高二数学同步辅导教材(第16讲)

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高二数学同步辅导教材（第 16 讲） 本章主要内容 8.5 抛物线及其标准方程 课本第 115 页至第 119 页 一、 本讲主要内容 1、抛物线的定义 2、抛物线的标准方程 3、抛物线定义的运用 4、运用待定系数法求抛物线方程 三、学习指导 1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。椭圆和双曲线都有 两个定义，但抛物线只有一个。椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、 顶点、准线。 2、课本 P.116 给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有： （1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向， 若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。 （2）横向比较；焦点在对称轴上，准线与对称轴垂直；一次项系数的 1/4 值为焦点非零坐标，其相 反数为准线方程中的数值。 3、求抛物线的标准方程，思路同椭圆及双曲线，用待定系数法。尽管抛物线方程中的参数只有一个 p，但因类型较多，因此在解题时应正确选用。 4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。课本 P.117 例 2 是一道重要、典型的例题，同学们应仔细 体会转化的思想。 四、典型例题 例 1、互相垂直的两直线1、2 交于点 M，点 N∈1，以 A、B 为端点的弧上任一点到2 的距离与到点 N 的距离相等，若△AMN 是锐角三角形，|AM|= 17，|AN|=3,|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线弧 C 的方程。 解题思路分析： 因弧 C 上任意一点到直线2 的距离与到点 N 距离相等，根据抛物线定义可知，AB 是抛物线的一段弧， N 为焦点，2 为准线。 以1 为 x 轴，MN 中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，则抛物线方程为 y2=2px（p>0），弧 C 方程为 y2=2px， xA≤x≤xB，直线2： 2 px  。 过 A 作 AA1⊥2，A1 为垂足，则|AA1|=|AN|=3 ∵ |AM|= 17 ∴ |A1M|= 22 即 yA= 22 ∴ A 2 px2)22(  ① 又 |AA1|= 32 px A  ② 由①②得      2p 2x A 或      4p 1x A 因△AMN 为锐角三角形，而当 xA=2， p=2 时，N（1，0）， A 在 x 轴上的射影在 N 右侧，△AMN 为钝角 三角形，故舍去。 ∵ |BN|=xB+ 2 p ∴ xB=4 ∴ 曲线弧 C 的方程为 y2=8x（1≤x≤4，y>0） 注：本题也可以以1、2 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立坐标系，不过曲线弧 C 所在抛物线方程不是 标准方程。 例 2、抛物线拱桥如图，水面宽|AB|=2a 时，拱顶离水面 h，一货船在水面上部分的横截面是矩形 CDEG。 （1）若矩形长|CD|为 a，则高|DE|为何值时船才能通过； （2）求矩形面积 S 的临界值 M，使当 S≤M 时，可适当调整矩形的长与高，让船通过拱桥；而当 S>M 时，无论怎样调整，船都不能过桥。 解题思路分析： 这是一个实际问题，为了精确地求出|DE|，应通过建立坐标系，用解析几何知识求解。 （1）如图建立坐标系 xOy，|DE|最大值为 E 在抛物线上，当船高小于|DE|最大值时，货船可以通过。 由抛物线的对称性知，xD=xE= 2 a ,因 D 到 x 轴距离为 h，故欲求|ED|，只需求 E 到 x 轴的距离，即 E 点纵 坐标的绝对值。 设抛物线方程为 x2=-2py（p>0） ∵ B（a，-h）在抛物线上 ∴ a2=2ph ∴ 2p= h a 2 ∴ 抛物线方程为 x2= yh a 2  令 x= 2 a 则 y= 4 h ∴ yE= 4 h ∴ |DE|=h-|yE|=h- h4 3 4 3  ∴ 高|DE|≤ h4 3 时，船能通过 （2）本小题即为求内含矩形 CDEG 的最大值。建立目标函数，用基本不等式求解。 设 E（x0，y0），则 0 2 0 yh ax  ∴ S=2x0(y0+h)=2x0( )hx a h 2 02  ≤ )xa)(xa(x2 a h2 2 0 22 0 22 02  ≤ ah 33 4)3 a2( a h2 3 2 2  当且仅当 2x0 2=a2-x0 2，x0= 3 a 时，Smax= ah 33 4 ∴ M= 33 ah4 注：解应用型问题，首先要读懂题意，如本题“船能通过”的含义，然后在正确翻译为数学语言的 基础上，建立数学模型。象本题的函数，再用相关数学知识求解。 例 3、抛物线 P 过点 A（m，6）， B（ 2 1 ， 2 3 m），求 p 的标准方程。 解题思路分析： 首先应确定点 A、B 所在象限，由此定抛物线的标准方程类型。