ty sin2 与
t
y 1
在
]3,0(t 的图象可知，共有 4 个不同的交点，故在 ]3,3[t 时有 8 个不同的交点，其横坐
标之和为 0，即 08721 tttt ，从而 88721 xxxx
19、
1[ , ]e
e
20、
2
7 3 2 1, {0, }
2 2 e
21、15
22、（－1,2）
23、①③；
24、
20151
2
25、
3 ,2
2
（说明:写成闭区间也算对）
26、 2
1 1[ , )
2e e
27、 1
2
28、 2 1
29、
30、（0，1）
二、解答题
1、解：(1) 因为函数 f(x)满足 f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，
所以图象关于 x＝－1 对称，即－
m
2
＝－1，即 m＝2.
又 f(1)＝1＋m＋n＝3，所以 n＝0，所以 f(x)＝x2＋2x.
又 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于原点对称，
所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)，
所以 g(x)＝－x2＋2x.
(2) 由(1)知，F(x)＝(－x2＋2x)－λ(x2＋2x)＝－(λ＋1)x2＋(2－2λ)x.
当λ＋1≠0 时，F(x)的对称轴为 x＝ 2－2λ
2（λ＋1）
＝
1－λ
λ＋1
，
因为 F(x)在(－1，1]上是增函数，
所以
1＋λ<0，
1－λ
λ＋1
≤－1或
1＋λ>0，
1－λ
λ＋1
≥1，
所以λ<－1 或－1<λ≤0.
当λ＋1＝0，即λ＝－1 时，F(x)＝4x 显然成立．
综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．
2、解：(1) 由
1－x>0，
1＋x>0，
得－1
0，即 f(x1)>f(x2)………………………………………5 分
所以函数 f(x)在 ]2,0( 上是减函数；………………………………………………………6 分
(2) 2)(
x
axxf 22 a ，……………………………………………………7 分
当且仅当 ax 时等号成立，…………………………………………………………8分
当 20 a ，即 40 a 时， )(xf 的最小值为 22 a ，………………………10 分
当 2a ，即 4a 时， )(xf 在 ]2,0( 上单调递减，…………………………………11 分
所以当 2x 时， )(xf 取得最小值为
2
a
，………………………………………………13 分
综上所述：
.4
2
,4022
)( min
aa
aa
xf ………………………………………14 分
4、解：（1）由 4 5 2 4 0x x ………………………………………………3 分
解得 ( )f x 的定义域为 ( ,0) (2, ) ．………………………6 分
（2）由 ( ) ( )f x g x 得 4 2 4 2x x xb ，即
41 2
2
x
xb
……………………9 分
令
4( ) 1 2
2
x
xh x
，则 ( ) 3h x ，………………………………………………12 分
当 3b 时， ( ) ( )f x g x 恒成立．………………………………………………14 分
5、解： (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为[ 1,1] …………2 分
又
2 2( ) 2 2 1 [2,4],f x x 由 ( )f x ≥0 得值域为[ 2, 2] …………4分
（2）因为
2 2( ) ( ) 2 ( ) 1 1 1
2
aF x f x f x a x x x
令 ( ) 1 1t f x x x ，则
2 211 1
2
x t ，
∴ ( ) ( )F x m t a ( 21 1
2
t )+t=
21 , [ 2,2]
2
at t a t …………6分
由题意知 g(a)即为函数
21( ) , [ 2, 2]
2
m t at t a t 的最大值。
注意到直线
1t
a
是抛物线
21( )
2
m t at t a 的对称轴。…………7分
因为 a<0 时,函数 y=m(t), [ 2, 2]t 的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若
1 (0, 2]t
a
，即
2
2
a 则 ( ) ( 2) 2g a m …………8 分
②若
1 ( 2,2]t
a
，即
2 1
2 2
a 则
1 1( ) ( )
2
g a m a
a a
…………10 分
③若
1 (2, )t
a
，即
1 0
2
a 则 ( ) (2) 2g a m a …………11 分
综上有
2,
1( ) ,
2
2,
a
g a a
a
1
2
2 1 ,
2 2
2
2
a
a
a
…………12 分
（3）易得 min ( ) 2g a ， …………14 分
由
2 2 2 ( )m tm g a 对 0a 恒成立，
即要使
2
min2 2 ( ) 2m tm g a 恒成立，…………15 分
2 2 0m tm ，令 22h t mt m ，对所有的 1,1 , 0t h t 成立，
只需
,
02)1(
02)1(
2
2
mmh
mmh
…………17 分
求出 m的取值范围是 2,m 或m=0,或m 2 . …………18 分
6、解：（1）当 0a 时， xxf )( ，不合题意；……………1 分
当 0a 时， f x 在 , 1 上不可能单调递增；……………2 分
当 0a 时，图像对称轴为
a
ax
2
1
，
由条件得 1
2
1
a
a
，得 .1a ……………4 分
（2）设 1)1()()( a
x
xa
x
xfxh ， ……………5 分
当 ]2,1[x 时， ]
2
5,2[1
x
x ， ……………7 分
因为不等式
2
f x
x
在 1, 2x 上恒成立，所以 )(xh 在 ]2,1[x 时的最小值大于或等于 2，
所以，
21
2
5
0a
212
0
aaaa
a
或 ， ……………9 分
解得 1a 。 ……………10 分
（3） a
x
axxg
1)( 2
在 2 , 3 上是增函数，设 32 21 xx ，则 )()( 21 xgxg ，
a
x
axa
x
ax
2
2
2
1
2
1
11
，
21
21
2121 ))((
xx
xx
xxxxa
，……………12 分
因为 32 21 xx ，所以
)(
1
2121 xxxx
a
， ……………14 分
而 )
16
1,
54
1(
)(
1
2121
xxxx
， ……………16 分
所以 .
16
1
a ……………18 分
高考一轮复习备考试题(附参考答案)
立体几何
一、填空题
1、（2014 年江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 21 S,S ，体积分别为 21 V,V ，若它
们的侧面积相等，
4
9
S
S
2
1 ，则
2
1
V
V
▲ ．
2、（2013 年江苏高考）如图，在三棱柱 ABCCBA 111 中， FED ，， 分别是 1AAACAB ，，
的中点，设三棱锥 ADEF 的体积为 1V ，三棱柱 ABCCBA 111 的体积为 2V ，则
21 :VV 。
3、（2012 年江苏高考）如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABCD 中， 3cmAB AD ， 1 2cmAA ，
则四棱锥 1 1A BB D D 的体积为 ▲ cm3．
4、（2015 届江苏南京高三 9 月调研）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，则这
个圆锥的高是 ▲
5、（2015届江苏南通市直中学高三 9月调研）如图，各条棱长均为 2的正三棱柱 1 1 1ABC ABC
中，M 为 1 1AC 的中点，则三棱锥 1M ABC 的
体积为 ▲
6、（2015 届江苏苏州高三 9 月调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的
表面积分别记为 1S 、 2 ,S 则有 1 2:S S ▲
7、（南京市 2014 届高三第三次模拟）已知 m，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两
个平面．下列命题：
①若α⊥β，m⊥α，则 m∥β； ②若 m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α； ④若 m∥α，mβ，则α∥β．
其中所有真命题的序号是 ▲
8、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边 BC 上
的中线 AD = 2，将△ABC 沿 AD 折成 60°的二面角，连结 BC，则三棱锥 C ABD 的体积为 ▲
9、（徐州市 2014 届高三第三次模拟）已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，
则该圆柱的表面积为 ▲
10、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模））表面积为 12π的圆柱，当其体积
最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲
二、解答题
1、（2014 年江苏高考）如图，在三棱锥 P ABC 中，D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点。已知
PA⊥AC，PA=6,BC=8，DF=5.
