2020_2021学年新教材高中数学第九章统计9

2020_2021学年新教材高中数学第九章统计9

9 . 1 . 2 　 分层随机抽样 　 9 . 1 . 3 　 获取数据的途径 课标阐释 思维脉络 1 . 了解分层随机抽样的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 掌握分层随机抽样的一般步骤和相关的数据计算 . ( 数学运算 ) 3 . 理解简单随机抽样与分层随机抽样的异同 . ( 逻辑推理 ) 4 . 了解数据获取的基本途径 . ( 数学抽象 ) 激趣诱思 知识点拨 盲人摸象是一个很有名的典故 , 讲的是有四个盲人很想知道大象是什么样子 , 于是四个人就去摸大象 . 在庞大的大象面前 , 每个人只摸了自己前面的一部分 , 由于摸的部位不同 , 每个人都得出了与别人不同的结论 , 也就分别得到了对大象的四种形象 . 四个人争得面红耳赤 , 不可开交 , 这时一个过路人给他们指点了一下 , 要他们每个人按一定的间隔从左到右、从上到下去摸大象 , 结果每个人都得到了对大象正确的形象 , 你知道这是一种什么方法吗 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、分层随机抽样 1 . 分层随机抽样的定义 一般地 , 按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体 , 每个个体属于且仅属于一个子总体 , 在每个子总体中独立地进行简单随机抽样 , 再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本 , 这样的抽样方法称为分层随机抽样 , 每一个子总体称为 层 . 在分层随机抽样中 , 如果每层样本量都与层的大小成比例 , 那么称这种样本量的分配方式为 比例分配 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 分层随机抽样中重要的关系式 在分层随机抽样中 , 如果层数分为 2 层 , 第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为 M 和 N , 抽取的样本量分别为 m 和 n. 我们用 X 1 , X 2 ,…, X M 表示第 1 层各个个体的变量值 , 用 x 1 , x 2 ,…, x m 表示第 1 层样本的各个个体的变量值 ; 用 Y 1 , Y 2 ,…, Y N 表示第 2 层各个个体的变量值 , 用 y 1 , y 2 ,…, y n 表示第 2 层样本的各个个体的变量值 , 则第 1 层的总体平均数和样本平均数分别为 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微思考 某地区有高中生 2 400 人 , 初中生 10 900 人 , 小学生 11 000 人 . 当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因 , 要从本地区的中小学生中抽取 1% 的学生进行调查 , 为了抽样方便 , 能不能只从小学生或初中生或高中生中抽取中小学生总数的 1%? 你认为应当怎样获取样本才更为合理 ? 提示 : 不能 , 因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异 , 为了使样本具有较好的代表性 , 应该分高中、初中、小学三个层次按人数比例进行分层随机抽样 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异 , 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查 , 则最合理的抽样方法是 　　　　　 .  答案 : 分层 随机抽样 激趣诱思 知识点拨 (2) 某校高中生共有 900 人 , 其中高一年级 300 人 , 高二年级 200 人 , 高三年级 400 人 , 现采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为 45 的样本 , 则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 　　　　   、 　　　　   、 　　　　   .  答案 : 15 　 10 　 20 激趣诱思 知识点拨 知识点二、获取数据的途径 获取数据的途径 激趣诱思 知识点拨 微思考 下图是国家对某沙漠地区植树面积计划的统计图 . (1) 图中的树高表示什么 ? 从图中能获得哪些信息 ? (2) 各年份约种树多少万亩 ? (3) 若每人每年平均植树 10 亩 , 在各时间段需要多少人 ? 激趣诱思 知识点拨 提示 : (1) 树高表示植树亩数 , 从图上看 , 植树面积一年比一年多 . (2)2015 年种树约 50 万亩 ,2016 年种树约 75 万亩 ,2017 年种树约 100 万亩 ,2018 年种树约 150 万亩 ,2019 年种树约 200 万亩 . (3)2015 年需 5 万人 ,2016 年需 7 . 5 万人 ,2017 年需 10 万人 ,2018 年需 15 万人 ,2019 年需 20 万人 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分层随机抽样的概念 例 1 某校有 1 700 名高一学生 ,1 400 名高二学生 ,1 100 名高三学生 . 高一数学兴趣小组欲采用分层随机抽样的方法在全校抽取 42 名学生进行某项调查 , 则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 高一学生被抽到的可能性最大 B. 高三学生被抽到的可能性最大 C. 高三学生被抽到的可能性最小 D. 每名学生被抽到的可能性相等 解析 : 在分层随机抽样中 , 每个个体被抽到的可能性相等 . 故每名学生被抽到的可能性相等 , 故选 D . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例 2 (1) 从 10 台电冰箱中抽取 3 台进行质量检查 ; (2) 某社区有 1 200 户家庭 , 其中高收入家庭 420 户 , 中等收入家庭 470 户 , 低收入家庭 310 户 , 为了调查该社区购买力的某项指标 , 要从所有家庭中抽取一个容量为 120 的样本 . 上述问题中 , 各自宜采用什么抽样方法 ? 分析 抽样方法的确定要依据总体的构成、总体的容量以及样本容量等综合考虑 , 把握住各种抽样方法的特征是解决此类问题的关键 . 解 : (1) 采用抽签法 , 因为总体容量较小 , 宜采用抽签法 . (2) 采用分层随机抽样 , 因为购买力与收入有关 , 社区中家庭收入层次明显 , 宜采用分层随机抽样 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则 (1) 前提 : 分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层 , 层与层之间有明显区别 , 而层内个体间差异较小 . (2) 遵循的两个原则 : ① 将相似的个体归入一类 , 即为一层 , 分层要求每层的各个个体互不交叉 , 即遵循不重复、不遗漏的原则 ; ② 分层随机抽样为保证每个个体等可能入样 , 需遵循在各层中进行简单随机抽样 , 每层样本量与每层的大小成比例 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 某校高三年级有男生 500 人 , 女生 400 人 , 为了解该年级学生的健康状况 , 从男生中任意抽取 25 人 , 从女生中任意抽取 20 人进行调查 . 这种抽样方法是 ( 　　 ) A. 简单随机抽样 B. 抽签法 C. 随机数法 D. 分层随机抽样 解析 : 从男生 500 人中任意抽取 25 人 , 从女生 400 人中任意抽取 20 人 , 每层的样本量与层的大小成比例 , 因此用的是分层随机抽样 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 为了保证分层随机抽样时 , 每个个体等可能地被抽取 , 必须要求 ( 　　 ) A. 每层的个体数必须一样多 B. 每层抽取的个体数相等 C. 每层抽取的个体可以不一样多 , 但必须满足 n i =n · ( i= 1,2,…, k ), 其中 k 是层数 , n 是样本容量 , N i 是第 i 层所包含的个体数 , N 是总体容量 D. 只要抽取的样本量一定 , 每层抽取的个体数没有限制 解析 : 每层的个体数不一定都一样多 , 故 A 错误 ; 由于每层的容量不一定相等 , 每层抽同样多的个体 , 从总体来看 , 各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了 , 故 B 错误 ; 对于第 i 层的每个个体 , 它被抽到的可能性与层数 i 无关 , 即对于每个个体来说 , 被抽入样本的可能性是相同的 , 故 C 正确 ; 每层抽取的个体数是有限制的 , 故 D 错误 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分层随机抽样中的相关计算问题 例 3 交通管理部门为了解机动车驾驶员 ( 简称驾驶员 ) 对某新法规的知晓情况 , 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查 . 假设四个社区驾驶员的总人数为 N , 其中甲社区有驾驶员 96 人 . 若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43, 则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ( 　　 ) A.101 B.808 C.1 212 D.2 012 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将本例中 “ 甲社区有驾驶员 96 人 ” 改为 “ 甲、乙社区驾驶员共 99 人 ”, 则 N 的值是什么 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 一个单位有职工 800 人 , 其中具有高级职称的有 160 人 , 具有中级职称的有 320 人 , 具有初级职称的有 200 人 , 其他人员有 120 人 . 为了解职工收入情况 , 决定采用分层随机抽样的方法 , 从中抽取容量为 40 的样本 , 则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( 　　 ) A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 解析 : 由题意知有各种职称的人数和其他人员的人数之比为 160 ∶ 320 ∶ 200 ∶ 120 = 4 ∶ 8 ∶ 5 ∶ 3, 所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别 为 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 数据的获取与调查方案的设计 例 4 为调查小区平均每户居民的月用水量 , 下面是三名学生设计的方案 : 学生甲 : 我把这张《月用水量调查表》放在互联网上 , 只要是上网登录该网站的人就可以看到这张表 , 他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中 . 这样 , 就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量 . 学生乙 : 我给我们居民小区的每一个住户发一张《月用水量调查表》 , 只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量 . 学生丙 : 我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码 , 然后逐个给这些住户打电话 , 问一下他们的月用水量 , 然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量 . 