2020-2021九年级数学上册二次函数单元同步练习2（新人教版pdf格式）
2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习：二次函数（二）
一、单选题
1．定义[a，b，c]为函数 y=ax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：
①当 m=3 时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣ 8）； ②当 m＞1 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3；
③当 m＜0 时，函数在 x＞ 1
2
时，y 随 x 的增大而减小；④不论 m 取何值，函数图象经过两个定点．其中正
确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【解析】试题分析：①抛物线的顶点坐标为（
2
b
a ，
24
4
acb
a
），当 m=3 时，特征数为[2,4-6]，可求得
顶点坐标为（-1，-8），所以①正确．②函数图像与 x 轴交点坐标为（
2 4 ,02
bbac
a
），特征数为 [m-1，
1+ m ，-2m]的函数与 x 轴交点坐标分别为（1,0）、（ 4
22
m
m
，0），所以截得 x 轴所得的线段长为 1-
=1+
4
22
m
m
， 当 m > 1 时， 1+ >3，所以②正确．③函数对称轴为 x= =
11211
222(1)21
mm
mmm
， 当 m<0 时，对称轴 x= 11
21m <
，a=m-1<0,所以函数抛物线图像开口向下，当 x> 时 y 随 x 的增大而减小，又因为 x=
< ，所以当 m < 0 时，函数在 x > 时，y 随 x 的增大而减小，③正确．④ 不论 m 取何值，函数图象经过两
个定点（1,0）和（-2，-6），所以④正确．故选 D
点睛：本题主要考查二次函数 y=ax2+bx+c 的性质：①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．当 a＞0
时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口．②抛物线是轴对称图形,对称轴为直线 x = -b/2a，当 a
＞0 时 x< 2
b
a ,y 随 x 的增大而减小，x> 时，y 随 x 的增大而增大．当 a<0 时，x< ，y 随 x 的增
大而增大，x>
2
b
a 时，y 随 x 的增大而减小．③函数图像与 x 轴交点坐标为（
2 4 ,02
bbac
a
），所以
函数图像截 x 轴所得的线段长为
2 4b a c
a
等．二次函数的性质极为重要，是易考点，及难点．
2．已知二次函数 2 0yaxbxca 的图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 2 0axbxcm 没
有实数根，有下列结论：① 2 40b a c② 0abc ③ 20ab④ 2m 其中，正确的是结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【分析】
由抛物线与 x 轴的交点可判断①；由对称轴 x= 12
b
a可知 ab＜0，再由图像可知 c＞0，据此可判断②；
由抛物线对称即可判断③；关于 的一元二次方程 没有实数根，即为二次函数
2y ax bx c 与 y=m 无交点，据此判断④.
【详解】
解：由图可知抛物线与 x 轴有两个交点，则△ = ，故 ①正确；由对称轴 x= 可知 ab＜0，
再由图像可知 c＞0，则 ，故②正确；抛物线对称轴 x= ，则 2a+b=0，故③错误；由题意可
知二次函数 与 y=m 无交点，由图可知，当 m＞2 时，两者无交点，故 m＞2，故④正确.
正确的是①②④，故选择 C.
【点评】本题考查了二次函数的性质及与一元二次方程的关系.
