2020-2021学年高考数学(理)考点:幂函数与二次函数

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2020-2021学年高考数学(理)考点:幂函数与二次函数

‎2020-2021学年高考数学(理)考点:幂函数与二次函数 ‎ ‎1.幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.‎ ‎(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y=x y=x2‎ y=x3‎ y=‎ y=x-1‎ 图象 性质 定义域 R R R ‎{x|x≥0}‎ ‎{x|x≠0}‎ 值域 R ‎{y|y≥0}‎ R ‎{y|y≥0}‎ ‎{y|y≠0}‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减 公共点 ‎(1,1)‎ ‎2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x)=ax2+bx+c(a>0)‎ f (x)=ax2+bx+c(a<0)‎ 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减;‎ 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增;‎ 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x=-对称 概念方法微思考 ‎1.二次函数的解析式有哪些常用形式?‎ 提示 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);‎ ‎(2)顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0);‎ ‎(3)零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).‎ ‎2.已知f (x)=ax2+bx+c(a≠0),写出f (x)≥0恒成立的条件.‎ 提示 a>0且Δ≤0.‎ ‎3.函数y=2x2是幂函数吗?‎ 提示 不是.‎ ‎1.(2016•新课标Ⅲ)已知,,,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 综上可得:,‎ 故选.‎ ‎2.(2015•北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升 加油时的累计里程(千米)‎ ‎2015年5月1日 ‎12‎ ‎35000‎ ‎2015年5月15日 ‎48‎ ‎35600‎ 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为  ‎ A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 ‎【答案】B ‎【解析】由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100‎ 千米平均耗油量;‎ 故选.‎ ‎3.(2017•浙江)若函数在区间,上的最大值是,最小值是,则  ‎ A.与有关,且与有关 B.与有关,但与无关 ‎ C.与无关,且与无关 D.与无关,但与有关 ‎【答案】B ‎【解析】函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线,‎ ‎①当或,即,或时,‎ 函数在区间,上单调,‎ 此时(1),‎ 故的值与有关,与无关 ‎②当,即时,‎ 函数在区间,上递减,在,上递增,‎ 且(1),‎ 此时,‎ 故的值与有关,与无关 ‎③当,即时,‎ 函数在区间,上递减,在,上递增,‎ 且(1),‎ 此时(1),‎ 故的值与有关,与无关 综上可得:的值与有关,与无关 故选.‎ ‎4.(2017•上海)函数的单调递增区间是  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的对称轴是,开口向上,‎ 故在,递增,‎ 故选.‎ ‎5.(2016•新课标Ⅱ)已知函数满足,若函数与图象的交点为,,,,,,,则  ‎ A.0 B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数满足,‎ 故函数的图象关于直线对称,‎ 函数的图象也关于直线对称,‎ 故函数与 图象的交点也关于直线对称,‎ 故,‎ 故选.‎ ‎6.(2018•上海)已知,,,1,2,,若幂函数为奇函数,且在上递减,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,,1,2,,‎ 幂函数为奇函数,且在上递减,‎ 是奇数,且,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎7.(2019•上海)如图,已知正方形,其中,函数交于点,函数交于点,当最小时,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得:点坐标为,,点坐标为,‎ ‎,‎ 当且仅当时,取最小值,‎ 故答案为:.‎ ‎8.(2016•上海)函数在区间,上的最小值为0,最大值为1,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,对称轴,‎ ‎(1),(2),,‎ 在区间,上的最大值为1,最小值为0,‎ ‎,,‎ 故答案为:.‎ ‎1.(2020•重庆模拟)已知点在幂函数的图象上,设,,,则,,的大小关系为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】点在幂函数的图象上,‎ ‎,,‎ 幂函数,在上单调递减,‎ 又,‎ ‎,即,‎ 故选.‎ ‎2.(2020•三明模拟)已知幂函数在上单调递增,函数,对于任意,时,总存在,使得,则的取值范围是  ‎ A. B.或 C.或 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】幂函数在上单调递增,‎ ‎,解得,‎ ‎,‎ 当,时,,,设集合,,‎ 又当,时,,,设集合,,‎ 由题意得:,‎ ‎,解得:,‎ 故选.‎ ‎3.