求证：（1）直线 PA∥平面 DEF;
（2）平面 BDE⊥平面 ABC.
2、（2013 年江苏高考）如图，在三棱锥 ABCS 中，平面 SAB 平面 SBC， BCAB ，
ABAS ，过 A作 SBAF ，垂足为 F ，点 GE， 分别是棱 SCSA， 的中点.
求证：（1）平面 //EFG 平面 ABC； （2） SABC .
3、（2012年江苏高考）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1 1 1 1A B AC ，D E， 分别是棱 1BC CC，
上的点（点D 不同于点C ），且 AD DE F ， 为 1 1BC 的中点．
求证：（1）平面 ADE 平面 1 1BCC B ；
（2）直线 1 //A F 平面 ADE．
4、（2015 届江苏南京高三 9 月调研）如图，已知长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，
CC1＝5，E 是棱 CC1上不同于端点的点，且 CE
→
＝λCC1
→
．
（1） 当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；
（2） 若λ＝2
5
，记二面角 B1－A1B－E 的的大小为θ，求|cosθ|．
A
B
C
S
G
F
E
5、（2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是
矩形， PA CD ．
（1）求证：直线 //AB 平面 PCD；
（2）求证：平面 PAD 平面 PCD．
6、（南京市 2014 届高三第三次模拟）如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，PA＝AB＝ 2，点 M，
N 分别在线段 PA 和 BD 上，BN＝1
3
BD．
（1）若 PM＝
1
3
PA，求证：MN⊥AD；
（2）若二面角 M－BD－A 的大小为
π
4
，求线段 MN 的长度．
7、（南通市 2014 届高三第三次调研）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，
DE⊥平面 ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求证：平面 BCF⊥平面 CDEF．
（第 22题图）
A B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
( 第 16题 )A B
CD
P
C
·
·
P
M
A B
D
N
(第 22 题图)
8、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））
如图，在空间直角坐标系 A xyz 中，已知斜四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是边长为 3 的
正方形，点 B，D，B1分别在 x，y，z 轴上，B1A = 3，P 是侧棱 B1B 上的一点，BP = 2PB1 ．
（1）写出点 C1，P，D1的坐标；
（2）设直线 C1E⊥平面 D1PC，E在平面 ABCD 内，
求点 E的坐标．
9、（徐州市 2014 届高三第三次模拟）
如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中，已知 1CA CB ， 1 2AA ， o90BCA ．
（1）求异面直线 1BA 与 1CB 夹角的余弦值；
（2）求二面角 1B AB C 平面角的余弦值．
10、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模））
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥PB，
BP＝BC，E为 PC 的中点．
（1）求证：AP∥平面 BDE；
（第 22 题图）
A
B
C
A1
B1
C1
P
B C
D
E
A
(第 15 题图)
（2）求证：BE⊥平面 PAC．
参考答案
一、填空题
1、 2
3
2、
24
1
2
1
4
1
3
1
3
13
1
11
11
2
1
121
h
h
S
S
Sh
hS
V
V
V
V
CBAABC
ADEF
棱柱
三棱锥
3、6 4、 3 5、
2 3
3
6、3：2 7、② 8、 9、 10、1
2
二、解答题
1、（1）∵D,E,分别为 PC,AC,的中点
∴DE∥PA
又∵DE 平面 PAC，PA 平面 PAC
∴直线 PA∥平面 DEF
（2）∵E,F 分别为棱 AC,AB 的中点，且
BC=8，由中位线知 EF=4
∵D,E,分别为 PC,AC,的中点，且 PA=6，由中位线知 DE=3，又∵DF=5
∴DF²=EF²+DE²=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵AC EF=E，
AC 平面 ABC，EF 平面 ABC，∴PA⊥平面 ABC，∴DE⊥平面 ABC，∵DE 平面 BDE，
∴平面 BDE⊥平面 ABC
2、证明：（1）∵ ABAS ， SBAF ∴F 分别是 SB 的中点
∵E．F分别是 SA．SB 的中点 ∴EF∥AB
又∵EF平面 ABC, AB平面 ABC ∴EF∥平面 ABC
同理：FG∥平面 ABC
又∵EF FG=F, EF．FG平面 ABC∴平面 //EFG 平面 ABC
（2）∵平面 SAB 平面 SBC
平面 SAB 平面 SBC =BC
AF平面 SAB AF⊥SB
∴AF⊥平面 SBC 又∵BC平面 SBC ∴AF⊥BC
又∵ BCAB , AB AF=A, AB．AF平面 SAB ∴BC⊥平面 SAB 又∵SA平面 SAB∴BC⊥
SA
3、证明：（1）∵ 1 1 1ABC A BC 是直三棱柱，∴ 1CC 平面 ABC。
又∵ AD 平面 ABC，∴ 1CC AD 。
又∵ 1AD DE CC DE ， ， 平面 1 1 1BCC B CC DE E， ，∴ AD 平
面 1 1BCC B 。
又∵ AD 平面 ADE，∴平面 ADE 平面 1 1BCC B 。
（2）∵ 1 1 1 1A B AC ，F 为 1 1BC 的中点，∴ 1 1 1A F BC 。
又∵ 1CC 平面 1 1 1A BC ，且 1A F 平面 1 1 1A BC ，∴ 1 1CC A F 。
又∵ 1 1 1 CC BC ， 平面 1 1BCC B ， 1 1 1 1CC BC C ，∴ 1A F 平面 1 1 1A BC 。
由（1）知， AD 平面 1 1BCC B ，∴ 1A F∥ AD。
又∵ AD 平面 1, ADE A F 平面 ADE，∴直线 1 //A F 平面 ADE
4、解：（1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系．
由题设，知 B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．
因为 CE
→
＝λCC1
→
，所以 E(0，3，5λ)．
从而 EB
→
＝(2，0，－5λ)，EA1
→