3．如图，抛物线 y=-x2+mx 的对称轴为直线 x=2，若关于 x 的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t 为实数)在 l
-5
【答案】B
【解析】【分析】
先利用抛物线的对称轴方程求出 m 得到抛物线解析式为 y=-x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），
再计算出当 x=1 或 3 时，y=3，结合函数图象，利用抛物线 y=-x2+4x 与直线 y=t 在 1＜x＜3 的范围内有公共
点可确定 t 的范围．
【详解】
∵ 抛物线 y=-x2+mx 的对称轴为直线 x=2，
∴ 222(1)
bm
a ，
解之：m=4，
∴y=-x2+4x，
当 x=2 时，y=-4+8=4，
∴顶点坐标为(2，4)，
∵ 关于 x 的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t 为实数)在 l0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选 C．
【点评】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，
是解题的关键．
7．在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y b
x （b≠0）与二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b 的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】
A、抛物线 y＝ax2+bx 开口方向向上，则 a>0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b<0．所以反比例
函数 y b
x 的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线 y＝ax2+bx 开口方向向上，则 a>0，对称轴位于 轴的左侧，则 a，b 同号，即 b>0．所以反比例
函数 y 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线 y＝ax2+bx 开口方向向下，则 a<0，对称轴位于 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b>0．所以反比例
函数 y 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线 y＝ax2+bx 开口方向向下，则 a<0，对称轴位于 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b>0．所以反比例
函数 y 的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选 D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与
图象位置之间关系．
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 p
与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 p＝at2+bt+c（a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根
据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A．4.25 分钟 B．4.00 分钟 C．3.75 分钟 D．3.50 分钟
【答案】C
【解析】【分析】
根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得．
【详解】
根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入 p=at2+bt+c，
得：
930.7
1640.8
2550.5
abc
abc
abc
解得：a=−0.2,b=1.5,c=−2，
即 p=−0.2t2+1.5t−2，
当 t=− 1.5
- 0.2 2 =3.75 时，p 取得最大值，
故选 C.
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键.
9．已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取 x1，x2(0＜x1
＜x2＜4)时，对应的函数值是 y1，y2，且 y1＝y2，设该函数图象的对称轴是 x＝m，则 m 的取值范围是( )
A．0＜m＜1 B．1＜m≤2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4
【答案】C
【解析】【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．
【详解】
解：当 a＞0 时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为 x=m 中 2＜m＜4，
故选 C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．
10．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，根据图象可得 a，b，c 与 0 的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
【答案】D
【解析】【分析】
由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x
轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由抛物线的开口向下知 a＜0，
与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为 x＝
2
b
a ＞0，
∴a、b 异号，即 b＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数一般形式 y=ax2+bx+c 中各系数的意义，掌握 a，b，c 意义是解题关键.
11．如图 1，菱形纸片 ABCD 的边长为 2，∠ABC=60°，将菱形 ABCD 沿 EF，GH 折叠，使得点 B，D 两
点重合于对角线 BD 上一点 P（如图 2），则六边形 AEFCHG 面积的最大值是（ ）
A． 33
2
B． 33
4
C．2﹣ 3 D．1+
【答案】A
【解析】【分析】
由六边形 AEFCHG 面积＝菱形 ABCD 的面积﹣△ EBF 的面积﹣△ GDH 的面积．得出函数关系式，进而求
出最大值．
【详解】
六边形 AEFCHG 面积＝菱形 ABCD 的面积﹣△ EBF 的面积﹣△ GDH 的面积．
∵菱形纸片 ABCD 的边长为 2，∠ABC＝60°，∴AC＝2，∴BD＝2 3 ，∴S 菱形 ABCD
1
2 AC•BD 1
22×2
3 2 3 ，设 AE＝x，则六边形 AEFCHG 面积＝2 13 2（2﹣x）• 3
2
（2﹣x） 1
2 x• x
3
2 x2 33x
