- 2021-04-16 发布 |
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文档介绍
高考数学命题角度5_6圆锥曲线的探究、存在性问题大题狂练理
命题角度 5.6:圆锥曲线的探究、存在性问题 1.在平面直角坐标系中,直线 不过原点,且与椭圆 有两个不同的公 共点 . (Ⅰ)求实数 取值所组成的集合 ; (Ⅱ)是否存在定点 使得任意的 ,都有直线 的倾斜角互补.若存在,求出所有定 点 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(I) ;(II) 或 . 【解析】试题分析:(1)联立直线与椭圆的方程运用二次方程的判别式建立不等式进行求解; (2)充分利用题设条件建立方程,借助坐标之间的关系进行运算求解、推理论证: (II)假设存在定点 使得任意的 ,都有直线 的倾斜角互补, 即 ,令 , 所以 , 整理得: , 经检验,满足题意, 所以存在定点 使得任意的 ,都有直线 的倾斜角互补, 坐标为 或 . 点睛:椭圆是典型的圆锥曲线代表之一,也高考必考的重要考点之一。本题的设置旨在考查 椭圆的标准方程及几何性质等基础知识和基本技能,同时检测转化化归能力、运算求解能力 及数形结合思想函数方程思想等数学思想和方法。求解第一问的思路是联立直线与椭圆的位 置关系的方程运用二次方程的判别式建立不等式进行求解;第二问的求解过程则充分利用题 设条件进行运算求解、推理论证从而使得问题获证。 2.已知椭圆 :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b 的左、右顶点分别为 1A 、 2A ,上、下顶点分别为 2B 、 1B , O 为坐标原点,四边形 1 1 2 2A B A B 的面积为 4 ,且该四边形内切圆的方程为 2 2 4 5x y . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 M 、 N 是椭圆C 上的两个不同的动点,直线 OM 、 ON 的斜率之积等于 1 4 ,试 探求 OMN 的面积是否为定值,并说明理由. 【答案】(Ⅰ) 2 2 14 x y ;(Ⅱ)1. 【解析】试题分析: (1)利用题意求得 a 2 , b 1 ,则椭圆 C 的方程为: 2 2x y 14 ; (2)分别考查斜率存在和斜率不存在两种情况,求得 OMN 的面积为定值1. (Ⅱ)若直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 的方程为 y kx m , 1 1,M x y , 2 2,N x y , 由 2 2{ 14 y kx m x y 得: 2 2 21 4 8 4 1 0k x mkx m 直线 l 与椭圆C 相交于 ,M N 两个不同的点, 2 2 2 264 16 1 4 1 0m k k m 得: 2 21 4 0k m ③ 由韦达定理: 2 1 2 1 22 2 4 18 ,1 4 1 4 mmkx x x xk k 直线 ,OM ON 的斜率之积等于 1 4 , 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 4 kx m kx m km x x k x x my y x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 1 1 4 4 1 44 1 4 1 km mk k m m k m k m m 2 22 4 1m k 满足③ 1 2 1 2 2 4 2, 2kx x x xm m 又O 到直线 MN 的距离为 21 md k , 2 22 2 1 2 1 2 2 16 81 4 1 8kMN k x x x x k m 所以 OMN 的面积 2 2 2 21 1 116 8 8 16 8 4 4 1 12 2 2S MN d k m k k 若直线 MN 的斜率不存在, ,M N 关于 x 轴对称 设 1 1,M x y , 1 1,N x y ,则 1 1 1 1 1 4 y y x x , 2 2 1 14x y 又 M 在椭圆上, 2 21 1 14 x y , 1 1 22, 2x y 所以 OMN 的面积 1 1 1 12 2 2 12 2S y x 综上可知, OMN 的面积为定值1. 3.已知动圆 P 经过点 1,0N ,并且与圆 2 2: 1 16M x y 相切. (1)求点 P 的轨迹C 的方程; (2)设 ,0G m 为轨迹C 内的一个动点,过点G 且斜率为 k 的直线l 交轨迹C 于 A B、 两点, 当 k 为何值时? 2 2| |GA GB 是与 m 无关的定值,并求出该值定值. 【答案】(1) 2 2 14 3 x y ;(2)见解析. 【解析】试题分析:(1)由椭圆定义易知轨迹为椭圆,确定 a , b 即可; (2)设 1 1 2 2, , , , ,0 ( 2 2)A x y B x y G m m ,直线 :l y k x m ,与椭圆联立得 2 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k mx k m , 进 而 通 过 韦 达 定 理 建 立 根 与 系 数 的 关 系 , 2 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 mk k mx x x xk k , 由 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | 2 2 2 2GA GB x m y x m y x x x x m x x m y y y y ,代入化简即可求定值. 