＝(2，－3，5－5λ)．…… 2 分
当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，
所以 EB
→
·EA1
→
＜0，即 2×2－5λ(5－5λ)＜0，
解得
1
5
＜λ＜4
5
．
即实数λ的取值范围是(1
5
，
4
5
)． …………………………………… 5 分
（2）当λ＝2
5
时， EB
→
＝(2，0，－2)，EA1
→
＝(2，－3，3)．
设平面 BEA1的一个法向量为 n1＝(x，y，z)，
由
n1· EB
→
＝0，
n1·EA1
→
＝0
得
2x－2z＝0，
2x－3y＋3z＝0，
取 x＝1，得 y＝5
3
，z＝1，
所以平面 BEA1的一个法向量为 n1＝(1，5
3
，1)． ………………………………… 7 分
易知，平面 BA1B1的一个法向量为 n2＝(1，0，0)．
因为 cos< n1，n2>＝
n1·n2
| n1|·| n2|
＝
1
43
9
＝
3 43
43
，
从而|cosθ|＝3 43
43
． …………………………………… 10 分
5、（1）证明:∵ ABCD为矩形，∴ //AB CD． ………………………………………………2
分
又 DC 面 PDC， AB 面
PDC，……………………………………………………4 分
∴ //AB 面
PDC． ……………………………………………………………………7 分
（ 2 ） 证 明 : ∵ ABCD 为 矩 形 , ∴
CD AD , ……………………………………………9 分
又 PA CD, PA AD A ， PA AD ， 平面 PAD ,
∴ CD 平 面
PAD． …………………………………………………………………11 分
又 CD 面 PDC , ∴ 面 PAD 面
PCD ． ………………………………………14 分
6、证明：连接 AC，BD 交于点 O，以 OA 为 x 轴正方向，以 OB 为 y 轴正方向，OP 为 z
轴建立空间直角坐标系．
因为 PA＝AB＝ 2，则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．
（1）由 BN
→
＝
1
3
BD
→
，得 N(0，1
3
，0)，由 PM
→
＝
1
3
PA
→
，得 M(1
3
，0，2
3
)，
所以 MN
→
＝(－1
3
，
1
3
，－
2
3
)， AD
→
＝(－1，－1，0)．
因为 MN
→
· AD
→
＝0．所以 MN⊥AD． ………………………………………4 分
（2）因为 M 在 PA上，可设 PM
→
＝λ PA
→
，得 M(λ，0，1－λ)．
所以 BM
→
＝(λ，－1，1－λ)， BD
→
＝(0，－2，0)．
设平面 MBD 的法向量 n＝(x，y，z)，
由
n· BD
→
＝0，
n· BM
→
＝0，
得
－2y＝0，
λx－y＋(1－λ)z＝0，
其中一组解为 x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取 n＝(λ－1，0，λ)．………………………
8 分
因为平面 ABD 的法向量为 OP
→
＝(0，0，1)，
所以 cosπ
4
＝| n· OP
→
|n|| OP
→
|
|，即
2
2
＝错误!，解得λ＝1
2
，
从而 M(1
2
，0，1
2
)，N(0，1
3
，0)，
所以 MN＝ (1
2
－0)2＋(0－1
3
)2＋(1
2
－0)2＝ 22
6
． ……………………………10
分
7、【证】（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB∥CD，
因为 AB 平面 CDEF，CD 平面 CDEF，
所以 AB∥平面 CDEF．……………………… 4 分
因为 AB 平面 ABFE，平面 ABFE 平面CDEF EF ，
所以 AB∥EF． …………………………… 7
分
（2）因为 DE⊥平面 ABCD， BC 平面 ABCD，
所以 DE⊥BC． …………………………… 9
分
因为 BC⊥CD，CD DE D ， ,CD DE 平面 CDEF，
所以 BC⊥平面 CDEF． …………………………… 12 分
因为 BC平面 BCF，平面 BCF⊥平面 CDEF． …………………………… 14 分
8、
9、如图，以 1, ,CA CB CC
为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz ．
则 (1,0,0)A ， (0,1,0)B ， 1(1,0,2)A ， 1(0,1,2)B ，所以 1 (0,1,2)CB
， ( 1,1,0)AB
，
1 ( 1,1,2)AB
， 1 (1, 1,2)BA
．
（1）因为 1 1
1 1
1 1
3 30cos ,
106 5
CB BACB BA
CB BA
，
所以异面直线 1BA 与 1CB 夹角的余弦值为
30
10
．
…………………………4 分
（2）设平面 1CAB 的法向量为 ( , , )x y zm ，
则
1
1
0,
0,
AB
CB
m
m
即
2 0,
2 0,
x y z
y z
取平面 1CAB 的一个法向量为 (0,2, 1) m ；
x
y
z
（第 22 题图）
A
B
C
A1
B1
C1
所以二面角 1B AB C 平面角的余弦值为
10
5
． …………………………10 分
10、证：（1）设 AC∩BD＝O，连结 OE．
因为 ABCD 为矩形，所以 O 是 AC 的中点．
因为 E是 PC 中点，所以 OE∥AP． ………………………………4 分
因为 AP /平面 BDE，OE 平面 BDE，
所以 AP∥平面 BDE． …………………………6 分
（2）因为平面 PAB⊥平面 ABCD，BC⊥AB，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB，
所以 BC⊥平面 PAB． ………………………8分
因为 AP 平面 PAB，所以 BC⊥PA．
因为 PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB 平面 PBC，
所以 PA⊥平面 PBC． …………………………12 分
因为 BE 平面 PBC，所以 PA⊥BE．
因为 BP＝PC，且 E为 PC 中点，所以 BE⊥PC．
因为 PA∩PC＝P，PA，PC 平面 PAC，
所以 BE⊥平面 PAC． ……………………………14 分
高考一轮复习备考试题(附参考答案)
平面向量
一、填空题
1、（ 2014 年江苏高考）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 5,8 ADAB ，
2,3 BPAPPDCP ，则 ADAB 的值是 ▲ ．
2、（2013 年江苏高考）设 ED， 分别是 ABC 的边 BCAB， 上的点， ABAD
2
1
，
BCBE
3
2
，若 ACABDE 21 （ 21 ， 为实数），则 21 的值为 。
3、（2012 年江苏高考）如图，在矩形 ABCD中， 2 2AB BC ， ，点 E 为 BC 的中点，
点 F在边CD上，若 2AB AF