（x﹣1）2 3 32 ，∴六边形 AEFCHG 面积的最大值是 3 32
．
故选 A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），二次函数最值问题，本题关键是设出未知数表示六边形面积，
把图形问题转化为函数问题，有一定的难度．
12．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线
x=-1，点 B 的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2-4ac＞0；③ab＜0；④a2-ab+ac＜0，其中正确的
结论有（ ）个．
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【解析】【分析】
利用抛物线的对称性可确定 A 点坐标为（-3，0），则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与 x 轴
有 2 个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到 a＞0，再利用对称轴方程得到 b=2a＞0，则可对③进
行判断；利用 x=-1 时，y＜0，即 a-b+c＜0 和 a＞0 可对④进行判断．
【详解】
∵抛物线的对称轴为直线 x=-1，点 B 的坐标为（1，0），
∴A（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，所以①正确；
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线 x=-
2
b
a =-1，
∴b=2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误；
∵x=-1 时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
而 a＞0，
∴a（a-b+c）＜0，所以④正确．
故选 A．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）， △ =b2-4ac
决定抛物线与 x 轴的交点个数：△ =b2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△ =b2-4ac=0 时，抛物线与 x
轴有 1 个交点；△ =b2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
二、填空题
13．当 21x 时，二次函数 22( ) 1y x m m 有最大值 4，则实数 m 的值为________．
【答案】2 或 3
【解析】【分析】
求出二次函数对称轴为直线 x=m，再分 m＜-2，-2≤m≤1，m＞1 三种情况，根据二次函数的增减性列方程求
解即可．
【详解】
解：二次函数 的对称轴为直线 x=m，且开口向下，
①m＜-2 时，x=-2 取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得 7m 4 ，
7 24 ，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1 时，x=m 取得最大值，m2+1=4，
解得 3m ，
所以 3m ，
③m＞1 时，x=1 取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得 m=2，
综上所述，m=2 或 3 时，二次函数有最大值．
故答案为：2 或 ．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．
14．若 A(－ 13
4
，y1)、B(－ 2 ，y2)、C(3，y3)为二次函数 y=－x2－4x+5 的图象上的三点，则 y1、y2、y3
的大小关系是_________（用“＜”连接）．
【答案】 31yy < 2y
【解析】【分析】
先求出二次函数对称轴，再根据二次函数的增减性从点到对称轴的距离的大小考虑求解．
【详解】
对称轴为直线
4 2221
bx a
，
∵a=−1<0，
∴当 x<−2 时，y 随 x 的增大而增大，
当 x>−2 时，y 随 x 的增大而减小，
∵ 13 13 5224 4 4
，
2 2 2 2 ，
3 2 3 2 5 ，
∴ <
故答案为： <
【点评】考查抛物线上点的坐标特征以及二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减
性进行求解即可.
15．若抛物线 C1：y＝x2+mx+2 与抛物线 C2：y＝x2﹣3x+n 关于 y 轴对称，则 m+n＝_____．
【答案】5．
【解析】【分析】
根据关于 y 轴对称的点的坐标规律，将解析式中的 x 换成-x，y 不变，化简即可得出答案.
【详解】
抛物线 C1：y＝x2+mx+2 与抛物线 C2：y＝x2﹣3x+n 关于 y 轴对称
x2+mx+2=（-x）2-3（-x）+n= x2+3x+n
m=3，n=2
m+n=3+2=5
故答案为 5
【点评】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于 y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键.
16．抛物线 y＝n（n+1）x2﹣（3n+1）x+3 与直线 y＝﹣nx+2 的两个交点的横坐标分别是 x1、x2，记 dn＝|x1
﹣x2|，则代数式 d1+d2+d3+…+d2018 的值为__．
【答案】2018
2019
【解析】【分析】
联立抛物线和直线的解析式，求得两个交点的横坐标，然后观察 dn 表达式的规律，根据规律进行求解即可．
【详解】
依题意，联立抛物线和直线的解析式有:
n(n+1)x2−(3n+1)x+3=−nx+2，
整理得：n(n+1)x2−(2n+1)x+1=0，
解得 x1=1
푛,x2= 1
푛+1；
所以当 n 为正整数时,dn=1
푛- 1
푛+1，
故代数式 d1+d2+d3+…+d2018=1−1
2+1
2-1
3+.......+ 1
2018- 1
2019=1- 1
2019=2018
2019
故答案为：2018
2019
【点评】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是观察规律.
三、解答题
17．已知二次函数 2 220yaxaxa ．
（1）该二次函数图象的对称轴是；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当 15x 时，函数图象的最高点为 M ，最低点为 N ，点 的
纵坐标为 11
2
，求点 和点 的坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点 11,A x y ， 22,Bxy ，设 1 1txt ，当 2 3x 时，均有 12yy ，
请结合图象，直接写出 t 的取值范围．
【答案】(1)x=1;(2) 11 5, 2M
, 5 1, 2N
;(3) 12t
【解析】【分析】
（1）二次函数的对称轴为直线 x=- 2
b
a ,带入即可求出对称轴,
（2）在区间内发现能够取到函数的最低点,即为顶点坐标,当开口向上是,距离对称轴越远,函数值越大,所以当
x=5 时,函数有最大值.