象限的区分通过点 A、B 的坐标符号 来讨论。 （1）当 m>0 时，A、B 均在第一象限； ① 设 p：y2=2px（P>0），则      pm4 9 Pm236 2 ∴      9p 2m ∴ p：y2=18x ② 设 P：x2=2py（p>0)，则      mp34 1 p12m 2 ∴ p： y6 1x 2  （2）当 m<0 时，点 A 在第二象限，点 B 在第四象限，抛物线 p 的标准方程不存在。 注：含字母问题应从分类讨论的思想着手，找到解题突破口。 例 4、已知抛物线方程为标准方程，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M（a，-4）到焦点 F 的距离为 S， 求抛物线的方程和 a 的值。 解题思路分析： 不妨设抛物线方程为 x2=2my（m≠0） ∵ M 在抛物线上 ∴ m<0，准线方程 y= 2 m ∵ |MF|=5 ∴ 曲定义，M 到准线的距离： 5)4(2 m  ∴ m=-2 ∴ 抛物线方程 x2=-4y 令 y=4， x2=16 ∴ x=±4 ∴ a=±4 注：本题利用定义将|MF|转化为到准线的距离，降低了计算量。 例 5、椭圆(x-3)2+y2=9 外切，且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程。 解题思路分析： 设定圆圆心 M（3，0），半径 r=3，动圆圆心 P（x，y），半径为 R，则 由已知得下列等式      R|x| 3R|PM| ∴ |PM|=|x|+3 当 x>0 时，上式几何意义为点 P 到定点 M 的距离与它到直线 x=-3 的 距离相等 ∴ 点 P 轨迹为抛物线，焦点 M（3，0），准线 x=-3 ∴ P=6，抛物线方程为 y2=12x 当 x<0 时，|PM|=3-x 动点 P 到定点 M 的距离等于动点 P 到直线 x=3 的距离 点 P 轨迹为 x 轴负半轴 ∴ 所求轨迹方程为 y2=12x（x>0）， y=0（x<0） 注：本题在列出等量关系后，注意到它们都与距离有关，故用定 义求解。降低了运算量。值得注意的是，相当多的同学直接画图求解 时会忘记 x 轴负半轴。 五、同步练习 （一）选择题 1、已知抛物线的焦点坐标是（2，0），则抛物线的标准方程是 A、y2=4x B、y2=-4x C、y2=-8x D、y2＝8x 2、已知抛物线的准线方程是 x=-7，则抛物线的标准方程是 A、x2＝-28y B、y2=28x C、y2=-28x D、x2=28y 3、经过点 P（4，-2）的抛物线的标准方程为 A、y2=x 或 x2=-8y B、y2=x 或 y2＝8x C、y2=-8x D、x2=-8y 4、抛物线 x2=4ay 的准线方程为 A、x=-a B、x=a C、y=-a D、y=a 5、焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线标准方程为 A、x2=16y 或 y2=16x B、y2=16x 或 x2=12y C、y2=16x 或 x2=-12y D、x2=16y 或 y2=-12x 6、抛物线 )0a(xa 1y 2  的焦点坐标为 A、（ 0， 4 a ），（ 0， 4 a ） B、（ 0， 4 a ） C、（ 0， a4 1 ），（ 0， a4 1 ） D、（ 0， a4 1 ） 7、已知动点 M 的坐标满足 |12y4x3|yx5 22  ，则动点 M 的轨迹是 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、以上均不对 8、抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是 10，则点 P 的坐标是 A、（±6，9） B、（ 9，±6） C、（ 9，6） D、（ 6，9） 9、动点室点 A（0，2）的距离比到直线：y=-4 的距离小 2，则动点 P 的轨迹方程为 A、y2＝4x B、y2=8x C、x2=4y D、x2=8y 10、动圆 M 经过点 A（3，0）且与直线：x=-3 相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是 A、y2=12x B、y2=6x C、y2＝3x D、y2=24x （二）填空题 11、抛物线 y2=-12x 的焦点坐标是__________。 12、抛物线 y2=2px 的焦点在直线 y=3x-6 上，则此抛物线方程是__________。 13、P 是抛物线 y2=6x 上的点，P 到点（ 2 3 ，0）的距离为 15，则 P 到直线 2x+5=0 的距离是__________。 14、已知圆 x2+2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px（p>0）的准线相切，则 p=__________。 15、设 P 是抛物线 x2=2y 上的一点，若 P 到此抛物线准线距离为 8.5，则 P 点坐标为__________。 （三）解答题 16、求以点 F（1，1）为焦点，以：-x+y-2=0 为准线的抛物线方程。 17、已知双曲线 C： 19 x 8 y 22  ，抛物线 H 以 C 的下顶点为焦点，以原点为顶点，求抛物线 H 的标 准方程与准线方程。 18、设 M 点与 F（0，4）的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，求 M 点的轨迹方程。 