高考数学复习专题练习第3讲 等比数列及其前n项和

高考数学复习专题练习第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n项和 一、选择题 ‎1．若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N＋)，则以下命题正确的是(　　)‎ ‎①{a2n}是等比数列；②是等比数列；③{lg an}是等差数列；④{lg a}是等差数列．‎ A．①③ B．③④‎ C．①②③④ D．②③④‎ 解析 ∵an＝qn(q>0，n∈N＋)，∴{an}是等比数列，因此{a2n}，是等比数列，{lg an}， {lg a}是等差数列．‎ 答案 C ‎2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a‎1a2a3＝5，a‎7a8a9＝10，则a‎4a5a6＝(　　)‎ A．5 B．7‎ C．6 D．4 解析 ∵{an}为等比数列，∴(a‎4a5a6)2＝(a‎1a2a3)(a‎7a8a9)＝50，∵an>0，∴a‎4a5a6＝5.‎ 答案 A ‎3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝(　　)．‎ A．2 B. C．2或 D．3‎ 解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，‎ 化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.‎ 答案　A ‎4．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a‎2a6＝8，则S8＝ (　　)．‎ A．8 B．15(＋1)‎ C．15(－1) D．15(1－)‎ 解析　∵a‎2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)．‎ 答案　B ‎5．若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N＋)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an} 是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则(　　)‎ A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的充要条件 C．甲是乙的必要条件但不是充分条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：乙⇒甲，但甲⇒/ 乙，如数列2,2，－2，－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列．‎ 答案：C ‎6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)‎ A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 解析 设前三项为a1，a1q，a1q2，最后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aq3＝2，最后三项之积aq3n－6＝4.所以两式相乘，得 aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aq＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.‎ 答案 B 二、填空题 ‎7．在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的值为________．‎ 解析　因为an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7.‎ 答案　7‎ ‎8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.‎ 解析 由S3＋3S2＝0得‎4a1＋‎4a2＋a3＝0，有4＋4q＋q2＝0，解得q＝－2.[来 答案 －2‎ ‎9．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有 an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.‎ 解析 由{an}为等比数列可知an≠0，又∵an＋2＋an＋1－2an＝0，∴q2＋q－2 ＝0，∴q＝ 1(舍)或q＝－2.∴S5＝＝11.‎ 答案 11‎ ‎10．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－d；④若d>0，则Sn一定有最大值．‎ 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．‎ 解析　对于①，注意到＝an＋1－an＝d是一个非零常数，因此数列是等比数列，①正确．对于②，S13＝＝＝13，因此②正确．对于③，注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋d＝nan－d，因此③正确．对于④，Sn＝na1＋d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.‎ 答案　①②③‎ 三、解答题 ‎11．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎(1)证明　∵an＋Sn＝n， ①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②‎ ‎②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，‎ ‎∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.‎ ‎∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.‎ ‎∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n，‎ ‎∴an＝cn＋1＝1－n.‎ ‎∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－ ‎＝n－1－n＝n.‎ 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.‎ ‎12．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.‎ ‎(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}唯一，求a的值．‎ 解　(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．‎ 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.‎ ‎(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋‎3a－1＝0(*)，‎ 由a＞0得Δ＝‎4a2＋‎4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．‎ 由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，‎ 代入(*)得a＝.‎ ‎13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.‎ ‎(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．‎ ‎(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.‎ 解　(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，‎ ‎∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．‎ ‎∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝‎3a1＋1＝3t＋1，‎ ‎∴当t＝1时，a2＝‎4a1，数列{an}是等比数列．‎ ‎(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，‎ ‎∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)‎ ‎＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)‎ ‎＝＋.‎ ‎14．已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x) ＝4(x－1)被函数f(x)的图像截得的弦长为4，数列{an}满足a1＝2，‎ ‎(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0(n∈N＋)．‎ ‎(1)求函数f(x)；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；[来源:‎ ‎(3)设bn＝‎3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应的n.‎ 解 (1)依题意，设f(x)＝a(x－1)2(a>0)，则直线g(x)＝4(x－1)与函数y＝f(x)图像的两个 交点为(1,0)，，[来源 ‎∵ ＝4，∴a＝1，f(x)＝(x－1)2.‎ ‎(2)f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1)，‎ ‎∵(an＋1－an)·4(an－1)＋(an－1)2＝0，‎ ‎∴(an－1)(4an＋1－3an－1)＝0，‎ ‎∵a1＝2，∴an－1≠0，∴4an＋1－3an－1＝0，‎ ‎∴an＋1－1＝(an－1)，又a1－1＝1，‎ ‎∴数列{an－1}是首项为1，公比为的等比数列，‎ ‎∴an－1＝n－1，an＝n－1＋1.‎ ‎(3)bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)＝32－4n，‎ 设bn＝y，u＝n－1，‎ 则y＝3＝32－.‎ ‎∵n∈N＋，u的值分别为1，，，，…，经比较距最近，‎ ‎∴当n＝3时，bn有最小值－，当n＝1时，bn有最大值0.‎