（3）分类讨论,当二次函数开口向上时不满足条件,所以函数图像开口只能向下,且 1x 应该介于-1 和 3 之间,
才会使 12yy ,解不等式组即可.
【详解】
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 2 12
ax a；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 1x ， 15x ，
∴当 5x 时， y 的值最大，即 115, 2M
．
把 代入 2 22y a x a x ，解得 1
2a ．
∴该二次函数的表达式为 21 22yxx ．
当 时， 5
2y ，
∴ 51, 2N
．
（3）易知 a 0,
∵当 2 3x 时，均有 ，
∴
1
13
t
t
,解得 12t
∴ t 的取值范围 ．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴,定区间内求函数值域,以及二次函数图像的性质,难度较大,综合性强,
熟悉二次函数的单调性是解题关键.
18．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐
地铁，准备在离家较近的 A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文
化宫站的距离为 x (单位：km)，乘坐地铁的时间 1y (单位：min)是关于 的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x/km 7 9 11 12 13
y1/min 16 20 24 26 28
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)李华骑单车的时间 2y (单位：min)也受 的影响，其关系可以用 = 1
2
2-11 ＋78 来描述．求李华应选
择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．
【答案】(1) y1=2x＋2 ；(2) 李华应选择在 B 站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短
时间为 39.5 min
【解析】【分析】
（1）将(7，16)，(9，20)代入一次函数解析式，便可求解．
（2）回到家所需的时间为 y，则 y=y1＋y2，y= = 1
2 x2-9x＋80 配方便可解决．
【详解】
解：(1)设 y1 关于 x 的函数解析式为 y1=kx＋b.将(7，16)，(9，20)代入，
得
7 16
9 20
kb
kb
解得
2
2
k
b
∴y1 关于 x 的函数解析式为 y1=2x＋2.
(2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为 y min，y=y1＋y2
则 y=y1＋y2=2x＋2＋ x2-11x＋78= x2-9x＋80= (x-9)2＋39.5.
∴当 x=9 时，y 取得最小值，最小值为 39.5.
所以李华应选择在 B 站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为 39.5 min.
【点评】本题考查利用待定系数求函数表达式，代入点便可求出，配方法的解决最值问题常用的方法，掌
握即可．
19．如图，在矩形 ABCD 中， 4A B C D c m ， 6A D B C c m ， 3A E D E c m ，点 P 从点 E 出发，
沿 EB 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 2cm/s，连接
PQ，设运动时间为 t（s）（ 02t ），解答下列问题：
（1）当 t 为何值时， //P Q B C ？
（2）设四边形 PBCQ 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 PBCQ 的面积是四边形 PQDE 的面积的 4 倍？若存在，求出 t 的值；
若不存在，说明理由.
（4）连接 BD，点 O 是 BD 的中点，是否存在某一时刻 t，使 P，O，Q 在同一直线上？若存在，求出 t 的
值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） 10
7t ；（ 2） 2331255ytt ；（ 3）存在. 171t 2
（4）不存在，详见解析。
【解析】【分析】
根据题意可知（1）根据勾股定理可得出 BE 的值，再由平行线分线段成比例 PEDQ
BECD 可得出答案。（2）
根据三角形相似对应边成比例可得到 BF 与 PF 的值，再利用面积的和得出结论。（3）先求出梯形 BCDE 的
面积，进而得到四边形 BCQP 的面积，建立方程联系进行求解（4）分别讨论当点 P 在点 O 上方和下方两种
情况，利用平行线分线段成比例，建立联系，进行证明。
【详解】
解：（1）由题意，得 90A ， E P t c m ， 2Q C t c m .
在 Rt△ ABE 中， 4A B c m ， 3A E c m ，
∴ 225cmBEABAE .
则 5PB t cm（ ） .若 //P Q B C .则 EP DQ
PB QC ，即 42
52
tt
tt
，∴ 10
7t .
（2）如图，过点 P 作 P F B C ，则 //P F A B ，
∴ BPFEBA .
又∵ 90BFPEAB ，
∴ BPF EBA .