(2020•武昌区模拟)已知点在幂函数的图象上,设,,,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由幂函数的定义可知,,,‎ 点在幂函数上,‎ ‎,,‎ 幂函数解析式为,在上单调递增,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选.‎ ‎4.(2020•金安区校级模拟)已知幂函数是定义在区间,上的奇函数,设,,,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据幂函数是定义在区间,上的奇函数,‎ 得,且,解得;‎ ‎,且在定义域上是单调增函数;‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即.‎ 故选.‎ ‎5.(2020•B卷模拟)已知幂函数的图象经过点,则(2)  ‎ A. B.4 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,因为幂函数图象过,‎ 则有,,即,‎ ‎(2)‎ 故选.‎ ‎6.(2020•江门模拟)若函数是幂函数,且满足,则的值为  ‎ A. B. C.3 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设为常数),‎ 满足,,.‎ ‎.‎ 则.‎ 故选.‎ ‎7.(2020•福田区校级模拟)已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点,则的值等于  ‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数是幂函数,‎ ‎,解得,‎ ‎;‎ 令,解得,‎ 函数的图象经过定点,‎ ‎,解得.‎ 故选.‎ ‎8.(2013秋•鹰潭期末)对于幂函数,若,则,大小关系是  ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】幂函数在上是增函数,图象是上凸的,‎ 当时,应有.‎ 故选.‎ ‎9.(2018•保定一模)已知函数既是二次函数又是幂函数,函数是上的奇函数,函数,则(1)  ‎ A.0 B.2018 C.4036 D.4037‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数既是二次函数又是幂函数,,为偶函数;‎ 函数是上的奇函数,‎ 为定义域上的奇函数;‎ 函数,‎ ‎,‎ ‎(1)‎ ‎(1)‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎10.(2019•大武口区校级三模)已知点在幂函数的图象上,设 ‎,则,,的大小关系为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由点在幂函数的图象上,得,即.‎ ‎,单调递增,‎ 又,,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎11.(2019•陕西二模)已知点在幂函数图象上,设,,,则,,的大小关系为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】点在幂函数图象上,‎ ‎(2),解得,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,的大小关系为.‎ 故选.‎ ‎12.(2019•陕西二模)已知点在幂函数图象上,设,则,,的大小关系是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】点在幂函数图象上,‎ ‎(2),解得,,‎ 设,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,的大小关系是.‎ 故选.‎ ‎13.(2019•西湖区校级模拟)若幂函数在上为增函数,则实数  ‎ A.4 B. C.2 D.或4‎ ‎【答案】A ‎【解析】幂函数在上为增函数,‎ 所以,并且,‎ 解得.‎ 故选.‎ ‎14.(2019•西城区模拟)函数在区间上,的最大值是  ‎ A. B. C.4 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数在第一象限是减函数,‎ 函数在区间,上的最大值是.‎ 故选.‎ ‎15.(2019•西湖区校级模拟)幂函数的图象过点,那么函数的单调递增区间是  ‎ A. B., C., D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】幂函数的图象过点,‎ 所以,即,所以幂函数为 它的单调递增区间是:,‎ 故选.‎ ‎16.(2017•长沙一模)已知函数,则  ‎ A.,使得 ‎ B.,, ‎ C.,,,使得 ‎ D.,,,使得 ‎【答案】B ‎【解析】由函数,知:‎ 在中,恒成立,故错误;‎ 在中,,,故正确;‎ 在中,,,,使得,故错误;‎ 在中,当时,不存在,使得,故不成立.‎ 故选.‎ ‎17.(2019•西湖区校级模拟)若,则实数的取值范围是  ‎ A., B., C. D.,‎ ‎【答案】D ‎【解析】考察幂函数,它在,上是增函数,‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得,,.‎ 故选.‎ ‎18.(2020•海南模拟)已知函数在上单调递增,则的取值范围为  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的对称轴为,‎ 函数在区间上单调递增,‎ ‎,解得,‎ 故选.‎ ‎19.(2019•西湖区校级模拟)若函数在区间,上是减函数,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,抛物线开口向上,对称轴,‎ 若在区间,上是减函数,则,即,‎ 故选.‎ ‎20.(2019•西湖区校级模拟)二次函数的部分对应值如表:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎6‎ 则不等式的解集是  ‎ A.,, B.,, ‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由表格中的数据可得,,‎ 又(3),且在对称轴左边为减函数,右边为增函数,‎ 不等式的解集是,,.‎ 故选.‎ ‎21.