试题解析: (1)由题设得: 4PM PN ,所以点 P 的轨迹C 是以 M N、 为焦点的椭圆, 2 22 4,2 2, 3,a c b a c 椭圆方程为 2 2 14 3 x y . (2)设 1 1 2 2, , , , ,0 ( 2 2)A x y B x y G m m ,直线 :l y k x m , 由 2 2{ 14 3 y k x m x y 得 2 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k mx k m , 2 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 mk k mx x x xk k 1 2 1 2 1 2 2 62 4 3 mky y k x m k x m k x x km k . 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 4 4 3 k m y y k x m x m k x x k m x x k m k . 2 22 2 2 2 1 1 2 2| |GA GB x m y x m y 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2x x x x m x x m y y y y 2 2 2 2 22 6 4 3 24 3 1 4 3 m k k k k 2 2| |GA GB 的值与 m 无关, 24 3 0k , 解得 3 2k .此时 2 2| | 7GA GB . (方法 2 :①当 2 0k 时,…;②当 0k 时,设直线 :l x k y m ,…;可以减少计算量.) 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 M 到点 1,0F 的距离与它到直线 2x 的距离之比为 2 2 . (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设直线 0y kx m m 与曲线 E 交于 ,A B 两点,与 x 轴、 y 轴分别交于 ,C D 两点 (且C D、 在 A B、 之间或同时在 A B、 之外).问:是否存在定值 k ,对于满足条件的任意 实数 m ,都有 OAC 的面积与 OBD 的面积相等,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理 由. 【答案】(1) 2 2 12 x y ;(2)存在, 2 2k . 试题解析:(1)设 ,M x y ,则 2 21 2 2 2 x y x ,整理得 2 2 12 x y , ∴轨迹 E 的方程为 2 2 12 x y (2)联立 2 22 2 y kx m x y 消去 y 得 2 2 21 2 4 2 2 0k x mkx m , 2 2 2 2 24 4 1 2 2 2 8 2 1mk k m k m ,由 0 得 2 22 1 *m k . 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,则 1 2 2 4 2 1 mkx x k , 由题意,不妨设 ,0 , 0,mC D mk , OAC 的面积与 OBD 的面积总相等 AC BD 恒成立 线段 AB 的中点与线段 CD 的中点重合 ∴ 2 4 2 1 mk m k k ,解得 2 2k , 即存在定值 2 2k ,对于满足条件 0m ,且 2m (据(*)的任意实数 m , 都有 OAC 的面积与 OBD 的面积相等. 考点:椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线问题,其中解答中涉及到椭圆的标准方程、直 线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以 及推理与运算能力,本题解答中利用直线与椭圆的方程联立,利用方程的根与系数的关系、 韦达定理的应用是解答关键,试题有一定的难度,属于中档试题. 5.已知椭圆C : 2 2 2 2 1x y a b ( 0a b )的离心率为 6 3 ,以原点O 为圆心,椭圆C 的长 半轴长为半径的圆与直线 2 2 6 0x y 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 ,A B 为动直线 2 0y k x k 与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否存 在定点 E ,使得 EA EB 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值;若不存在,请说明理 由. 【答案】(Ⅰ) 2 2 16 2 x y ;(Ⅱ) 7 ,03 . 【解析】试题分析:(1)由 6 3e ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴为半径与直线 2 2 6 0x y 相切,求出 ,a b 的值,由此可求出椭圆的方程; (2)由 2 2 2 { 16 2 y k x x y 得 2 2 2 21 3 12 12 6 0k x k x k ,由此利用韦达定理、向量的数 量积,结合已知条件能求出在 x 轴上存在点 E ,使 EA EB 为定值,定点为 7 ,03 。 (Ⅱ)由 2 2 2 { x 16 2 y k x y 得 2 2 2 21 3 12 12 6 0k x k x k ,且 0 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,则 2 1 2 2 2 1 2 2 12 1 3{ 12 6 1 3 kx x k kx x k , 根据题意,假设 x 轴上存在定点 ,0E m ,使得 EA EB 为定值,则有 1 1 2 2 1 2 1 2, ,EA EB x m y x m y x m x m y y 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 4x m x m k x x k x x k m x x k m 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 12 10 612 6 121 2 41 3 1 3 1 3 m m k mk kk k m k mk k k 要使上式为定值,即与 k 无关,则应 2 23 12 10 3 6m m m , 即 7 3m ,此时 2 56 9EA EB m 为定值,定点为 7 ,03 . 点睛:本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用,其中解答中涉及到椭圆的标准方 程及其简单的几何性质,直线与椭圆的位置关系的综合应用,着重考查了学生分析问题和解 答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中把直线方程与椭圆方程联立,转化为方 程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答的关键。 6. 如 图 , 已 知 椭 圆 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b 经 过 不 同 的 三 点 5 5 1 3, , , , (2 4 2 4A B C C 在第三象限),线段 BC 的中点在直线OA上. (Ⅰ)求椭圆 的方程及点C 的坐标; (Ⅱ)设点 P 是椭圆 上的动点(异于点 , , )A B C 且直线 ,PB PC 分别交直线OA于 ,M N 两 点,问 OM ON 是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由. 【答案】(1) 3 1, .2 4 ;(2) 25 16 . 【解析】试题分析:(1)点 5 5 1 3, , , ,2 4 2 4A B 的坐标代入椭圆的方程就可求得方程, 设点C 的坐标,根据条件可得点C 的坐标代入椭圆方程,BC 中点坐标代入直线OA的方程, 两方程联立可求点C 的坐标;(2)设 0 0 1 1 2 2, , 2 , , 2 , .P x y M y y N y y ,根据 , ,P B M 三 点共线,用点 P 的坐标 0 0,x y 表示 1y ,同理用点 P 的坐标 0 0,x y 表示 2y 。再求 1 2y y 为定值, 所以 1 2 1 2 255 5 5 16OM ON y y y y 。 试题解析:(Ⅰ)由点 ,A B 在椭圆 上,得 2 2 2 2 5 5 1,4 16{ 1 9 14 16 a b a b 解得 2 2 5 ,2{ 5.8 a b 所以椭圆 的方程 为 2 2 1.5 5 2 8 x y ………………………3 分 由已知,求得直线OA的方程为 2 0,x y 从而 2 1.m n (1) 又点C 在椭圆 上,故 2 22 8 5.m n (2) 由(1)(2)解得 3 4n (舍去)或 1 .4n 从而 3 ,2m 所以点C 的坐标为 3 1, .2 4 ………………………………………6 分 (Ⅱ)设 0 0 1 1 2 2, , 2 , , 2 , .P x y M y y N y y 因 , ,P B M 三点共线,故 1 0 1 0 3 3 4 4 ,1 12 2 2 y y y x 整理得 0 0 1 0 0 3 2 .4 2 1 x yy y x 因 , ,P C N 三点共线,故 2 0 2 0 1 1 4 4 ,3 32 2 2 y y y x 整理得 0 0 2 0 0 6 .4 2 1 x yy y x ……………10 分 因点 P 在椭圆 上,故 2 2 0 02 8 5x y ,即 2 2 0 0 5 4 .2x y 从而 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 0 0 0 00 0 3 2 6 3 20 12 16 4 4 116 2 1 x y x y x x y yy y y x x yy x 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 33 4 20 12 5 4 52 2 .5 3 1616 4 1 16 42 2 y x y y x y x y x y 所以 1 2 1 2 255 5 5 16OM ON y y y y 为定值. ………………………15 分 【点睛】1.求点的坐标可由条件得关于坐标的两个关系式,解方程组即可;2.因为 ,M N 两点, 在 直 线 OA 上 , 设 0 0 1 1 2 2, , 2 , , 2 , .P x y M y y N y y 所 以 1 2 1 25 5 5OM ON y y y y ,再由条件找 ,M N 两点的坐标与点 P 的坐标的关系, 根据点 P 在椭圆上,可求 1 2y y 为定值。 7.