2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.1.3 古典概型

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.1.3 古典概型

10.1.3 古典概型 学习目标 1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计 算问题. 知识点一 随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件 A 的概率用 P(A)表示. 知识点二 古典概型 一般地，若试验 E 具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验 E 为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 知识点三 古典概型的概率公式 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间Ω包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点， 则定义事件 A 的概率 P(A)＝k n ＝nA nΩ. 1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.( × ) 2.古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一 个结果；②各个样本点的出现是等可能的.( √ ) 3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于 2”的概率.( × ) 4.从甲地到乙地共 n 条线路，且这 n 条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最 短路线的概率是古典概型问题.( √ ) 一、古典概型的判断 例 1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数 2 的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)从 1,2,3，…，100 这 100 个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率. 解 (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与 古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾. (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古 典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾. (3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能 性相等. 反思感悟 古典概型需满足两个条件 (1)样本点总数有限. (2)各个样本点出现的可能性相等. 跟踪训练 1 下列问题中是古典概型的是( ) A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出 1 点的概率 C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于 1.5 的概率 D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是 5 的概率 答案 D 解析 A，B 两项中的样本点的出现不是等可能的；C 项中样本点的个数是无限多个；D 项 中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选 D. 二、古典概型概率的计算 例 2 一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球. 求： (1)样本空间的样本点的总数 n； (2)事件“摸出 2 个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出 2 个黑球的概率. 解 由于 4 个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型. (1)将黑球编号为黑 1，黑 2，黑 3，从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球， 样本空间Ω＝{(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 1，白)，(黑 2，黑 3)，(黑 2，白)，(黑 3，白)}， 其中共有 6 个样本点. (2)事件“摸出 2 个黑球”＝{(黑 1，黑 2)，(黑 2，黑 3)，(黑 1，黑 3)}，共 3 个样本点. (3)样本点总数 n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数 m＝3，故 P＝3 6 ＝1 2 ，即摸出 2 个黑球的概率为1 2. 反思感悟 求古典概型概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数 n. (2)确定所求事件 A 包含的样本点的个数 m. (3)P(A)＝m n. 跟踪训练 2 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中， 余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________. 答案 2 3 解析 从 4 种颜色的花中任选 2 种颜色的花种在一个花坛中，余下 2 种颜色的花种在另一花 坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红 黄，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫— 红白、白紫—红黄，共 4 种，故所求概率为 P＝4 6 ＝2 3. 三、较复杂的古典概型的概率计算 例 3 先后抛掷两枚质地均匀的骰子. (1)求点数之和为 7 的概率； (2)求掷出两个 4 点的概率； (3)求点数之和能被 3 整除的概率. 解 如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共 36 种. (1)记“点数之和为 7”为事件 A，从图中可以看出，事件 A 包含的样本点共有 6 个：(6,1)， (5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6). 故 P(A)＝ 6 36 ＝1 6. (2)记“掷出两个 4 点”为事件 B，从图中可以看出，事件 B 包含的样本点只有 1 个，即(4,4). 故 P(B)＝ 1 36. (3)记“点数之和能被 3 整除”为事件 C，则事件 C 包含的样本点共 12 个：(1,2)，(2,1)，(1,5)， (5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6). 故 P(C)＝12 36 ＝1 3. 反思感悟 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直 角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法 求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便. 跟踪训练 3 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3 和 3 个欧洲国家 B1，B2，B3 中 选择 2 个国家去旅游. (1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率. 解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)， (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)， (A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共 15 个. 所选 2 个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3 个， 则所求事件的概率为 P＝ 3 15 ＝1 5. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)， (A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共 9 个. 包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有 (A1，B2)，(A1，B3)，共 2 个， 则所求事件的概率为 P＝2 9. 1.下列不是古典概型的是( ) A.从 6 名同学中，选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为 7 的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 答案 C 解析 A，B，D 为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而 C 不满足等可能性，故不为古典概型. 2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.1 6 B.1 2 C.1 3 D.2 3 答案 C 解析 样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间 的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共 2 个，所以甲站在中间的概率 P＝2 6 ＝1 3. 3.已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的 概率为( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 答案 B 解析 记 3 件合格品分别为 A1，A2，A3,2 件次品分别为 B1，B2，从 5 件产品中任取 2 件， 有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3， B2)，(B1，B2)，共 10 种可能，其中恰有一件次品有 6 种可能，由古典概型得所求事件概率 为 6 10 ＝0.6. 4.用 1,2,3 组成无重复数字的三位数，这些数能被 2 整除的概率是( ) A.1 6 B.1 2 C.1 3 D.2 3 答案 C 解析 用 1,2,3 组成的无重复数字的三位数共 6 个，分别为 123,132,213,231,312,321，其中能 被 2 整除的有 132,312 这 2 个数，故能被 2 整除的概率为1 3. 5.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，则其和为 5 的概率是________. 答案 0.2 解析 两数之和等于 5 有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 种，所以 P＝ 2 10 ＝0.2. 1.知识清单： (1)古典概型. (2)古典概型的概率公式. 2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数. 3.常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏. 1.下列是古典概型的是( ) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将取出的正整数作为样本点 C.在甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 答案 C 解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A 不是；B 项中的样本点的个数是无 限的，故 B 不是；C 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故 C 是古典概型；D 项中样 本点既不是有限个也不具有等可能性，故 D 不是. 2.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的 数字之和为奇数的概率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 答案 C 解析 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共 6 个样本点，且每 个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有 4 个样本点，所以所求概率为2 3. 3.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 答案 B 解析 样本点的总数为 6， 构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的样本点的个数为 2， 所以所求概率 P＝2 6 ＝1 3 ，故选 B. 4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个字母， 第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A. 8 15 B.1 8 C. 1 15 D. 1 30 答案 C 解析 ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)， (N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴基本事件总数为 15. ∵正确的开机密码只有 1 种，∴P＝ 1 15. 5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b，则 b>a 的概率是 ( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 答案 D 解析 设“所取的数中 b>a”为事件 A，如果把选出的数 a，b 写成数对(a，b)的形式，则样 本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， (5,1)，(5,2)，(5,3)}，共 15 个，事件 A 包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共 3 个，因此所 求的概率 P(A)＝ 3 15 ＝1 5. 6.从三男三女共 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的概率均相等)，则 2 名都是女同学的 概率为________. 答案 1 5 解析 用 A，B，C 分别表示三名男同学，用 a，b，c 分别表示三名女同学，则从 6 名同学 中选出 2 人的所有选法为 AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac， bc，共 15 种.其中 2 名都是女同学包括 ab，ac，bc，共 3 种.故所求的概率为 3 15 ＝1 5. 7.在 1,2,3,4 四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的 2 倍的概率是 ________. 答案 1 4 解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有 16 种可能，其中一个数是另一个数的 2 倍的 有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共 4 种，故所求的概率为 4 16 ＝1 4. 8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号是 2 的小球的概率是1 2 ， 则 n 的值为________. 答案 2 解析 由题意可知 n 1＋1＋n ＝1 2 ，解得 n＝2. 9.某学校有初级教师 21 人，中级教师 14 人，高级教师 7 人，现采用分层随机抽样的方法从 这些教师中抽取 6 人对绩效工资情况进行调查. (1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数； (2)若从分层随机抽样抽取的 6 名教师中随机抽取 2 名教师做进一步数据分析，求抽取的 2 名教师均为初级教师的概率. 解 (1)共抽取 6 人，又 21∶14∶7＝3∶2∶1，所以应从初级教师、中级教师、高级教师中 抽取的人数分别为 3，2,1. (2)在分层随机抽样抽取的 6 名教师中，3 名初级教师分别记为 A1，A2，A3,2 名中级教师分别 记为 A4，A5，高级教师记为 A6，则从中抽取 2 名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)， (A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)， (A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为 15.抽取的 2 名教师均为初级 教师(记为事件 B)包含的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3 个. 所以 P(B)＝ 3 15 ＝1 5. 10.某小组共有 A，B，C，D，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/ 米 2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于 1.80 米的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 米以下的概率； (2)从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中的概率. 解 (1)由题意知，从该小组身高低于 1.80 米的同学中任选 2 人这一试验 E1 的样本空间Ω1 ＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共 6 个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属 于古典概型.设事件 M 表示“选到的 2 人身高都在 1.78 米以下”，则 M＝{AB，AC，BC}， 共含有 3 个样本点， 所以 P(M)＝3 6 ＝1 2. (2)从该小组同学中任选 2 人，这一试验 E2 的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD， BE，CD，CE，DE}，共 10 个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.设事件 N 表示“选 到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”，则 N＝{CD，CE，DE}， 共含有 3 个样本点，所以 P(N)＝ 3 10. 11.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D. 1 20 答案 A 解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)， (1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共 10 个，其中勾股数有(3,4,5)，所以概率为 1 10. 12.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面 的点数分别为 x，y，则 log2xy＝1 的概率为( ) A.1 6 B. 5 36 C. 1 12 D.1 2 答案 C 解析 所有样本点的个数为 36.由 log2xy＝1 得 2x＝y，其中 x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以 x＝1， y＝2 或 x＝2， y＝4 或 x＝3， y＝6 满足 log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含 3 个样本点，所以所求的 概率为 P＝ 3 36 ＝ 1 12. 13.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为 m 和 n，则关于 x 的方程 x2＋(m＋n)x＋4＝0 无实 数根的概率是________. 答案 1 12 解析 总的样本点个数为 36.因为方程无实根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0.即 m＋n<4，其中有 (1,1)，(1,2)，(2,1)，共 3 个样本点. 所以所求概率为 3 36 ＝ 1 12. 14.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为________. 答案 3 10 解析 从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙， 戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁， 戊)，(丙，丁，戊)}，共 10 个样本点，甲、乙都被选中的结果有 3 种，故所求的概率为 3 10. 15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字， 把乙猜的数字记为 b，其中 a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”.现 任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.1 9 B.2 9 C. 7 18 D.4 9 答案 D 解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于 a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要 求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)， (4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共 16 种，而依题意得，样本点总数为 36.因此他们 “心有灵犀”的概率 P＝16 36 ＝4 9. 16.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转 盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别 为 x，y.奖励规则如下： ①若 xy≤3，则奖励玩具一个； ②若 xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小， 并说明理由. 解 (1)用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)， (1,4)，(2,1)，(2，2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}即 样本点的总数为 16， 记“xy≤3”为事件 A，则事件 A 包含的样本点共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)， 所以 P(A)＝ 5 16 ，即小亮获得玩具的概率为 5 16. (2)记“xy≥8”为事件 B，“3 5 16 ， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.