备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题06 函数的图象

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题06 函数的图象

专题06 函数的图象 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查.‎ ‎（一）基础知识 ‎1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.‎ ‎2、做草图需要注意的信息点：‎ ‎ 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：‎ ‎（1）一次函数：,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线.‎ 特点：两点确定一条直线.‎ 信息点：与坐标轴的交点.‎ ‎（2）二次函数：，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确.‎ 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点.‎ ‎（3）反比例函数：,其定义域为，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线.‎ 特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线.‎ 信息点：渐近线 注：‎ ‎（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，轴是渐近线，那么当，曲线无限向轴接近，但不相交，则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。‎ 19‎ ‎（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若（或）时，常数，则称直线为函数的水平渐近线 ‎ 例如： 当时，，故在轴正方向不存在渐近线 ‎ 当时，，故在轴负方向存在渐近线 ‎（3）竖直渐近线的判定：首先在处无定义，且当时，（或），那么称为的竖直渐近线 例如：在处无定义，当时，，所以为的一条渐近线.‎ 综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线.‎ ‎2、函数图象变换：设函数，其它参数均为正数 ‎（1）平移变换：‎ ‎：的图象向左平移个单位 ‎：的图象向右平移个单位 ‎：的图象向上平移个单位 ‎：的图象向下平移个单位 ‎（2）对称变换：‎ ‎：与的图象关于轴对称 ‎：与的图象关于轴对称 ‎：与的图象关于原点对称 ‎（3）伸缩变换：‎ ‎：图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 ‎ ‎：图象横坐标不变，纵坐标变为原来的 ‎（4）翻折变换：‎ 19‎ ‎：即正半轴的图象不变，负半轴的原图象不要，换上与正半轴图象关于轴对称的图象 ‎：即轴上方的图象不变，下方的图象沿轴对称的翻上去.‎ ‎（二） 方法与技巧：‎ ‎1、在处理有关判断正确图象的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：‎ ‎（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图象位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间 ‎（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 ‎（3）极值点 ‎（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察 ‎（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分. ‎ ‎2、利用图象变换作图的步骤：‎ ‎（1）寻找到模板函数（以此函数作为基础进行图象变换）‎ ‎（2）找到所求函数与的联系 ‎（3）根据联系制定变换策略，对图象进行变换.‎ ‎3、如何制定图象变换的策略 ‎（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：‎ ‎① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ‎② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换 ‎（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：‎ ‎① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ‎② 横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化 例如：可有两种方案 19‎ 方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即 方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位 ‎③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：有两种方案 方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即 方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）‎ ‎4、变换作图的技巧：‎ ‎（1）图象变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图象的精确性 ‎ ‎（2）图象变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等 ‎【经典例题】‎ 例1【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是 ‎【答案】D ‎ 19‎ ‎【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．‎ 例2【2017课标3】函数的部分图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ D．‎ ‎ C D ‎【答案】D 例3【2019届江西师范大学附属中学高三4月月考】函数y=x+cosx的大致图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.‎ 19‎ 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 例4. 已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图像可得：时，，时，，所以所解不等式为：或，可得：.‎ 例5【2019届湖南省衡阳市高三二模】已知函数的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 19‎ 例6【2019届河北省保定市高三一模】定义在上的偶函数满足，当时， ，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以周期为2，函数关于对称，作图可得四个交点横坐标关于对称，其和为，选B.‎ ‎【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ 例7【2019届新疆乌鲁木齐市高三第二次质量监测】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 19‎ ‎ ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的图象的判断等基础知识,意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.‎ 例8【2019届甘肃省天水市第一中学高三上学期期中】已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 19‎ ‎ 【名师点睛】由函数是上的奇函数，结合函数图像的平移，得到函数的图像关于对称，可得，可用倒序相加法求和.