，则 AE BF
的值是 ▲ ．
4、（2015 届江苏南京高三 9 月调研）已知向量 a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，
则实数λ＝ ▲ ．
5、（2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研）已知△ABC 中，∠C=90°， 3 4CA CB ， ，D E、
分别为边CA CB、 上的点，且 6BD CA
， 8AE CB
，则 AE BD
▲ ．
6、（2015 届江苏苏州高三 9 月调研）如图 , AB是半径为 3 的圆O的直径 , P是圆O上异于
,A B的一点 Q是线段 AP上靠近 A的三等分点 ,且 4,AQ AB
则 BQ BP
的
值为 ▲
7、（南京市 2014 届高三第三次模拟）在 Rt△ABC 中，CA＝CB＝2，M，N 是斜边 AB 上的两
个动点，且 MN＝ 2，则 CM
→
· CN
→
的取值范围为 ▲ ．
8、（南通市 2014 届高三第三次调研）在直角三角形 ABC中，C =90°， 6AC ， 4BC ．若
点D满足 2AD DB
，则 | |CD
▲ ．
9、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知平面内的四点 O，A，B，C 满足 2OA BC
，
3OB CA
，则OC AB
= ▲ ．
10、（徐州市 2014届高三第三次模拟）如图，在△ ABC中，已知
π
3
BAC ， 2AB ， 3AC ，
2DC BD
， 3AE ED
，则 BE
▲ ．
11、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知| OA
→
|＝1，| OB
→
|＝2，∠
AOB＝2π
3
， OC
→
＝
1
2
OA
→
＋
1
4
OB
→
，则 OA
→
与 OC
→
的夹角大小为 ▲
12、（2014 江苏百校联考一）如图， PQ是半径为 1 的圆 A的直径，△ABC 是边长为 1 的正
三角形，则 CQBP 的最大值为
13、（2014 南通二模）在△ABC 中，D是 BC 的中点，AD＝8，BC＝20，则 AB AC
的值为 ▲ ．
14、（苏锡常镇四市 2014 届高三 3 月调研（一））如图，在△ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，
2BG GO
，设CD
∥ AG
，若
1
5
AD AB AC
( )R ，则 的值为 ▲
15、（兴化市 2014 届高三上学期期中）已知在 中， ， ，设
是 的内心，若 ，则 ．
二、解答题
1、（2013 年江苏高考）已知 (cos ,sin ) (cos ,sin )a b
＝ ， ， 0 。
（1）若 | | 2a b
，求证： a b
；（2）设 (0,1)c
，若 a b c
，求 , 的值。
2、（2012 年江苏高考）在 ABC 中，已知 3AB AC BA BC
．
（1）求证： tan 3tanB A ；
（2）若
5cos
5
C ，求 A 的值．
3、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））在△ ABC中，已知
π
6
C ，向量 (sin ,1)Am ，
(1,cos )Bn ，且 m n ．
（1）求 A的值；
（2）若点D在边 BC上，且3BD BC
， 13AD ，求△ ABC的面积．
4、（2014 江苏百校联考一）知 (3, cos( ))a x
， (sin( ), 3)b x
，其中 0 ，函数
( )f x a b
的最小正周期为 .
(1)求 ( )f x 的单调递增区间；
(2)在 ABC 中，角 A， B，C的对边分别为 a，b， c．且 ( ) 3
2
Af ， 3a b ，求
角 A、 B、C的大小
5、（2014 南通二模）在△ABC 中，已知 9 16AB AC AB BC
， ．求：
（1）AB 的值；
（2） sin( )
sin
A B
C
的值．
6、（徐州市 2014 届高三上学期期中）设向量 (2,sin ), (1,cos ),a b
为锐角。
（1）若
13
6
a b
，求 sin cos 的值；
（2）若 / /a b
，求 sin(2 )
3
的值。
参考答案
一、填空题
1、22 2、
2
1
21 3、 2 4、5 5、－14
6、24 7、[3
2
，2] 8、10 9、－5 10、
13
4
11、60°
12、
1
2
13、－36 14、
6
5
15、答案：
提示一：利用夹角相等，则有 ．
提示二：利用角平分线定理，根据相似比求得 ．
二、解答题
1、解：（1）∵ 2|| ba ∴ 2|| 2 ba 即 22
222
bbaaba ，
又∵ 1sincos|| 2222
aa ， 1sincos|| 2222
bb ∴ 222 ba ∴
0ba ∴ ba
（ 2 ） ∵ )1,0()sinsin,cos(cosba ∴
1sinsin
0coscos
即
sin1sin
coscos
两边分别平方再相加得： sin221 ∴
2
1sin ∴
2
1sin ∵ 0
∴
6
1,
6
5
2 、 解 ：（ 1 ） ∵ 3AB AC BA BC
， ∴ cos =3 cosAB AC A BA BC B ， 即
cos =3 cosAC A BC B 。
由正弦定理，得 =
sin sin
AC BC
B A
，∴ sin cos =3sin cosB A A B 。
又 ∵ 0< A B< ， ∴ cos 0 cos 0A> B>， 。 ∴
sin sin=3
cos cos
B A
B A
即
tan 3tanB A 。
（2）∵
5cos 0
5
C ，∴ tan =1A 。∴ =
4
A
。
3、（1）由题意知 sin cos 0A B m n ， ………………………………2 分
又
π
6
C ， πA B C ，所以
5πsin cos( ) 0
6
A A ， ………………………4 分
即
3 1sin cos sin 0
2 2
A A A ，即
πsin( ) 0
6
A ， ……………………………6 分
又
5π0
6
A ，所以
π π 2π( ) ( )
6 6 3
A , ，所以
π 0
6
A ，即
π
6
A ． …………7 分
（2）设 BD x
，由3BD BC
，得 3BC x
，
由（1）知
π
6
A C ，所以 3BA x
，
2π
3
B ，
在△ ABD中，由余弦定理，得 2 2 2 2π( 13) =(3 ) 2 3 cos
3
x x x x ， ……10 分
解得 1x ，所以 3AB BC ， ………………………12 分
所以
1 1 2π 9 3sin 3 3 sin
2 2 3 4ABCS BA BC B Δ ． …………………………14 分
4、解：(1) ( ) 3sin( ) 3 cos( )f x x x 2 3 sin( )
6
x ，
2T
，
故 2 ， ………………3 分
( ) 2 3 sin(2 )
6
f x x
，由 2 2 2 ,
2 6 2
k x k k Z ，
得： ,
6 3
k x k k Z .