已知 椭圆 C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b 的左 右焦点分 别是 1 2,0 , ,0F c F c ,直 线 :l x my c 与椭圆 C 交于两点 ,M N ,当 3 3m 时, M 恰为椭圆 C 的上顶点,此时 1 2MF F 的面积为 6. (1)求椭圆C 的方程; (2)设椭圆C 的左顶点为 A ,直线 ,AM AN 与直线 4x 分别相交于点 ,P Q ,问当 m 变化 时,以线段 PQ 为直径的圆被 x 轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说 明理由. 【答案】(1) 2 2 14 3 x y ;(2)弦长为定值 6. 【解析】试题分析:(1)根据 3 3m 时,直线的倾斜角为120 ,又 1 2MF F 的周长为 6, 即可求得椭圆方程;(2)利用特殊位置猜想结论:当 0m 时,直线l 的方程为: 1x ,求 得以 PQ 为直径的圆过右焦点,被 x 轴截得的弦长为 6 ,猜测当 m 变化时,以 PQ 为直径的 圆恒过焦点 2F ,被 x 轴截得的弦长为定值 6,再进行证明即可. 试题解析:(1)当 时,直线的倾斜角为120,所以: 解得: 2, 1 3a c b ,所以椭圆方程是: ; (2)当 0m 时,直线l : 1x ,此时, , ,又 A 点坐标是 ,据 此 可得 , ,故以 PQ 为直径的圆过右焦点,被 x 轴截得的弦长为 6.由此猜测当 m 变化时,以 PQ 为直径的圆恒过焦点 2F ,被 x 轴截得的弦长为定值 6. 证明如下:设点 ,M N 点的坐标分别是 1 1 2 2, , ,x y x y ,则直线 AM 的方程是: ,所以点 P 的坐标是 ,同理,点Q 的坐标是 , 由方程组 得到: , 所以: , 从而: 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 36 364 1 4 1 92 2 3 3 y y y yF P F Q x x my my =0, 所以:以 为直径的圆一定过右焦点 ,被 轴截得的弦长为定值 6. 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题,属于 难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求 出定值,再证明这个值与变量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量, 从而得到定值. 8.已知 4,0M , 1,0N ,曲线C 上的任意一点 P 满足: 6MN MP PN . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)过点 1,0N 的直线与曲线 C 交于 A , B 两点,交 y 轴于 H 点,设 1HA AN , 2HB BN ,试问 1 2 是否为定值?如果是定值,请求出这个定值,如果不是定值,请 说明理由. 【答案】(1) 2 2 14 3 x y ;(2) 8 3 . 【解析】试题分析:(Ⅰ)求出向量的坐标,利用条件化简,即可求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)分类讨论,利用 1HA AN , 2HB BN ,结合韦达定理,即可得出结论. 试题解析:(1)设 ,P x y ,则 3,0MN , 4,MP x y , 1 ,PN x y , ∵ 6MN MP PN ,∴ 2 23 4 0 6 1x y x y , 化简得, 2 2 14 3 x y 为所求点 P 的轨迹方程. (2)设 1 1,A x y , 2 2,B x y . ①当直线l 与 x 轴不重合时,设直线l 的方程为 1 0x my m , 则 10,H m ,从而 1 1 1,HA x y m , 1 11 ,AN x y ,由 1HA AN 得 1 1 1 1 1 1, 1 ,x y x ym , 1 1 1 1y ym , 1 1 11 my , 同理由 2HB BN 得 2 2 11 my , ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 12 2 y y my my m y y .① 由 2 2 1 { 14 3 x my x y ,得 2 24 3 6 9 0m y my . ∴ 1 2 2 6 4 3 my y m , 1 2 2 9 4 3y y m , 代入①式得 1 2 1 2 1 2 1 2 82 2 3 3 y y m y y ,∴ 1 2 8 3 . ②当直线l 与 x 轴重合时, 2,0A , 2,0B , 0,0H . 由 1HA AN , 2HB BN ,得 1 2 3 , 2 2 ,∴ 1 2 8 3 , 综上, 1 2 为定值 8 3 . 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少, 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题 同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理, 到最后必定参数统消,定点、定值显现. 9.