【数学】2019届一轮复习人教A版（文）2-4幂函数与二次函数学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）2-4幂函数与二次函数学案

‎ 2.4 幂函数与二次函数 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解幂函数的概念．‎ ‎2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．‎ ‎3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．‎ ‎4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.‎ 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.‎ ‎1．幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)常见的5种幂函数的图象 ‎(3)常见的5种幂函数的性质 函数 ‎ 特征 ‎ 性质 ‎ y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝‎ y＝x－1‎ 定义域 R R R ‎[0，＋∞)‎ ‎{x|x∈R，且x≠0}‎ 值域 R ‎[0，＋∞)‎ R ‎[0，＋∞)‎ ‎{y|y∈R，且y≠0}‎ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 ‎2.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式：‎ 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．‎ 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 知识拓展 ‎1．幂函数的图象和性质 ‎(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．‎ ‎(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎ ‎(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；‎ 当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．‎ ‎2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( × )‎ ‎(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( × )‎ ‎(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )‎ ‎(4)函数y＝2是幂函数．( × )‎ ‎(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )‎ ‎(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2．[P79T1]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )‎ A.B．1C.D．2‎ 答案 C 解析 由幂函数的定义，知 ‎∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.‎ ‎3．[P44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )‎ A．a≥3 B．a≤3‎ C．a＜－3 D．a≤－3‎ 答案 D 解析 函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，‎ ‎∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.‎ 题组三 易错自纠 ‎4．幂函数f(x)＝x(a∈ )为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于( )‎ A．3B．4C．5D．6‎ 答案 C 解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，‎ f(x)＝x(a∈ )为偶函数，‎ 且在区间(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，‎ 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.‎ ‎5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )‎ 答案 D 解析 由a＋b＋c＝0和a>b>c知，a>0，c<0，‎ 由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.‎ ‎6．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．‎ 答案 －1‎ 解析 函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，‎ ‎∴ymin＝2－6＋3＝－1.‎ 题型一 幂函数的图象和性质 ‎1．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )‎ A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 答案 A 解析 设f(x)＝xα，由已知得α＝，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．‎ ‎2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )‎ A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c 答案 B 解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B.‎ ‎3．若a<0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是( )‎ A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a 答案 B 解析 5－a＝a，因为a<0时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递减，且<0.5<5，‎ 所以5a<0.5a<5－a.‎ 思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．‎ ‎(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．‎ ‎(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．‎ 题型二 求二次函数的解析式 典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________．‎ 答案 f(x)＝x2－2x＋1‎ 解析 依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，‎ 又其图象过点(0,1)，∴4a－1＝1，‎ ‎∴a＝，∴f(x)＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.‎ ‎(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝‎ ‎________.‎ 答案 x2＋2x 解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，‎ 所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，‎ 得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.‎ 维升华求二次函数解析式的方法 跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.‎ ‎(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.‎ 答案 (1)x2＋2x＋1 (2)－2x2＋4‎ 解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，‎ 由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，‎ 故f(x)＝x2＋2x＋1.‎ ‎(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，‎ ‎∴－a＝－，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，‎ 又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.‎ 题型三 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的图象 典例两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图象可能是( )‎ 答案 D 解析 函数f(x)图象的对称轴为x＝－，函数g(x)图象的对称轴为x＝－，显然－与－ 同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧．只有D满足．‎ 命题点2 二次函数的单调性 典例函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )‎ A．[－3,0) B．(－∞，－3]‎ C．[－2,0] D．[－3,0]‎ 答案 D 解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．‎ 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，‎ 由f(x)在[－1，＋∞)上递减知 解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．‎ 引申探究 若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.‎ 答案 －3‎ 解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0，‎ 又＝－1，∴a＝－3.‎ 命题点3 二次函数的最值 典例已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．‎ 解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.‎ ‎(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；‎ ‎(2)当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；‎ ‎(3)当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.‎ 综上可知，a的值为或－3.‎ 引申探究 将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．‎ 解 f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，‎ ‎∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.‎ ‎(1)当－a＜即a＞－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5，‎ ‎(2)当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，‎ 综上，f(x)max＝ 命题点4 二次函数中的恒成立问题 典例 (1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案 (－∞，－1)‎ 解析 f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，‎ 令g(x)＝x2－3x＋1－m，‎ 要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，‎ 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．‎ ‎∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.‎ 由－m－1>0，得m<－1.‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．‎ ‎(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．‎ 答案 解析 2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．‎ 当x＝0时，－3<0，成立；‎ 当x≠0时，a<2－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，∴a<.‎ 综上，实数a的取值范围是.‎ 思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：‎ ‎(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；‎ ‎(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．‎ ‎(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．‎ 跟踪训练 (1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )‎ 答案 D 解析 由A，C，D知，f(0)＝c＜0，‎ 从而由abc＞0，所以ab＜0，所以对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c＞0，‎ 所以ab＞0，所以x＝－＜0，B错误．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．‎ 答案 －1或3‎ 解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，‎ 所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，‎ 当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，‎ 即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.‎ ‎(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．‎ 答案 解析 由题意得a＞－对1＜x＜4恒成立，‎ 又－＝－22＋，＜＜1，‎ ‎∴max＝，∴a＞.‎ 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 典例 (12分)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．‎ 思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．‎ 规范解答 解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.[2分]‎ 当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，‎ 所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；[5分]‎ 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；[8分]‎ 当t＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，‎ 所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.[11分]‎ 综上可知，f(x)min＝[12分]‎ ‎1．若函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上( )‎ A．先减后增 B．先增后减 C．单调递减 D．单调递增 答案 D ‎2．(2017·江西九江七校联考)若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )‎ A．1或3B．1C．3D．2‎ 答案 B 解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8＞0，‎ 解得m＝1.‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意知即得a>.‎ ‎4．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )‎ A．[0，＋∞) B．(－∞，0]‎ C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)‎ 答案 C 解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，‎ 若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.‎ ‎5．已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1f(x2)‎ C．f(x1)0，又x1＋x2＝0，‎ ‎∴当x1，x2在对称轴的两侧时，‎ －x1>x2－，故f(x1)0，‎ 故01，即a>2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，不合题意；‎ ‎②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意；‎ ‎③当<0，即a<0时，不符合题意．‎ 综上，a的取值范围是[0,2]．‎ ‎16．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，‎ F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；‎ ‎(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．‎ 解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，‎ 解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.‎ ‎∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.‎ ‎(2)由题意得，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，‎ 即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．‎ 又当x∈(0,1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.‎ 故b的取值范围是[－2,0]．‎