所以 ( )f x 的单调递增区间为[ , ]( )
6 3
k k k Z ． ………………6分
(2)因为 ( ) 3
2
Af ，所以
2
1)
6
sin(
A ．
因为 A0 ，所以
6
5
66
A ．所以
3
A ． ………………9 分
因为
B
b
A
a
sinsin
， ba 3 ，所以
2
1sin B . ………………12 分
因为 a b ，所以
3
A ，
6
B ，
2
C . ………………14 分
5、【解】（1）（方法 1）因为 9 16AB AC AB BC
， ， …………… 4 分
所以 9 16 25AB AC AB BC
，即 25AB AC CB
，
亦 即
2
25AB
， 故
5AB ． …………………………… 7 分
（方法 2）设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，
则 由 条 件 得
cos 9 cos 16bc A ac B ， ． …………………………… 3 分
两式相加得 ( cos cos ) 9 16 25c b A a B ，即 2 25c ，故 5AB c ． ………………
7 分
（方法 3）设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，
则 由 条 件 得
cos 9 cos 16bc A ac B ， ． …………………………… 3 分
由余弦定理得 2 2 2 2 2 21 19 16
2 2
b c a c a b ， ，
两 式 相 加 得 2 25c ， 故
5AB c ． …………………………… 7 分
（ 2 ）
sin( ) sin cos cos sin
sin sin
A B A B A B
C C
………………………… 10 分
由 正 弦 定 理 得
sin( ) cos cos
sin
A B a B b A
C c
2 2
cos cos 16 9 7
25
ac B bc A
c c
． ………… 14 分
6、解：（1）因为 a·b =2 + sinθcosθ = 13
6
, 所以 sinθcosθ = 1
6
， ……2 分
所以（sinθ +cosθ）2 = 1+2sinθcosθ = 3
4
．又因为θ为锐角，所以 sinθ + cosθ = 2 3
3
…6 分
（2）因为 a∥b，所以 tanθ = 2， ……8 分
所以 sin2θ = 2sinθcosθ = 2sinθcosθ
sin2θ+cos2θ
= 2tanθ
tan2θ+1
= 4
5
， ……10 分
cos2θ = cos2θ-sin2θ = cos2θ-sin2θ
sin2θ+cos2θ
= 1-tan2θ
tan2θ+1
= —
3
5
． ……12 分
所以 sin(2θ+ π
3
) = 1
2
sin2θ + 3
2
cos2θ = 1
2
×4
5
+ 3
2
×(-3
5
) = 4-3 3
10
． ……14 分
高考一轮复习备考试题(附参考答案)
数列
一、填空题
1、（2014 年江苏高考）在各项均为正数的等比数列 }{ na 中，若 12 a ， 268 2aaa ，则 6a
的值是 ▲
2、（ 2013 年江苏高考）在正项等比数列 }{ na 中，
2
1
5 a ， 376 aa ，则满足
nn aaaaaa 2121 的最大正整数 n 的值为 。
3、（2012 年江苏高考）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 3 为公比的等比数列，
若从这 10个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是 ▲ ．
4、（2015 届江苏南京高三 9 月调研）记数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n
≥2，n∈N*)，则 Sn＝ ▲
5、（2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研）已知等比数列 { }na 的前 n项和为 nS ，且
1 3 2 4 41 2a a a a S ， ，则数列{ }na 的公比 q为 ▲
6、（2015 届江苏苏州高三 9 月调研）已知等比数列 na 的各项均为正数 , 3 6
14, ,
2
a a 则
4 5a a ▲
7、（南京市 2014 届高三第三次模拟）已知数列{an}满足 an＝an－1－an－2(n≥3，n∈N*)，它的
前 n 项和为 Sn．若 S9＝6，S10＝5，则 a1的值为 ▲
8、（南通市 2014 届高三第三次调研）设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若 1 2a a ，
1 2b b ，且 2 ( 1,2,3)i ib a i ，则数列{bn}的公比为 ▲ ．
9、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，a1 = 1，
S3 = 6，则 S6 = ▲
10、（徐州市 2014 届高三第三次模拟）在等比数列 na 中，已知 1 1a ， 4 8a ．设 3nS 为
该数列的前3n项和， nT 为数列 3
na 的前 n项和．若 3n nS tT ，则实数 t的值为 ▲
11、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，
且 a1，a3，a7成等比数列，则
a1
d
的值为 ▲
二、解答题
1、（2014 年江苏高考）设数列{ }的前 n 项和为 .若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,
使得 ，则称{ }是“H 数列。”
（1）若数列{ }的前 n 项和 = （n ），证明：{ }是“H 数列”；
（2）设数列{ }是等差数列，其首项 =1.公差 d 0.若{ }是“H 数列”，求 d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列{ }，总存在两个“H 数列” { }
和{ }，使得 = （n ）成立。
2、（2013 年江苏高考）设 }{ na 是首项为 a，公差为 d 的等差数列 )0( d ， nS 是其前 n项
和。记
cn
nSb n
n
2 ，
*Nn ，其中 c为实数。
（1）若 0c ，且 421 bbb ，， 成等比数列，证明： knk SnS 2 （
*, Nnk ）；
（2）若 }{ nb 是等差数列，证明： 0c 。
3、（2012 年江苏高考）已知各项均为正数的两个数列{ }na 和{ }nb 满足：
221
nn
nn
n
ba
ba
a
，
*Nn ，
（1）设
n
n
n a
b
b 11 ， *Nn ，求证：数列
2
n
n
b
a
是等差数列；
（2）设
n
n
n a
b
b 21 ， *Nn ，且{ }na 是等比数列，求 1a 和 1b 的值．
4、（2015 届江苏南京高三 9 月调研）已知{an}是等差数列，其前 n项的和为 Sn， {bn}是等比
数列，且 a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，
S4＋b4＝30．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和．
5、（2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研）已知无穷数列{ }na 满足： 1 1a ， 2 1 32a a a ，
且对于任意 *nN ，都有 0na ， 2
1 2 4n n na a a ．
（1）求 2 3 4, ,a a a 的值；
（2）求数列{ }na 的通项公式．
6、（南京市 2014 届高三第三次模拟）已知 a，b 是不相等的正数，在 a，b 之间分别插入 m
个正数 a1，a2，…，am和正数 b1，b2，…，
bm，使 a，a1，a2，…，am，b 是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b 是等比数列．
（1）若 m＝5，a3
b3
＝
5
4
，求
b
a
的值；
（2）若 b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在 n (n∈N*，6≤n≤m)使得 an－5＝bn，求λ的最小值
及此时 m 的值；
（3）求证：an＞bn(n∈N*，n≤m)．
7、（南通市 2014 届高三第三次调研）各项均为正数的数列{an}中，设 1 2n nS a a a ，
1 2
1 1 1
n
n
T
a a a
，
且 (2 )(1 ) 2n nS T ， *nN ．
（1）设 2n nb S ，证明数列{bn}是等比数列；
（2）设 1
2n nc na ，求集合 *, , | 2 , , , ,m r km k r c c c m k r m k r N ．
8、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二））已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}
的前 n项和为 Sn，满足：a1 = 1，
1
1 13 1nn
n n n
n
a
S S a
a
（ *nN ）．
（1）若λ = 0，求数列{an}的通项公式；
（2）若 1
1
2n na a 对一切 *nN 恒成立，求实数λ的取值范围．
9、（徐州市 2014 届高三第三次模拟）已知数列 na ， nb 满足 1 3a ， 2n na b ，
1
2( )
1n n n
n
b a b
a
， *nN ．