∴ BFBPPF
EAEBBA，即 5
354
BFPF ，
∴ 3(5) cm5
tBF ， 4(5) cm5
tPF .
∴ 3(5 ) 3(5 )6 cm55
ttCF BC BF .
∴ 11()22PBF OQPFy SSBF PFCQ PF 梯形 .
21 3(5 ) 4(5 ) 14(5 ) 3(5 ) 3 3[2]122552555 5
ttttCFttt .
∴y 与 t 的函数关系式为 2331255y t t .
（3）存在.由题意，得
14634182ABEABCDBCDESSS 矩形四边形 .
∵ 4PBCQ PQDESS四边形 四边形 ，
∴ 2334 1218555tt ，
解得 1
1 17
2t （舍去）， 2
17 1
2t ，∴当 17 1t 2
时，四边形 PBCQ 的面积是四动形 PQDE 的
面积的 4 倍.
（4）不存在.理由：
①当点 P 在点 O 上方，点 Q 在点 O 下方时，如图 1，延长 QO 至点 Q'易得 '2A Q C Q t c m ，
过点 P 作 PMAE 于点 M，
∴ //PMAB ，∴ PMEF
ABEB ，即
45
PMt . 4 cm5PM t .
∵ 4 25 tt ，但实际 'PM AQ ，∴此时不存在.
②当点 P 在点 O 下方，点 Q 在点 O 上方时，如图 2，延长 QO 交 AB 于点 Q'，作 OG AB 于点 G，PH AB
于点 H.
则 1 2cm2BGAB， 1 32OGADcm.
∵ 5P B t c m（ ） ，
∴ 33(5 ) 3 cm55PH t t
， 44(5 ) 4 cm55BH t t
.
易证 (42)cmBQDQt ，
∴ 464 (4 2 ) cm55
tHQ BH BQ t t ，
2(42 )(22)cmGQBGBQtt ，
易证 ''Q H P Q G O ，
∴ PH HQ
OG GQ
，
∴
363 55
322
tt
t
，即 2 350tt ，
∴ 11 0 ，∴方程无解，∴不存在.
综上所述，不存在某一时刻 t，使 P，O，Q 在同一直线上.
【点评】本题综合性较强，做该类试题时，应该充分利用题干信息，灵活运用所学几何性质定理，且辅助
线务必正确简明，分情况讨论，不漏解。
20．某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售 200 千克，每千克可盈利 6 元，为减少库存，
经市场调查，如果这种核桃每千克降价 1 元，则每天可多售出 20 千克．
(1)设每千克核桃降价 x 元，平均每天盈利 y 元，试写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2)若要销售这种核桃平均每天盈利 960 元，则每千克应降价多少元？
【答案】(1)y＝－20x2－80x＋1 200. (2)2.
【解析】【分析】
（1）由题意，每千克核桃降价 x 元则可出售(200＋20x)千克，获利(6－x)，则可列 y＝(200＋20x)(6－x)，化
简即可；
（2）令 y＝960，再解出 x 即可.
【详解】
解：(1)根据题意，可得 y＝(200＋20x)(6－x)．
化简，得 y＝－20x2－80x＋1200.
(2)当 y＝960 时，－20x2－80x＋1200＝960.
即(x＋2)2＝16.
解得 x1＝2，x2＝－6(舍去)．
答：要使平均每天盈利 960 元，则每千克应降价 2 元．
【点评】此题主要考察二次函数的应用，根据题意列出式子是解题的关键.
21．某超市销售一种水果，迸价为每箱 40 元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱 72 元，每月可销
售 60 箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低 2 元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱水果降价 x
元（x 为偶数），每月的销量为 y 箱．
(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围．
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用 500 元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大
利润是多少元？
【答案】（1）y＝60+5x，（ 0≤x≤32，且 x 为偶数）；（2）售价为 62 元时，每月销售水果的利润最大，最大利
润是 1920 元．
【解析】【分析】
（1）根据价格每降低 2 元，平均每月多销售 10 箱，由每箱降价 x 元，多卖5x ，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价−成本）×销售量−每月其他支出列出函数关系式，求出最大值.