已知椭圆 C : 2 2 2 2 1x y a b ( 1a b )的左焦点 F 与抛物线 2 4y x 的焦点重合,直 线 2 02x y 与以原点 O 为圆心,以椭圆的离心率 e 为半径的圆相切. (Ⅰ)求该椭圆C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交椭圆于 A , B 两点,线段 AB 的中点为G , AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D , E 两点.记 GFD 的面积为 1S , OED 的面积为 2S .问:是否存 在直线 AB ,使得 1 2S S ,若存在,求直线 AB 的方程,若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ) 2 2 14 3 x y ;(Ⅱ)见解析. 试题解析: (Ⅰ)由题意,得 1c , 20 0 2 1 22 e ,即 1 2 c a ,∴ 2a , 1b ∴所求椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y . (Ⅱ)假设存在直线 AB 使 1 2S S ,显然直线 AB 不能与 x , y 轴垂直. ∴直线 AB 的斜率存在,设其方程为 1y k x ( 0k ), 将其代入 2 2 14 3 x y 整理得 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k , 设 1 1,A x y , 2 2,B x y , 2 1 2 2 8 4 3 kx x k , 1 2 1 2 2 61 1 4 3 ky y k x k x k , ∴ 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k kG k k , ∵ DG AB ,∴ 2 2 2 3 4 3 14 4 3 D k k kk xk , 解得 2 24 3D kx k ,即 2 2 ,04 3 kD k , ∵ GFD OED ,∴ GF DG OE OD ,∴ 2 GF DG DG OE OD OD , 即 2 1 2 DGS S OD ,又∵ 1 2S S ,∴ GD OD , ∴ 2 22 2 2 2 2 2 2 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 k k k k k k k k , 整理得 28 9 0k 因为此方程无解,故不存在直线 AB 满足 1 2S S . 10. 已 知 椭 圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b , 设 P 为 椭 圆 上 一 点 , 且 1 2 60 ,F PF 3 3 21 FPFS . (Ⅰ)求b ; (Ⅱ)若 2a , ),0( bA ,是否存在以 A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形?若存 在,请求出共有几个?若不存在,请说明理由. 【答案】(I) 1b ;(II)存在3个,理由见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据椭圆定义及性质知 2m n a , 2 2 2a b c ,在焦点三角形 1 2PF F 中, 由余弦定理得: 2 2 2 2 2 1 2(2 ) 2 cos ( ) 3 (2 ) 3c m n mn F PF m n mn a mn ,得: 24 3mn b ,再有 1 2 21 3sin 602 3PF FS mn b ,得: 13b ;(Ⅱ)先分析特殊情况,当 ,AB AC 中一个斜率为零,一个斜率不存在显然不符合题意, 设 : 1AB y kx ,不妨设 0k ,联立直线和椭圆,利用直线和椭圆的位置关系得 1 2 2 80, 4 1 kx x k ,从而 2 2 8| | 1 | |4 1 kAB k k ,根据 ,AB AC AB AC ,可得: 2 2 2 2 8 8 11 | |4 1 4 k kk k k , 化简求解 1 2 3 3 5 3 51 ,2 2k k k , ,故存在 3个. (Ⅱ)当 ,AB AC 中一个斜率为零,一个斜率不存在显然不符合题意, 设 : 1AB y kx ,不妨设 0k , 联立直线 AB 和椭圆方程得 08)14( 22 kxxk , 解得两根为 1 2 2 80, 4 1 kx x k , 所以 2 2 8| | 1 | |4 1 kAB k k ,由 ACAB ,得 1 ACAB kk 把 || AB 中的 k 换成 k 1 ,可得 2 2 2 2 181 8 1| | 1 | |1 44 1 kkAC k k k 由 |||| ACAB 的 2 2 2 2 8 8 11 | |4 1 4 k kk k k ,结合 0k 化简得 0144 23 kkk , 整理得 0)13)(1( 2 kkk 解得 1 2 3 3 5 3 51 ,2 2k k k , ,均符合 0k , 所以符合条件的 ABC 的个数有 3 个. 考点:1、椭圆的简单几何性质;2、直线和椭圆的位置关系. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程,椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系, 属于难题.解决本类问题时,注意使用椭圆的定义,焦点三角形中余弦定理及三角形面积公 式,即可求得b ;存在性问题一般先假设存在然后去处理,本题注意先设一条直线,利用两条 直线垂直得另一条直线的斜率,类比的的方式去计算| |,| |AB AC ,然后转化为关于 k 的方程, 讨论其解的问题.查看更多