高中数学人教a必修5学业分层测评14等比数列的前n项和word版含解析

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高中数学人教a必修5学业分层测评14等比数列的前n项和word版含解析

学业分层测评(十四) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若{Sn}是等差数列, 则 q 等于( ) A.1 B.0 C.1 或 0 D.-1 【解析】 因为 Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,所以 an 为定值,即数列{an} 为常数列,所以 q= an an-1 =1. 【答案】 A 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ) A.1 3 B.-1 3 C.1 9 D.-1 9 【解析】 设公比为 q,∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴ a1+a2+a3=a2+10a1, a1q4=9, ∴ a1q2=9a1, a1q4=9, 解得 a1=1 9 ,故选 C. 【答案】 C 3.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2 倍,一共点 381 盏灯,则底层所点灯的盏数是( ) A.190 B.191 C.192 D.193 【解析】 设最下面一层灯的盏数为 a1,则公比 q=1 2 ,n=7,由a1 1- 1 2 7 1-1 2 =381, 解得 a1=192. 【答案】 C 4.设数列 1,(1+2),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前 n 项和为 Sn,则 Sn 的值为( ) A.2n B.2n-n C.2n+1-n D.2n+1-n-2 【解析】 法一 特殊值法,由原数列知 S1=1,S2=4,在选项中,满足 S1=1,S2=4 的只有答案 D. 法二 看通项,an=1+2+22+…+2n-1=2n-1. ∴Sn=22n-1 2-1 -n=2n+1-n-2. 【答案】 D 5.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为5 4 ,则 S5=( ) A.35 B.33 C.31 D.29 【解析】 设数列{an}的公比为 q, ∵a2·a3=a21·q3=a1·a4=2a1, ∴a4=2. 又∵a4+2a7=a4+2a4q3=2+4q3 =2×5 4 , ∴q=1 2. ∴a1=a4 q3 =16,S5=a11-q5 1-q =31. 【答案】 C 二、填空题 6.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通 项公式 an=________. 【解析】 ∵在等比数列{an}中,前 3 项之和等于 21, ∴a11-43 1-4 =21, ∴a1=1,∴an=4n-1. 【答案】 4n-1 7.设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|= ________. 【解析】 法一 a1+|a2|+a3+|a4|=1+|1×(-2)|+1×(-2)2+|1×(-2)3| =15. 法二 因为 a1+|a2|+a3+|a4|=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|,数列{|an|}是首项为 1, 公比为 2 的等比数列,故所求代数式的值为1-24 1-2 =15. 【答案】 15 8.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n=________. 【解析】 ∵a1=2,an+1=2an, ∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 又∵Sn=126,∴21-2n 1-2 =126,∴n=6. 【答案】 6 三、解答题 9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. 【导学号: 05920072】 (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 【解】 (1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2), 由于 a1≠0,故 2q2+q=0. 又 q≠0,从而 q=-1 2. (2)由已知可得 a1-a1 -1 2 2=3, 故 a1=4. 从而 Sn= 4 1- -1 2 n 1- -1 2 =8 3 1- -1 2 n . 10.(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*), b1+1 2b2+1 3b3+…+1 nbn=bn+1-1(n∈N*). (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 【解】 (1)由 a1=2,an+1=2an,得 an=2n(n∈N*). 由题意知: 当 n=1 时,b1=b2-1,故 b2=2. 当 n≥2 时,1 nbn=bn+1-bn. 整理得 bn+1 n+1 =bn n , 所以 bn=n(n∈N*). (2)由(1)知 anbn=n·2n, 因此 Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n, 2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1, 所以 Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1. 故 Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*). [能力提升] 1.在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2n-1(n∈N*),则 a21+a22+…+a 2n等 于( ) A.(2n-1)2 B.1 3(2n-1)2 C.4n-1 D.1 3(4n-1) 【解析】 a1+a2+…+an=2n-1,即 Sn=2n-1,则 Sn-1=2n-1-1(n≥2), 则 an=2n-2n-1=2n-1(n≥2),又 a1=1 也符合上式,所以 an=2n-1,a2n=4n-1,所 以 a21+a22+…+a2n=1 3(4n-1). 【答案】 D 2.如图 251,作边长为 3 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角 形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,则前 n 个内切圆的面积和为( ) 图 251 A.πa2 3 1- 1 4n B. 1- 1 4n π C.2 1- 1 4n π D.3 1- 1 4n π 【解析】 根据条件,第一个内切圆的半径为 3 6 ×3= 3 2 ,面积为3 4π,第二 个内切圆的半径为 3 4 ,面积为 3 16π,…,这些内切圆的面积组成一个等比数列, 首项为3 4π,公比为1 4 ,故面积之和为 3 4π 1- 1 4n 1-1 4 = 1- 1 4n π. 【答案】 B 3.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的 棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________. 【解析】 每天植树棵数构成等比数列{an}, 其中 a1=2,q=2,则 Sn=a11-qn 1-q =2(2n-1)≥100,即 2n+1≥102,∴n≥6, ∴最少天数 n=6. 【答案】 6 4.(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn} 的公比为 q.已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)当 d>1 时,记 cn=an bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解】 (1)由题意有 10a1+45d=100, a1d=2, 即 2a1+9d=20, a1d=2, 解得 a1=1, d=2 或 a1=9, d=2 9. 故 an=2n-1, bn=2n-1 或 an=1 9 2n+79, bn=9· 2 9 n-1. (2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn=2n-1 2n-1 , 于是 Tn=1+3 2 + 5 22 +7 23 +9 24 +…+2n-1 2n-1 ,① 1 2Tn=1 2 + 3 22 +5 23 +7 24 +…+2n-3 2n-1 +2n-1 2n .② ①-②可得 1 2Tn=2+1 2 + 1 22 +…+ 1 2n-2 -2n-1 2n =3-2n+3 2n , 故 Tn=6-2n+3 2n-1 .
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