（1）求证：数列
1{ }
nb
是等差数列，并求数列 nb 的通项公式；
（2）设数列 nc 满足 2 5n nc a ，对于任意给定的正整数 p，是否存在正整数 q，
r ( p q r )，使得
1
pc
，
1
qc
，
1
rc
成等差数列？若存在，试用 p表示 q， r；若
不存在，说明理由．
10、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知数列{an}的各项都为正数，且
对任意 n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，
a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．
（1）若 a2＝1，a5＝3，求 a1的值；
（2）设 a1＜a2，求证：对任意 n∈N*，且 n≥2，都有
an＋1
an
＜
a2
a1
．
参考答案
一、填空题
1、4 2、12 3、
3
5
4、2－2n－1 5、
1
3
6、3 7、1 8、 3 2 2 9、39 10、7 11、2
二、解答题
1、（1）证明：∵ = ，∴ = = （n ），又 = =2= ，∴
（n ）。∴存在 m=n+1 使得
（2） =1+（n-1）d ，若{ }是“H 数列”则对任意的正整数 n,总存在正整数 m,
使得 。 =1+（m-1）d
成立。化简得 m= +1+ ，且 d 0
又 m ， ， d ，且 为整数。
（3）证明：假设成立且设 都为等差数列，则
n + = +（ -1） ， = + +1，
∴ = （ ）同理 = （ ） 取 = =k
由题 = = +（ -1） + +（ -1）
=（ ）+（n-1）（ ）=（n+k-1） ）
可得{ }为等差数列。即可构造出两个等差数列{ }
和{ }同时也是“H 数列”满足条件。
2、证明：∵ }{ na 是首项为 a，公差为 d 的等差数列 )0( d ， nS 是其前 n项和
∴ dnnnaSn 2
)1(
（1）∵ 0c ∴ dna
n
S
b n
n 2
1
∵ 421 bbb ，， 成等比数列 ∴ 41
2
2 bbb ∴ )
2
3()
2
1( 2 daada
∴ 0
4
1
2
1 2 dad ∴ 0)
2
1(
2
1
dad ∵ 0d ∴ da
2
1
∴ ad 2
∴ anannnadnnnaSn
22
2
)1(
2
)1(
∴左边= aknankSnk
222)( 右边= aknSn k
222
∴左边=右边∴原式成立
（2）∵ }{ nb 是等差数列∴设公差为 1d ，∴ 11 )1( dnbbn 带入
cn
nSb n
n
2 得：
11 )1( dnb
cn
nSn
2 ∴ )()
2
1()
2
1( 111
2
11
3
1 bdcncdndadbndd 对
Nn 恒成立
∴
0)(
0
0
2
1
0
2
1
11
1
11
1
bdc
cd
dadb
dd
由①式得： dd
2
1
1 ∵ 0d ∴ 01 d
由③式得： 0c
法二：证：（1）若 0c ，则 dnaan )1( ，
2
]2)1[( adnnSn
，
2
2)1( adnbn
．
当 421 bbb ，， 成等比数列， 41
2
2 bbb ，
即：
2
3
2
2 daada ，得： add 22 ，又 0d ，故 ad 2 ．
由此： anSn
2 ， aknankSnk
222)( ， aknSn k
222 ．
故： knk SnS 2 （
*, Nnk ）．
（2）
cn
adnn
cn
nS
b n
n
2
2
2
2
2)1(
，
cn
adncadncadnn
2
2
2
2)1(
2
2)1(
2
2)1(
cn
adncadn
2
2
2)1(
2
2)1(
． (※)
若 }{ nb 是等差数列，则 BnAnbn 型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有： 02
2)1(
2
cn
adnc
，即 0
2
2)1(
adnc ，而
2
2)1( adn
≠0，
故 0c ．
经检验，当 0c 时 }{ nb 是等差数列．
3、解：（1）∵
n
n
n a
b
b 11 ，∴ 1
1 2 2 2
=
1
n n n
n
n n n
n
a b ba
a b b
a
。
∴
2
1
1
1n n
n n
b b
a a
。∴
2
2 2 2 2
1
1
1 1 *n n n n
n n n n
b b b b n N
a a a a
。
∴数列
2
n
n
b
a
是以 1 为公差的等差数列。
（2）∵ 0 0n na > b >， ，∴
2
22 2
2
n n
n n n n
a b
a b < a b
。
∴ 1 2 2
1 2n n
n
n n
a b< a
a b
。（﹡）
设等比数列{ }na 的公比为 q，由 0na > 知 0q > ，下面用反证法证明 =1q
若 1,q > 则 2
1 2= 2aa < a
q
，∴当
1
2logqn>
a
时， 1 1 2n
na a q > ，与（﹡）
矛盾。
若 0 1,< q< 则 2
1 2= 1aa > a >
q
，∴当
1
1logqn>
a
时， 1 1 1n
na a q < ，与（﹡）
矛盾。
∴综上所述， =1q 。∴ 1 *na a n N ，∴ 11 2< a 。
又∵ 1
1
22 =n
n n
n
bb b
a a *n N ，∴{ }nb 是公比是
1
2
a
的等比数列。
若 1 2a ，则
1
2 1>
a
，于是 1 2 3b y >， ， ， ， ， 。
∴
2
221
2 21
1 1 1 2
1 1
2 21 2 2 1=0 =2
2= 1
x m my m y my y
mmy x
。
∴ 2 22
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2
2 1 12 2= 1 0 = = 1
2 2
m m mm mAF x y my y m
m m
。①
同理，
2 2
2 2
2 1 1
=
2
m m m
BF
m
。②
（i）由①②得，
2
1 2 2
2 1
2
m mAF BF
m
。解
2
2
2 1 6=
2 2
m m
m
得 2m =2。
∵注意到 0m> ，∴ = 2m 。
∴直线 1AF的斜率为
1 2=
2m
。
（ ii ） 证 明 ： ∵ 1AF ∥ 2BF ， ∴ 2
1 1
BFPB
PF AF
， 即
2 1 2 1
1 1 1 1
1 1BF PB PF BF AFPB
PF AF PF AF
。
∴ 1
1 1
1 2
= AFPF BF
AF BF
。
由点 B在椭圆上知， 1 2 2 2BF BF ，∴ 1
1 2
1 2
= 2 2AFPF BF
AF BF
。
同理。 2
2 1
1 2
= 2 2BFPF AF
AF BF
。
∴ 1 2 2
1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
2+ = 2 2 2 2 2 2AF BF AF BFPF PF BF AF
AF BF AF BF AF BF
由①②得，
2
1 2
2 2 1
=
2
m
AF BF
m
，
2
2
1=
2
mAF BF
m
，
∴ 1 2
2 3+ =2 2 = 2
2 2
PF PF 。
∴ 1 2PF PF 是定值。
3、解：（1）记椭圆 C 的半焦距为 c．
由题意，得 b＝1，c
a
＝
3
2
，c2＝a2＋b2，
解得 a＝2，b＝1． ……………………………………………… 4
分
（2）由（1）知，椭圆 C 的方程为
x2
4
＋y2＝1，圆 C1的方程为 x2＋y2＝5．
显然直线 l 的斜率存在．
设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，即 kx－y＋m＝0． …………………………………… 6
分
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，
故方程组
y＝kx＋m，
x2
4
＋y2＝1 （*） 有且只有一组解．
由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
从而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．
化简，得 m2＝1＋4k2．① ………………………………………… 10
分
因为直线 l 被圆 x2＋y2＝5 所截得的弦长为 2 2，
所以圆心到直线 l 的距离 d＝ 5－2＝ 3．
即
|m|
k2＋1
＝ 3． ② ………………………………………
14 分
由①②，解得 k2＝2，m2＝9．
因为m＞0，所以m＝3． ……………………………………… 16
分
4、解：（1）由题设知
6
3
e ，
∴
2 2 2 2
2
2 2 2
2 6 2
9 3
c a b ae
a a a
． …………………………………………………3 分
解得 2 6a ．
∴ 椭 圆 C 的 方 程 为
2 2
1
6 2
x y
． ……………………………………………………6 分
（2）圆 2 2: ( 2) 1E x y 的圆心为 (0,2)E ，点Q在圆 E上，
∴ 1PQ EP EQ EP ≤ （当且仅当直线 PQ过点 E 时取等号）．……………………
9 分
设 0 0( , )P x y 是椭圆C上的任意一点，
则
2 2
0 0 1
6 2
x y
，即 2 2
0 06 3x y ．
∴ 2 2 2 2
0 0 0= +( 2) 2( 1) 12EP x y y ． ………………………………………………
13 分
因为 0 2, 2y ，所以当 0 1y 时， 2EP 取得最大值 12，即 2 3 1PQ ≤ .
