【数学】2019届一轮复习人教A版等比数列求解中忽视q的取值范围学案

【数学】2019届一轮复习人教A版等比数列求解中忽视q的取值范围学案

专题五 数列 误区一 等比数列求解中忽视的取值范围 一、易错提醒 等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“”该不该考虑？,许多同 在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑？那个题不考虑？认真审题,弄清题意是关键.‎ 二、典例精析 ‎(一) 的问题 ‎【例1】已知数列,,,,,,. 求. = ‎ ‎【分析】在等比数列中,若公比,则；若,则,因此在解含参数的等比数列求和问题时,一定要注意其公比是什么？能否取到1.‎ ③当时也满足上式,所以 ]‎ ‎【点评】①求解本题容易出现下面三种错误 ①忽视的情况；②忽略的情况；③用错位相减时不注意用对应项相减；④用错位相减时漏掉 ‎.②等比数列前n项和公式成立的条件为q≠1,而当q＝1时,应按常数列求和；在含字母参数的等比数列求和时,应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论.‎ ‎【小试牛刀】设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3,S4＝15,则S6＝(　　)‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎【解析】方法一 在等比数列{an}中,S2,S4－S2,S6－S4也成等比数列,故(S4－S2)2＝S2(S6－S4),则(15－3)2＝3(S6－15),解得S6＝63. = ‎ 方法三 因为数列{an}为等比数列,若q＝1,‎ 则有Sn＝na1,显然不符合题意,故q≠1.‎ 设其前n项和为Sn＝ qn－ .‎ 由题意可得 两式相除得1＋q2＝5,解得q2＝4.‎ 代入解得 ＝1.故Sn＝qn－1.‎ 所以S6＝q6－1＝(q2)3－1＝43－1＝63.‎ 方法四 设等比数列的公比为q,‎ 则S2＝a1＋a2＝3,S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋q2)×3＝15,[ | | ]‎ 解得q2＝4.‎ 故S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)‎ ‎＝(1＋4＋42)×3＝63.‎ ‎【点评】解题(1)中,方法一利用等比数列的性质Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…(Sm≠S2m)也成等比数列求解；‎ 方法二利用等比数列的基本运算求解；‎ 方法三利用等比数列前n项和公式的结构特征设出前n项和的表达式；‎ 方法四是利用整体代换的方法；‎ ‎(二) 的问题 ‎【例2】已知数列是首项为1的等比数列,是的前项和,且,则数列的前5项和为 .‎ ‎【分析】题目已知数列是首项为1的等比数列,,很明显数列中不满足,所以本题中.‎ ‎【解析】显然,所以整理得,∴,‎ 所以是首项为1,公比为的等比数列, 前5项和. ‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列前项和公式及等比数列的性质,在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的应用.‎ ‎【小试牛刀】已知等比数列的各项均为正数,公比为,前项和为,若,有,则的取值范围是 . = ‎ ‎【分析】对分类讨论.‎ ‎ ‎ ‎(三) 的问题 由等比数列定义可得,等比数列的公比不为0,且等比数列任意一项都不为0.‎ ‎【例3】已知等比数列,若存在实数 ,使得恒成立,则 的取值范围是 .‎ ‎【分析】把 表示为q的函数,转化为函数求值域.‎ ‎【解析】由可得,即,因为,所以.‎ ‎【点评】本题易忽略,得到错误答案.‎ ‎【小试牛刀】已知数列{an}和{bn}满足 a1＝λ,an＋1＝an＋n－4,bn＝(－1)n(an－3n＋21),其中λ为实数,n∈N*.‎ ‎(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列；‎ ‎(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.‎ ‎【解析】(1)证明 假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列 ,则有a＝a1·a3,即＝λ⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0,矛盾.所以数列{an}不是等比数列.‎ ‎(2)因为bn＝(－1)n (an－3n＋21),‎ bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1 ‎＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1(an－3n＋21)＝－bn.‎ 又b1＝－(λ＋18),所以 当λ＝－18,b1＝0,易得bn＝0(n∈N*),此时数列{bn}不是等比数列；‎ 当λ≠－18,b1≠0,由上可知bn≠0,‎ ‎∴＝－(n∈N*),此时数列{bn}是等比数列.‎ 三、迁移运用 ‎1．【云南省师范大 附属中 2018届高三第七次月考】正项数列是等比数列，公比为q，且，则实数q为 A. 或1 B. 1 C. 2 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，，解得.故选B.‎ ‎2.等比数列x,3x＋3,6x＋6,…的第四项等于(　　)‎ A.－24 B‎.0 ‎ C.12 D.24‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵x,3x＋3,6x＋6是等比数列的前三项,∴(3x＋3)2＝x(6x＋6),解得x＝－1或－3.当x＝－1时,数列前三项为－1,0,0,不构成等比数列；当x＝－3时,数列前三项为－3,－6,－12,其公比q＝2,该数列第四项为－12×2＝－24.故选A.‎ ‎3.若是等比数列,则数列（ ）‎ A． 一定是等比数列 B． 一定不是等差数列 C． 一定不是比差数列 D. 可能是等差数列 ‎【答案】D ‎【解析】若,则,此时不是比差数列,是等差数列,故选D.‎ ‎4.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】已知数列的前项和,则““是“数列是等比数列”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎ ‎5.实数项等比数列{an}的前n项的和为Sn,若＝,则公比q等于________．‎ ‎【答案】－ ‎【解析】首先q≠1,因为若q＝1,则＝2,当q≠1时,＝＝＝＝,q5＝－,q＝－.‎ ‎6.求和 ‎ ‎【解析】依题意,,‎ ①当时,；②当或时,；‎ ③当且时,可看作是首项为,公比为的等比数列的前项和.‎ ‎∴,‎ 故. ‎ ‎7.设是公比为q的等比数列. ‎ ‎(1)推导的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1, 证明数列{an＋1}不是等比数列.‎ ‎【解析】(1) 设的前n项和为Sn,‎ 当q＝1时,Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时,Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1, ①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn,②‎ ‎①－②得,Sn＝a1－a1qn.‎ ‎∴Sn＝,∴Sn＝ ‎(2) 证明 (反证法),假设数列{an＋1}是等比数列,则对任意的 ∈N＋,2＝,‎ a＋2a ＋1＋1＝a a ＋2＋a ＋a ＋2＋1,‎ aq2 ＋‎2a1q ＋1＝a1q －‎1a1q ＋1＋a1q －1＋a1q ＋1＋1,‎ ‎∵a1≠0,∴2q ＝q －1＋q ＋1.‎ ‎∵q≠0,∴q2－2q＋1＝0.‎ ‎∴q＝1,与已知矛盾.‎ ‎∴数列{an＋1}不是等比数列.‎ ‎8. 已知数列满足.‎ ‎（Ⅰ）若,求的取值范围； = ‎ ‎（Ⅱ）若是公比为等比数列,,求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应数列的公差.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由条件得且,解得.‎ ‎ 所以的取值范围是[3,6].‎ ‎（Ⅱ）由,且,得,所以 又,所以 当时, ,由得成立 当时,即 ‎（Ⅲ）设的公差为,由,且 得,‎ 即 ‎ 当时,；[ _ _ _X_X_ ]‎ 当时,由,得,‎ 所以.‎ 所以 所以的最大值为1999,时,的公差为.‎