请你分析上述三名学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗 ? 为什么 ? 你有何建议 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 学生甲的方法得到的样本不能够反映不上网的居民的情况 , 它是一种方便样本 , 所得到的样本代表性差 , 不能准确地获得平均每户居民的月用水量 . 学生乙的方法实际上是普查 , 花费的人力、物力更多一些 , 但是如果统计过程不出错 , 可以准确地得到平均每户居民的月用水量 . 学生丙的方法是随机抽样 . 如果该小区的每户居民都装有电话 , 建议用随机抽样方法获得数据 , 即用学生丙的方法 , 既节省人力、物力 , 又可以得到比较精确的结果 . 反思感悟 分析各个方案是否合理 , 要从各方案中所得的样本是否具有代表性及获取样本的工作量大小两个方面来考虑 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分层随机抽样中对于不能整除的实际问题的方案设计 典例 1 某单位有老年人 28 人 , 中年人 54 人 , 青年人 81 人 . 为了调查他们的身体状况 , 从他们中抽取容量为 36 的样本 , 最适合抽取样本的方法是 ( 　　 ) A. 抽签法 B. 随机数表法 C. 先从老年人中剔除 1 人 , 再用分层随机抽样 D. 以上三种方法均合适 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 2 某电视台在网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查 , 参加调查的总人数为 12 000, 其中持各种态度的人数如下表所示 : 电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见 , 打算从中再抽取 60 人进行更为详细的调查 , 应怎样进行抽样 ? 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2 435 4 567 3 926 1 072 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 (1) 设计抽样方法时 , 最核心的问题是要考虑如何使抽取的样本具有较好的代表性 , 因此在设计抽样方法时 , 要充分利用对总体情况的已有了解 . 对于具有明显层次的总体 , 分层随机抽样充分保持了样本结构与总体结构的一致性 , 提高了样本的代表性 . 在各层抽样时 , 可灵活地选用不同的抽样方法 , 并且注意当不能整除时 , 要么先进行剔除个别个体 , 要么进行近似计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 分层随机抽样实施的五个步骤 : ① 将总体按一定标准进行分层 ; ④ 在每一层进行抽样 ( 可用简单随机抽样 ); ⑤ 最后将每一层抽取的样本汇总成总样本 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品 , 产品的数量之比依次为 3 ∶ 4 ∶ 7, 现在用分层随机抽样的方法抽出容量为 n 的样本 , 样本中 A 型号产品有 15 件 , 则样本容量 n 为 ( 　　 ) A.50 B.60 C.70 D.80 解析 : 由分层随机抽样方法 得 × n= 15 . 解得 n= 70 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 某学校的教师配置及比例如图所示 , 为了调查各类教师的薪资状况 , 现采用分层随机抽样的方法抽取部分教师进行调查 . 在抽取的样本中 , 青年教师有 30 人 , 则该样本中的老年教师人数为 ( 　　 ) A.10 B.12 C.18 D.20 解析 : 设该样本中的老年教师人数为 x , 由分层随机抽样的特点得 , 解得 x= 12 . 故选 B . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 某学校有老师 100 人 , 男学生 600 人 , 女学生 500 人 , 现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为 n 的样本 , 已知女学生一共抽取了 40 人 , 则 n 的值是 ( 　　 ) A.96 B.192 C.95 D.190 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是 3 ∶ 3 ∶ 4, 现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本 , 则应从高二年级抽取 　　　　　 名学生 , 从高三抽取 　　　　　 名学生 , 每名学生被抽到的可能性 　　　　　 ( 填 “ 相等 ” 或 “ 不相等 ”) .  答案 : 15 　 20 　 相等 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 某学校有在编人员 160 人 , 其中行政人员 16 人 , 教师 112 人 , 后勤人员 32 人 , 教育主管部门为了解该校对学校机构改革的意见 , 要从中抽取一个容量为 20 的样本 , 试确定用何种抽样方法抽取 , 并简述抽样过程 . 解 : 采用分层随机抽样抽取 . ∵ 某校有 160 名教职工 , 其中行政人员 16 人 , 教师 112 人 , 后勤人员 32 人 , ∴ 行政人员 , 教师 , 后勤人员抽取的比例应为 16 ∶ 112 ∶ 32, 即 1 ∶ 7 ∶ 2 . ∴ 抽取一个容量为 20 的样本中 , 行政人员应抽取 2 人 , 教师应抽取 14 人 , 后勤人员应抽取 4 人 . 先对 112 名教师进行编号为 000,001, … ,111, 然后用随机数法抽取 14 人 , 同理在行政人员中抽 2 人 , 后勤人员中抽 4 人 , 这样就得到一个容量为 20 的样本 .