【详解】
解：（1）根据题意知 y＝60+5x，（ 0≤x≤32，且 x 为偶数）；
（2）设每月销售水果的利润为 w，
则 w＝（72﹣x﹣40）（ 5x+60）﹣500
＝﹣5x2+100x+1420
＝﹣5（x﹣10）2+1920，
当 x＝10 时，w 取得最大值，最大值为 1920 元，
答：当售价为 62 元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是 1920 元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价−成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函
数解决实际问题是解题的关键.
22．现有一面 12 米长的墙，某农户计划用 28 米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场 ABCD（篱笆只围 AB、
BC、CD 三边），其示意图如图所示．
（1）若矩形养鸡场的面积为 92 平方米，求所用的墙长 AD．（结果精确到 0.1 米）（参考数据： 2 ＝1.41，
3 ＝1.73， 5 ＝2.24）
（2）求此矩形养鸡场的最大面积．
【答案】（1）所用的墙长 AD 约为 10.5 米；（2）矩形养鸡场的最大面积为 96 平方米
【解析】【分析】
（1）直接根据题意表示出矩形的长与宽，再表示出矩形的面积即可得出答案；
（2）利用矩形的长与宽表示出其面积，再根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】
（1）设 AD＝x 米，则 AB＝ 1
2
（28﹣x）＝（14﹣ x）米，
根据题意，得：x（14﹣ x）＝92，
解得：x1＝14+2 3 ≈17.46＞12，不合题意，舍去．
x2＝14﹣2 ＝14﹣2×1.73≈10.5，
答：所用的墙长 AD 约为 10.5 米；
（2）设矩形养鸡场 ABCD 的面积为 S 平方米，则：
S＝x（14﹣ x）＝﹣ （x﹣14）2+98，
∵墙长 12 米，
∴0＜x≤12．
∴当 x＝12 时，S 取最大值为：﹣ （12﹣14）2+98＝96，
答：此矩形养鸡场的最大面积为 96 平方米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的实际应用，根据题中的数量关系正确表示出矩形面积
是解题的关键．
23．某工厂现有 20 台机器，每台机器平均每天生产 160 件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，
在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产 4 件产品．
（1）如果增加 x 台机器，每天的生产总量为 y 件，请你写出 y 与 x 之间的关系式及自变量的取值范围；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是多少？
（3）要使生产总量增加 300 件，则机器增加的台数应该是多少台？
【答案】（1）y=x2+80x+3200；（ 2）3600；（ 3）增加 5 台或 15 台；
【解析】【分析】
（1）根据题意增加 x 台机器，每台每天将少生产 4x 件产品，生产量为（160-4x）件，此时机器数为（20+x）
台，每天生产总量可求出；根据题意要提高生产总量，所以 y＞160×20=3200，结合函数图象可求出 x 的取
值范围；
（2）根据函数性质和顶点坐标公式求最值；
（3）生产总量增加 300 件，即 y=3200+300=3500，解方程求解．
【详解】
（1）y=（20+x）（ 160﹣4x）=﹣4x2+80x+3200，
（2）y=﹣4x2+80x+3200=﹣4（x﹣10）2+3600，
因为﹣4＜0，
所以当 x=10 时，y 最大=3600．
即增加 10 台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是 3600 件．
（3）生产总量增加 300 件，
即 y=3200+300=3500，
解方程﹣4x2+80x+3200=3500，得 x1=5，x2=15，
所以要使生 产总量增加 300 件，则机器增加的台数应该是 5 台或 15 台．
【点评】此题求自变量的取值范围较难点，运用二次函数的性质结合图象、解方程解决二次不等式的问题，
渗透了数形结合、方程与函数的解题思想和方法．
24．在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣ 1