(2019•西湖区校级模拟)设函数,,其中,若对任意的,,至少有一个为非负值,则实数的最大值是  ‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ ‎,‎ 根据二次函数的图象与性质可知,若对任意的,,和至少有一个为非负值,‎ 只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可,‎ 由,可得,‎ 所以,‎ 解得,‎ 所以时取得最大值为2.‎ 故选.‎ ‎22.(2020•静安区二模)若幂函数的图象经过点,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设幂函数为:‎ 幂函数的图象经过点,,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ 则的值为:.‎ 故答案为:.‎ ‎23.(2020•吉林模拟)是幂函数图象上的点,将的图象向右平移2‎ 个单位长度,再向上平移个单位长度,得到函数的图象,若点,,且在的图象上,则__________.‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】由,解得.‎ ‎.‎ 可得:,‎ 点,,且在的图象上,‎ ‎.‎ ‎,.‎ 抛物线的焦点,,准线方程为.‎ 根据抛物线的性质可得:,‎ 则.‎ 故答案为:30.‎ ‎24.(2020•攀枝花模拟)已知幂函数的图象经过点,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数为幂函数,则;‎ 又函数的图象经过点,则,解得;‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎25.(2020•郑州二模)幂函数的图象关于轴对称,则实数__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数是幂函数,‎ ‎,‎ 解得或;‎ 当时,函数的图象不关于轴对称,舍去;‎ 当时,函数的图象关于轴对称;‎ 实数.‎ 故答案为:2.‎ ‎26.(2019•西湖区校级模拟)如果幂函数的图象不过原点,则的值是__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】幂函数的图象不过原点,所以 解得,符合题意.‎ 故答案为:1‎ ‎27.(2015•黄冈模拟)已知幂函数的图象过点,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】幂函数的图象过点,,‎ ‎,,‎ 解得,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎28.(2020•松原模拟)幂函数的图象经过点,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】幂函数的图象经过点,‎ 故答案为:.‎ ‎29.(2019•西湖区校级模拟)已知函数的图象在,上单调递增则__________,(2)__________.‎ ‎【答案】0,2;8‎ ‎【解析】函数的图象在,上单调递增,‎ 所以,‎ 即,‎ 解得;‎ 又,且,‎ 所以,2,‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 所以(2).‎ 故答案为:0,2;8.‎ ‎30.(2019•西湖区校级模拟)若幂函数的图象过点,则(3)__________.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】设,因为幂函数图象过,‎ 则有,,即,‎ ‎(3)(3)‎ 故答案为:27.‎ ‎31.(2019•西湖区校级模拟)幂函数的图象过点,则的解析式是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意设,‎ 幂函数的图象过点,‎ ‎(3),‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎32.(2020•浙江模拟)已知函数,对一切,,都有,则当,时,的最大值为__________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由题意,‎ 有得 所以(1)‎ 对一切,,都有 所以当时,‎ 当时,‎ 综上所述,当,时,的最大值为7.‎ ‎33.(2020•余姚市校级模拟)已知,若对任意的,存在,,使得成立,则实数的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,,当,时,由可看作函数与函数的纵向距离,‎ 当切点与端点到直线纵向距离相等时,取得最大值的最小值,‎ 由,得,则切线方程为,‎ 过端点的平行线为,‎ 当纵向距离时,即时,纵向距离有最大值的最小值,‎ 此时纵向距离,即.‎ 故答案为:.‎ ‎34.(2020•江苏一模)已知函数是奇函数,若对于任意的,关于的不等式(a)恒成立,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由奇函数的性质可得,恒成立,‎ 即,‎ 故即,此时单调递减的奇函数,‎ 由不等式(a)恒成立,可得恒成立,‎ 结合二次函数的性质可知,,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎35.(2020•江都区校级模拟)函数在区间上递减,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在区间上递减,‎ ‎,‎ 解可得,‎ 故答案为:.‎ ‎36.(2019•西湖区校级模拟)已知函数为偶函数,且(3)(5).‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若且在区间,上为增函数,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)为偶函数,为偶数,‎ 又(3)(5),,即有:,‎ ‎,,又,或.‎ 当时,为奇数(舍去),‎ 当时,为偶数,符合题意.‎ ‎,‎ ‎(2)由(1)知: 且在区间,上为增函数.‎ 令,;‎ ‎①当时,是关于的增函数,只需在区间,上为增函数.‎ 即:‎ ‎②当时,是关于的减函数,只需在区间,上为减函数.‎ 即:,‎ 综上可知:的取值范围为:.‎
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