高考新课标理科数学试题详细解析

高考新课标理科数学试题详细解析

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.‎ ‎4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.‎ ‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ 解析：‎ ‎，，故选A ‎2． ‎ A． B． C． D．‎ 解析：，故选D ‎3．设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是 A．是偶函数 B．是奇函数 ‎ C．是奇函数 D．是奇函数 解析：是奇函数，是偶函数，则是奇函数，排除A 是奇函数，是偶函数，是偶函数，则是偶函数，排除B 是奇函数，是偶函数，则是奇函数，C正确 是奇函数，是偶函数，是奇函数，则是偶函数，排除D，故选C ‎4．已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 A． B． C． D．‎ 解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b，故距离，选A ‎5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A． B． C． D．‎ 解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，故选D ‎6．如图，圆的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数 ，则在的图像大致为 ‎ ‎ ‎ ‎ 解析：由已知，又，所以，故选C ‎7．执行右面的程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的 A． B． C． D．‎ 解析：当时，；‎ 当时，；当时，；‎ 此时运算终止，，故选D ‎8．设 且,则 A． B． C． D．‎ 解析: 由得 即,所以,由已知 所以 ,在上单调递增,所以,故选C ‎9.不等式组的解集记为D,有下面四个命题 其中的真命题是 A． B． C． D．‎ 解析:令,所以 ‎,解得,所以,因而可以判断为真,故选B ‎10.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与 的一个交点,若,则 ‎ A． B． C． D．‎ 解析:由已知又,则,,过Q作QD垂直于l，垂足为D，‎ 所以，故选B ‎11．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 解析：当时， 有两个零点，不满足条件 当时，，令，‎ 解得，当时，在，为极小值，为极大值，若存在唯一的零点，且，只需，当时，在，为极大值，为极小值，不可能有满足条件的极值，故选C ‎12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 ‎. .6 . .4‎ 解析：几何体为如图所示的一个三棱锥，底面ABC为等 腰三角形， 顶点B到AC的距离为4，面，且三角形为以A为直角的等腰直角三角形，所以 棱最长，长度为6，故选B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。‎ ‎13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)‎ 解析：，故展开式中的系数为 ‎ ‎14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一个城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为 .‎ 解析：乙没去过C城市，甲没去过B城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A，C，三人都去过同一个城市，一定是A，所以填A ‎ ‎15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .‎ 解析：，如图所示，O为中点，即 为圆O的直径，所以与的夹角为 ‎ ‎16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .‎ 解析：，因为=2，所以 面积，而 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.‎ 解析: (Ⅰ)证明：当时，，①-②得（Ⅱ）存在，证明如下：假设存在，使得{}为等差数列，则有，而=1，，所以，此时{}为首项是1，公差为4的等差数列 ‎18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎(i)利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.‎ 附：≈12.2.‎ 若～，则=0.6826，=0.9544.‎ 解析:‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎（Ⅱ）(i)由(Ⅰ)知, ==150,所以,‎ ‎（ii）100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数服从二项分布 ,所以 ‎19. (本小题满分12分)如图三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎(Ⅰ) 证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，，AB=BC，求二面角的余弦值.‎ 解析: (Ⅰ) 证明： 侧面为菱形,令又, ‎ ‎,又O为中点,所以三角形 为等腰三角形,所以 ‎（Ⅱ），，AB=BC，令,‎ 又由已知可求 ‎ 如图所示建立空间直角坐标系 ‎ ,‎ ‎,‎ 设为平面的一个法向量,则 ‎ 设为平面的一个法向量,则 则 ,所以二面角的余弦值为 ‎20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ 解析: (Ⅰ)由已知得 ‎ ‎（Ⅱ）当直线垂直于x轴时，不存在 令直线的方程为与联立消去y有： ‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ ‎ 整理得，令点O到直线l的距离为d,则 ‎ 所以的面积 ，令 此时直线l的方程为或 ‎21. (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，）处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.‎ 解析：(Ⅰ) ‎ 因为曲线在点（1，）处的切线为，所以 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)知，欲证，只需证 ‎，即证，即证 令 当 ‎ 所以成立，所以 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE ‎.(Ⅰ)证明：∠D=∠E； ‎ ‎（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.‎ 解析：.(Ⅰ)证明：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ‎ ‎（Ⅱ）证明：取中点，连接，由MB=MC得 ‎，由AD的中点为M得 ‎△ADE为等边三角形.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ 解析：(Ⅰ)曲线的参数方程为 ，直线的普通方程为；‎ ‎（Ⅱ）令点坐标为,点P到直线l的距离为d ‎ ‎ ‎,所以 ‎24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若，且.‎ ‎(Ⅰ) 求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ 解析：(Ⅰ) ‎ 法一:‎ 法二:‎ 令，‎ ‎,所以 ‎（Ⅱ）不存在，使得 因为,所以不存在