2020高中数学 课时分层作业17 回归分析的基本思想及其初步应用 新人教A版选修2-3

2020高中数学 课时分层作业17 回归分析的基本思想及其初步应用 新人教A版选修2-3

课时分层作业(十七) 回归分析的基本思想及其初步应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．设有一个回归方程为＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时，(　　)‎ A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加2个单位 C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少2个单位 C　[由回归方程知x增加一个单位，y平均减少2.5个单位．]‎ ‎2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　)‎ A　[用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．]‎ ‎3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：‎ 父亲身高x(cm)‎ ‎174‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎178‎ 儿子身高y(cm)‎ ‎175‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎177‎ ‎177‎ 则y对x的线性回归方程为(　　) ‎ ‎【导学号：95032238】‎ A.＝x－1　　　　　　 B.＝x＋1‎ C.＝88＋x D.＝176‎ C　[设y对x的线性回归方程为＝x＋，‎ ＝176，＝176，检验得y＝88＋过点(，)．]‎ ‎4．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1‎ 7‎ 表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)‎ A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1‎ C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1‎ C　[画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1＞0，U与V是负相关，相关系数r2＜0，故选C.]‎ ‎5．关于残差图的描述错误的是(　　)‎ A．残差图的横坐标可以是样本编号 B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量 C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 C　[残差点分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，相关指数R2的值越大，故描述错误的是选项C.]‎ 二、填空题 ‎6．如图311四个散点图中，适合用线性回归模型拟合的两个变量的是________(填序号)．‎ 图311‎ ‎①③　[由题图易知，①③两个图中的样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型拟合．]‎ ‎7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.‎ 零件数x(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间Y(min)‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________. ‎ ‎【导学号：95032239】‎ ‎68　[由表知＝30，设模糊不清的数据为m，则＝(62＋m＋75＋81＋89)＝，因为＝0.67＋54.9，‎ 即＝0.67×30＋54.9，‎ 解得m＝68.]‎ 7‎ ‎8．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R2为________．‎ ‎0.25　[回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝80－60＝20，故R2＝＝0.25或R2＝1－＝0.25.]‎ 三、解答题 ‎9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；‎ ‎(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ ‎[解]　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，‎ ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.‎ 所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.‎ ‎(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)‎ ‎＝－20x2＋330x－1 000‎ ‎＝－20＋361.25.‎ 当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．‎ 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．‎ ‎10．在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x元和日销售量y件之间的一组数据为：‎ 价格x元 ‎22‎ ‎20‎ ‎18‎ ‎16‎ ‎14‎ 日销售量y件 ‎37‎ ‎41‎ ‎43‎ ‎50‎ ‎56‎ 求出y关于x的回归方程，并说明该方程拟合效果的好坏．‎ 参考数据：iyi＝3 992，＝1 660. ‎ ‎【导学号：95032240】‎ ‎[解]　作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据．‎ 7‎ 因为＝＝18，‎ ＝＝45.4.‎ 所以＝＝－2.35，‎ ＝45.4－(－2.35)×18＝87.7.‎ 所以回归方程为＝－2.35x＋87.7.‎ yi－i与yi－的值如下表：‎ yi－i ‎1‎ ‎0.3‎ ‎－2.4‎ ‎－0.1‎ ‎1.2‎ yi－ ‎－8.4‎ ‎－4.4‎ ‎－2.4‎ ‎4.6‎ ‎10.6‎ 计算得(yi－i)2＝8.3，‎ (yi－)2＝229.2，‎ 所以R2＝1－≈0.964.‎ 因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果比较好．‎ ‎[能力提升练]‎ 一、选择题 ‎1．如图312,5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是(　　)‎ 图‎3-1-2‎ A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．相关指数R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 B　[由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．]‎ ‎2．已知x与y之间的几组数据如下表：‎ 7‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)‎ ‎ 【导学号：95032241】‎ A.＞b′，＞a′　　　　 B.＞b′，＜a′‎ C.＜b′，＞a′ D.＜b′，＜a′‎ C　[过(1,0)和(2,2)的直线方程为y′＝2x－2，‎ 画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，‎ 显然，b′＞，＞a′，故选C.]‎ 二、填空题 ‎3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q(，)如下表：‎ 甲 乙 丙 丁 R2‎ ‎0.67‎ ‎0.61‎ ‎0.48‎ ‎0.72‎ Q(，)‎ ‎106‎ ‎115‎ ‎124‎ ‎103‎ 则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为________．‎ 丁　[丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q(，)最小．此时A，B两变量线性相关性更强．]‎ ‎4．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：‎ 时间 二月上旬 二月中旬 二月下旬 三月上旬 旬平均 气温x(℃)‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎17‎ 旬销售 7‎ 量y(件)‎ ‎55‎ m ‎33‎ ‎24‎ 由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的＝－2，样本中心点为(10,38)．‎ ‎(1)表中数据m＝__________.‎ ‎(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为‎22 ℃‎，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件. ‎ ‎【导学号：95032242】‎ ‎(1)40　(2)14　[(1)由＝38，得m＝40.‎ ‎(2)由＝－ ，得＝58，‎ 故＝－2x＋58，‎ 当x＝22时，＝14，‎ 故三月中旬的销售量约为14件．]‎ 三、解答题 ‎5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ 图313‎ (xi－)2‎ (wi－)2‎ (xi－)(yi－)‎ (wi－)(yi－)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1 469‎ ‎108.8‎ 表中wi＝，w]＝wi.‎ ‎(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：‎ ‎①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ 7‎ ‎②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .‎ ‎[解]　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．‎ ‎(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．‎ 由于＝＝＝68，‎ ＝－ ＝563－68×6.8＝100.6，‎ 所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，‎ 因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.‎ ‎(3)①由(2)知，当x＝49时，‎ 年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，‎ 年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.‎ ‎②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.‎ 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．‎ 7‎