所以 PQ的最大值为 2 3+1． ……………………………………………16 分
5、解：（1）由条件得
1
a2
＋
1
b2
＝1，且 c2＝2b2，所以 a2＝3b2，解得 b2＝4
3
，a2＝4．
所以椭圆方程为：
x2
4
＋
3y2
4
＝1． …………………3 分
（2）设 l1方程为 y＋1＝k(x＋1)，
联立
y＝kx＋k－1，
x2＋3y2＝4， 消去 y得(1＋3k2)x2＋6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0．
因为 P 为（－1，1），解得 M（
－3k2＋6k＋1
1＋3k2
，
3k2＋2k－1
1＋3k2
）．………………………5 分
当 k≠0 时，用－
1
k
代替 k，得 N（
k2－6k－3
k2＋3
，
－k2－2k＋3
k2＋3
）． ………………………7 分
将 k＝－1 代入，得 M（－2，0），N（1，1）．
因为 P（－1，－1），所以 PM＝ 2，PN＝2 2，
所以△PMN 的面积为
1
2
× 2×2 2＝2． ………………………9 分
（3）解法一：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
x12＋3y12＝4，
x22＋3y22＝4，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为线段 MN 的中点在 x 轴上，所以 y1＋y2＝0，从而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0．………
12 分
若 x1＋x2＝0，则 N(－x１，－y１)．
因为 PM⊥PN，所以PM
→
·PN
→
＝0，得 x12＋y12＝2．
又因为 x12＋3y12＝4，所以解得 x1＝±1，所以 M(－1，1)，N(1，－1)或 M(1，－1)，
N(－1， 1)．
所以直线 MN 的方程为 y＝－x． ……………14 分
若 x1－x2＝0，则 N（x1，－y1），
因为 PM⊥PN，所以PM
→
·PN
→
＝0，得 y12＝(x1＋1)2＋1．
又因为 x12＋3y12＝4，所以解得 x1＝－
1
2
或－1，
经检验：x＝－
1
2
满足条件，x＝－1 不满足条件．
综上，直线 MN 的方程为 x＋y＝0或 x＝－
1
2
． ……………………16 分
解法二：由（2）知，当 k≠0 时，因为线段 MN 的中点在 x 轴上，所以
3k2＋2k－1
1＋3k2
＝
－
－k2－2k＋3
k2＋3
，
化简得 4k (k2－4k－1)＝0，解得 k＝2± 5． …………………………12 分
若 k＝2＋ 5，则 M（－
1
2
，
5
2
），N（－
1
2
，－
5
2
），此时直线 MN 的方程为 x＝－
1
2
．
若 k＝2－ 5，则 M（－
1
2
，－
5
2
），N（－
1
2
，
5
2
），此时直线 MN 的方程为 x＝－
1
2
．…
14 分
当 k＝0 时，M（1，－1），N（－1，1），满足题意，此时直线 MN 的方程为 x＋y＝0．
综上，直线 MN 的方程为 x＝－
1
2
或 x＋y＝0． …………………16 分
6、【解】（1）由题意知， 1
2
ce a ， 7 2CD a ，
所以 2 2 2 24 , 3a c b c ． ……………………………2 分
因为点 7 4( , )
2
cc 在椭圆上，即
2
2
2 2
7 4( )2 1
4 3
c
c
c c
，
所以 1c ．
所以椭圆的方程为
22
14 3
yx ． ……………………………6 分
（2）① 当两条弦中一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知 7AB CD ； ……………………………7 分
② 当两弦斜率均存在且不为 0 时，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，
且设直线 AB的方程为 ( 1)y k x ，
则直线CD的方程为 1 ( 1)y xk ．
将直线 AB的方程代入椭圆方程中，并整理得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k ，
所以
2 2
1 2
4 6 1
3 4
k kx
k
，
2 2
2 2
4 6 1
3 4
k kx
k
，
所以
2
2
1 2 2
12( 1)1 | |
3 4
kAB k x x
k
． ……………………………10 分
同理，
22
2
2
112( 1) 12( 1)
4 3 43
kkCD
k
k
．
所以
2 2 2 2
2 2 2 2
12( 1) 12( 1) 84( 1)
3 4 3 4 (3 4 )(3 4)
k k kAB CD
k k k k
， ………………………12
分
令 2 1t k ，则 1t ， 23 4 4 1k t ， 23 4 3 1k t ，
设 2
2 2
(4 1)(3 1) 1 1 1 1 49( ) 12 ( )2 4
t tf t t tt t
，
因为 1t ，所以 1 (0,1)t
，
所以 49( ) (12, ]
4
f t ，
所以 84 48[ ,7)
( ) 7
AB CD
f t
．
综合①与②可知，AB CD 的取值范围是 48[ ,7]7
． ……………………………16 分
7、
8．（1）由题意知， 2 (0,1)B ， 1( 3,0)A ，
所以 1b ， 3a ，所以椭圆C 的方程为
2
2 1
3
x y ， ………………………2 分
易得圆心
3( ,0)
3
M ， 1
2 3
3
AM ，所以圆M 的方程为 2 23 4( )
3 3
x y ．…4 分
（2）证明：设直线 1B D的方程为
31( )
3
y kx k ，
与直线 1 2AB 的方程
3 1
3
y x 联立，解得点
2 3 3 1( , )
3 1 3 1
kE
k k
， ……………6 分
联立 2
2
1
1
3
y kx
x y
，消去 y并整理得， 2 2(1+3 ) 6 0k x kx ，解得点
2
2 2
6 3 1( , )
3 1 3 1
k kG
k k
，
……………9 分
（i）
22
1
2 2
1
6
3 3 3 1 13 1 1 1 23 1 3 12 3 ( 3 1) 2
( 3 1)3 1
G
E
k
xGB k k kk
EB x k k k
kk
1 2 11
22 2 2
≤ ，当且仅当
6 3
3
k
时，取“=”，
所以 1
1
GB
EB
的最大值为
2 1
2
． …………………………12 分
（ii）直线 2B G的方程为
2
2
2
3 1 1 13 1 1 16 3
3 1
k
ky x xk k
k
，
与直线 1 1A B 的方程
3 1
3
y x 联立，解得点
6 3 1( , )
3 1 3 1
k kF
k k
， ……14 分
所以 E 、 F两点的横坐标之和为
2 3 6+ 2 3
3 1 3 1
k
k k
．
故 E、 F 两点的横坐标之和为定值，该定值为 2 3 ． …………………16 分
9、（1）解：由题意得
2c＝2，
a2
c
＝2， 解得 c＝1，a2＝2，所以 b2＝a2－c2＝1．
所以椭圆的方程为
x2
2
＋y2＝1． ……………………………2
分