‎ 例9【2019届广西陆川县中学高三3月月考】若函数满足：对于图象上任意一点P，在其图象上总存在点，使得成立，称函数是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：‎ ‎①；② (其中e为自然对数的底数)；③；④；x/k*-w ‎⑤．‎ 其中是“特殊对点函数”的序号是__________．(写出所有正确的序号)‎ ‎【答案】②④⑤‎ 19‎ ‎③对于 ；所以不是“特殊对点函数”；‎ ‎④由图知,对于任意一点P，在其图象上总存在点，使得，所以是“特殊对点函数”；‎ ‎⑤由图知,对于任意一点P，在其图象上总存在点，使得，所以是“特殊对点函数”；‎ 综上“特殊对点函数”的序号是②④⑤‎ ‎【名师点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.‎ 19‎ 例10【2019届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知函数将的图象向右平移两个单位，得到函数的图象.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)借助平移的知识可以直接求出函数解析式 ‎（2）先换元将问题转化为有且只有一个根，再运用函数方程思想建立不等式组分析求解.‎ ‎（1）（2）设，则，原方程可化为，于是只须 法2：由，，得，，设，则，.‎ 记，则在上是单调函数，因为故要使题设成立，只须.即.从而.‎ ‎【名师点睛】在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法，转化为一元二次函数的问题，根据题目要求，如需要分类讨论，再加入分类讨论.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1【2019届山东省天成大联考第二次】函数的图象大致是（ ）‎ 19‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎2．【2019届福建省三明市第一中学高三下学期开学】给出下列四个函数：‎ ‎①；②；③；④.‎ 这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是(　　)‎ A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①‎ ‎【答案】A 19‎ ‎【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎3【2019届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考】若直角坐标系内、两点满足：（1）点、都在图象上；（2）点、关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”， 与可看作一个“和谐点对”.已知函数，则的“和谐点对”有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】B ‎【解析】作出函数（）的图像关于原点对称的图像，看它与函数的交点个数即可，观察可得交点个数为2.选B.‎ ‎【名师点睛】新定义型题一是按定义处理问题，二是转化为己学过的知识与方法处理，本题与可看作一个“和谐点对”，其实是部分图像关于原点对称与另一部分图像交点个数问题.‎ ‎4【2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测（三）】函数的部分图象大致为（ ）‎ 19‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【名师点睛】识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎5【高考题】函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ 19‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察函数图像突出的特点便可确定的符号：特点1：渐近线在正半轴，从解析式可知的竖直渐近线为即，所以 ‎ 特点2： 时，仍大于0，通过解析式可得的符号由决定，所以从“时，仍大于0”中可推断出 ‎ 特点3：图像与轴交点纵坐标为正，，所以 ‎ 综上所述，选项 ‎ ‎6．【2019届北京市汇文实验中学高三九月月考】函数的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线关于轴对称,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【名师点睛】本题主要考查的是函数的图象与图象变化，还考查了函数解析式的求解以及常用方法。首先求出与函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式，然后换为即可得到要求的答案.‎ ‎7．【2019届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】函数与 19‎ 在同一坐标系内的图象不可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为的图像过原点,所以图像中过原点的抛物线是函数的图像,在选项C中,上面的图像是函数的图像, 下面的是函数的图像,所以,所以,由题得,因为a<0,所以恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增，不是选项C中的图像，故选C.‎ ‎8．已知函数，则函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 19‎ ‎9．【2019届广东省高三一模】设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数的图象如图所示．‎ ‎【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到；二是根据图象判断出c的取值范围，进而得到的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围．‎ ‎10．【2019届福建省数学基地校】为了得到函数的图象，可将函数图象上所有点的 A. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 19‎ B. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 所以纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到的图像，选B.‎ ‎11．【2019届江西省新余市第一中学高三第二模】已知为奇函数， 与图像关于对称，若，则（ ）‎ A. 2 B. -2 C. 1 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】为奇函数，故的图象关于原点对称，而函数的图象可由图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得到，故的图象关于点对称，又与图象关于对称，故函数的图象关于点对称， ，即，故点，关于点对称，故，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的.‎ ‎12．【2019年北京市丰台区高三年级一模】函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.‎ 19‎ ‎①当时，y的取值范围是______;‎ ‎②如果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是______.‎ ‎【答案】 ‎ 当时， 或，‎ 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，‎ 所以对于任意，要使得，则， 或，‎ 则实数的最大值是．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.‎ 19‎