2 x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 y＝﹣ x2+bx+c
的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图 1，点 D 是抛物线第四象限上的一动点，连接 DC，DB，当 S△ DCB＝S△ ABC 时，求点 D 坐标；
(3)如图 2，在(2)的条件下，点 Q 在 CA 的延长线上，连接 DQ，AD，过点 Q 作 QP∥y 轴，交抛物线于 P，
若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出 PQ 的长．
【答案】（1） 213222yxx ；（ 2） ( 5 , 3 )D ；（ 3）6
【解析】【分析】
（1）先求出 B、C 的坐标，然后代入二次函数的解析式，解方程组即可；
(2)过 D 作 DG⊥x 轴于 G，过 C 作 CF⊥DG 于 F，过 B 作 BE⊥CF 于 E．设 D（x，y），则 x＞0，y＜0．求
出 S△ ABC．根据 S△ CBD=S△ CDF－S△ CEB－S 梯形 EBDF 解方程解得到 x 的值，从而得到 D 的坐标；
(3)连接 AD，过 D 作 DM⊥x 轴于 M．先求出直线 CD 的解析式为 y=－x+2，得到 CO=OR=2，则 ∠ORC=45°．再
证明∠AQD=45°．通过勾股定理的逆定理得到 AC2+AD2= DC2，即有∠CAD=90°，从而有△ AQD 是等腰直角
三角形，由等腰三角形的性质得到 AQ=AD．通过证明△ QAN≌△ADM，得到 NA，QN 的长，进而得到 ON=4，
即可得到 N（－4，0），则 P 点横坐标为 x=-4，代入二次函数即可得到 y 的值，从而得到结论．
【详解】
（1）在 1 22yx 中，令 y=0，解得：x=4，∴B(4，0)，令 x=0，得：y=2，∴C(0，2)．把 B(4，0)，C(0，
2)代入 21
2yxbxc 中，得：
2
840
c
bc
，解得：
2
3
2
c
b
，∴二次函数的表达式为：
213222y x x ．
(2)过 D 作 DG⊥x 轴于 G，过 C 作 CF⊥DG 于 F，过 B 作 BE⊥CF 于 E．设 D（x，y）．
∵D 在第四象限，∴x＞0，y＜0．
∵B（4，0）， C(0，2)，∴CE=OB=4，CO=BE=FG=2，EF=BG=x-4，DF=DG+FG=2-y，S△ ABC= 1
2 AB×OC=
×（4+1）×2=5．
S△ CBD=S△ CDF－S△ CEB－S 梯形 EBDF= 111(2)42(4)(4)5222xyyx ，化简得：x+2y=－1．
∵D（x，y）在二次函数 213222yxx 上，∴ 2132(2)122xxx ，化简得： 2 4 5 0xx ，
∴（x－5）（ x+1）=0，∴x=5 或 x=－1（舍去）．
当 x=5 时，y= 21355222 =－3，∴D（5，－3）．
(3)如图，连接 AD，过 D 作 DM⊥x 轴于 M．设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，把 C（0，2）， D（5，－3）代
入得到：
2
53
b
kb
，解得：
1
2
k
b
，∴直线 CD 的解析式为 y=－x+2，令 y=0，解得：x=2，∴R(2，
0)，∴CO=OR=2，∴∠ORC=45°．
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠OAD=90°，∴∠ACO=∠OAD，
∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°，∴∠AQD=45°．
∵AC2=12+22=5，AD2=(5+1)2+32=45，DC2=52+(2+3)2=50，∴AC2+AD2=5+45=50= DC2，∴∠CAD=90°，
∴∠QAD=90°．
∵∠AQD=45°，∴△AQD 是等腰直角三角形，∴AQ=AD．
∵∠QAD=90°，∴∠NAQ+∠DAM=90°．
∵∠NAQ+∠AQN=90°，∴∠AQN=∠MAD．在 △ QAN 和△ ADM 中，∵∠AQN=∠MAD，∠QNA=∠AMD=90°，
AQ=AD，∴△QAN≌△ADM，∴NA=DM=3，QN=AM=6，∴ON=4，∴N（－4，0）．设 P（x，y）．
∵QP∥y 轴，∴P 点横坐标为 x=-4，∴y= 2134 4 222 （ ） =－12，∴PN=12，∴PQ=PN-QN=12－
6=6．
【点评】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求函数解析式，勾股定理及逆定理，全等三角形的
判定与性质．综合性强，难度较大．