（2）因为 P(0，1)，F1(－1，0)，所以 PF1的方程为 x－y＋1＝0．
由
x＋y＋1＝0，
x2
2
＋y2＝1， 解得
x＝0，
y＝1，或
x＝－
4
3
，
y＝－
1
3
，
所以点 Q 的坐标为(－4
3
，－
1
3
)． ……………
4 分
解法一：因为 kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ………………6 分
因为 QF2的中点为(－1
6
，－
1
6
)，QF2＝
5 2
3
，
所以圆的方程为(x＋1
6
)2＋(y＋1
6
)2＝25
18
． ……………8 分
解法二：设过 P，Q，F2三点的圆为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
1＋E＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
17
9
－
4
3
D－1
3
E＋F＝0，
解得
D＝1
3
，
E＝1
3
，
F＝－
4
3
．
所以圆的方程为 x2＋y2＋1
3
x＋1
3
y－4
3
＝0． ………………8 分
（3）解法一：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P
→
＝(x1＋1，y1)，QF1
→
＝(－1－x2，－y2)．
因为F1P
→
＝λQF1
→
，所以
x1＋1＝λ(－1－x2)，
y1＝－λy2， 即
x1＝－1－λ－λx2，
y1＝－λy2，
所以
(－1－λ－λx2)2
2
＋λ2y22＝1，
x22
2
＋y22＝1， 解得 x2＝
1－3λ
2λ
． ………………………………
12 分
所以OP
→
·OQ
→
＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22＝－
λ
2
x22－(1＋λ)x2－λ
＝－
λ
2
(
1－3λ
2λ
)2－(1＋λ)·1－3λ
2λ
－λ＝7
4
－
5
8
(λ＋1
λ
) ． ………………………………
14 分
因为λ∈[1
2
，2]，所以λ＋1
λ
≥2 λ·1
λ
＝2，当且仅当λ＝1
λ
，即λ＝1 时，取等号．
所以OP
→
·OQ
→
≤
1
2
，即OP
→
·OQ
→
最大值为
1
2
． …………………………………16
分
解法二：当 PQ 斜率不存在时，
在
x2
2
＋y2＝1 中，令 x＝－1 得 y＝±
2
2
．
所 以
2 2 11 ( 1) ( )
2 2 2
OP OQ
， 此 时
11 ,2
2
…………………………2
当 PQ 斜率存在时，设为 k，则 PQ 的方程是 y＝k(x＋1)，
由
y＝k(x＋1)，
x2
2
＋y2＝1． 得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
韦达定理
2 2
1 2 1 22 2
4 2 2= =
1 2 1 2
k kx x x x
k k
， ………………………………………4
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，
则
2
1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1)OP OQ x x y y x x k x x
2 2 2
1 2 1 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2
2
( 1) ( )
2 2 4( 1)
1 2 1 2
2 6
1 2
1 5 1
2 2(1 2 ) 2
k x x k x x k
k kk k k
k k
k
k
k
分
。
OP OQ
的最大值为
1
2
，此时
11 ,2
2
………………………………8
10、【解】（1）由题意得
2 2
2 4 2
2 2
3
ab
ab
a b
，
．
又 0a b ，解得 2 8a ， 2 1b ．
因 此 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为
2
2 1
8
x y ． ………………………… 4 分
（2）①设 ( )M x y， ， ( )A m n， ，则由题设知： 2OM OA
， 0OA OM
．
即
2 2 2 24( )
0
x y m n
mx ny
，
，
解 得
2 2
2 2
1
4
1
4
m y
n x
，
．
………………………8 分
因为点 ( )A m n， 在椭圆 C2上，所以
2
2 1
8
m n ，
即
2
22 1
8 2
y
x ，亦即
2 2
1
4 32
x y
．
所 以 点 M 的 轨 迹 方 程 为
2 2
1
4 32
x y
． ………………………10 分
②（方法 1）设 ( )M x y， ，则 ( )( 0)A y x R， ， ，
因为点 A 在椭圆 C2上，所以 2 2 2( 8 ) 8y x ，即 2 2
2
88y x
（i）
又 2 28 8x y （ii）
（i）+（ii）得 2 2
2
8 11
9
x y
， ………………………
13 分
所以 2 2 8 1 16| | ( ) | |
9 9AMBS OM OA x y
≥ .
当且仅当 1 （即 1ABk ）时， min
16
9AMBS . ………………………
16 分
（方法 2）假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为 y＝kx(k≠0)．
解方程组
2
2 1
8
x y
y kx
，
，
得 2
2
8
1 8Ax k
，
2
2
2
8
1 8A
ky
k
，
所以
2 2
2 2 2
2 2 2
8 8 8(1 )
1 8 1 8 1 8A A
k kOA x y
k k k
，
2
2 2
2
32(1 )4
1 8
kAB OA
k
.
又
2
2 1
8
1
x y
y x
k
，
，
解得
2
2
2
8
+8M
kx
k
， 2
2
8
+8My k
，所以
2
2
2
8(1 )
+8
kOM
k
．…………… 12
分
（解法 1）由于 2 2 21
4AMBS AB OM △
2 2
2 2
1 32(1 ) 8(1 )
4 1 8 +8
k k
k k
2 2
2 2
64(1 )
(1 8 )( +8)
k
k k
2 2
22 2
64(1 )
1 8 +8
2
k
k k
≥
2 2
2 2
64(1 ) 256
81 81(1 )4
k
k
，
当且仅当 2 21 8 8k k 时等号成立，即 k＝±1 时等号成立，
此时△AMB 面积的最小值是 S△AMB＝
16
9
． ……………
15 分
当 k＝0，S△AMB
1 164 2 1 2 22 9 ；
当 k 不存在时，S△AMB
1 162 2 2 2 22 9 ．
综上所述，△AMB 面积的最小值为 16
9
． ……………
16 分
（解法 2）因为 2 22 2
2 2
1 1 1 1
8(1 ) 8(1 )
1 8 +8
k kOA OM
k k
2 2
2
1 8 +8 9
8(1 ) 8
k k
k
，
又 2 2
1 1 2
OA OM OA OM
≥ ，于是
16
9
OA OM ≥ ，
当且仅当 2 21 8 8k k 时等号成立，即 k＝±1 时等号成立．（后同方法 1）