19、已知曲线 C：y=x2，求它关于直线 x-y-2=0 对称的曲线 C’的方程。 20、抛物线 C：y2=4ax（a>0)上动点 M，当 M 到点 A（1，0）的距离|MA|最小时，M 的位置为 M0，若 |M0A|<1，求： （1）a 的取值范围；（2）a 变化时，点 M0 的轨迹方程。 六、参考答案 （一）选择题 1、D。 对称轴为 x 轴正半轴， 24 p2  ，∴2p=8，∴抛物线方程为 y2=8x。 2、B。 对称轴为 x 轴正半轴， 74 p2  ，∴2p=28，∴抛物线方程为 y2=28x。 3、A。 点 P 在第一象限，故两种类型的抛物线可能经过点 P。（ 1）抛物线方程为 y2=2mx，令 y=-2， x=4 得 m= 2 1 ，∴抛物线方程为 y2=x；（ 2）抛物线方程为 x2=-2py（p>0），令 x=4，y=-2 得 p=4，∴抛物线 方程为 x2=-8y。 4、C。 准线方程为 4 a4y  ，即 y=-a。 5、C。 因焦点既在坐标轴上 ，又在直线 3x-4y-12=0 上，故焦点坐标为（4，0）或（0，-3），当焦 点为（4，0）时，抛物线方程为 y2=16x；当焦点为（0，-3）时，抛物线方程为 x2=-12y。 6、B。 抛物线标准方程为 x2=ay，焦点为（0， 4 a ）。 7、C。 将方程整理为 5 |12y4x3|yx 22  ，该式的几何意义为点 M 到定点（0，0）的距离等 于 M 到直线 3x+4y-12=0 的距离，由抛物线定义可知，动点 M 的轨迹为抛物线。 8、B。 准线为 x=-1，设 P（x0，y0），则|PF|=x0-(-1)=x0+1=10，∴x0=9，∴y0 2=36，∴y0=±6。 9、D。 动点 P 到 A 的距离等于 P 到直线 y=-2 的距离，动点 P 的轨迹为抛物线，对称轴在 y 轴上， P=4，方程为 x2=8y。 10、A。 M 到点 A 与到直线的距离相等，P=6. （二）填空题 11、 （-3，0） 焦点在 x 轴上，横坐标为 34 12  。 12、 y2=8x 在 y=3x-6 中，令 y=0，得 x=2，∴ 24 p2  ，∴2p=8。 13、 16 点（ 2 3 ，0）为焦点，∴P 到直线 x= 2 3 的距离为 15，又 2 3x  与 2 5x  间的距离为 1， 画图可得，∴P 到直线 2 5x  的距离为 15+1=16。 14、 2 圆心（3，0），半径 r=4，抛物线准线 x= 2 p ，∴|3+ 2 p |=4，∴p=2，或 p=-14 （舍）。 15、 （±4，8） 设 P（x0，y0），因抛物线准线为 y= 2 1 ，∴y0-( 2 1 )=8.5，∴y0=8，∴x0 2=16， ∴x0=±4。 （三）解答题 16、解：设抛物线上任一点 P（x，y），则由定义得： 2 |2yx|)1y()1x( 22  两边平方得： 2[(x-1)2+(y-1)2]=(x-y+2)2 展开，整理得： x2+2xy+y2-8x=0 17、解：∵ 双曲线 C 的下顶点 A（0， 22 ） ∴ 抛物线 H 的焦点 F（0， ） ∴ 抛物线方程 x2= 28 y，准线：y= 22 18、解：设点 M（x，y），则 M 与点 F（0，4）的距离等于 M 到直线 x=-4 的距离 ∴ 点 M 轨迹是抛物线，F 为焦点，直线 x=-4 为准线 ∴ p=8 所求轨迹方程为抛物线 y2=16x 19、解：设 P’(x，y)是所求曲线 C’上任一点，P（x0，y0）是 P’关于 x-y-2=0 的对称点 则          022 yy 2 xx 1xx yy 00 0 0 ∴      2xy 2yx 0 0 ∵ y0=x0 2 ∴ (x-2)2=(y+2)2 整理得：x=y2+4y+6 ∴ 所求曲线 C’方程为(y+2)2=x-2 20、解：（1）设 M（x，y） 则 |MA|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4ax=x2+2(2a-1)x+1 =[x+(2a-1)]2+4a-4a2（x≥0） ① 当 2a-1≥0，a≥ 2 1 时，x=0 时(|MA|2)min=1（舍） ② 当 2a-1<0，00）， xA≤x≤xB，直线2： 2 px  过 A 作 AA1⊥2，A1 为垂足，则|AA1|=|AN|=3 ∴ xA= 32 p  ① 又 |AM|= 17 ∴ |A1M|= 22 ∴ yA= 22 ∴ 2)22( =2pxA ② 由①②得      2p 2x A ，或      4p 1x A ∵ △AMN 为锐角三角形 ∴ 舍去      4p 2x A 一组解 又 |BN|= 62 px B  ∴ xB=4 ∴ 曲线弧 C 的方程为 y2=8x（1≤x≤4，y>0） 例 2 的解：（1）如图建立坐标系，设抛物线方程为 x2=-2py（p>0） ∵ B(a，-h)在抛物线上 ∴ a2=2ph ∴ h ap2 2  ∴ 抛物线方程为 yh ax 2  ∵ h axx DE  ∴ 在抛物线方程中令 2 ax  得 4 hy  ∴ |DE|= h4 3 ∴ 货船高不超过 h4 3 时，货船可能通过 （2）设 E（x0,y0），则 0 2 2 0 yh ax  ∴ S= )xa(x a h2)hx a h(x2)hy(x2 2 0 2 02 2 02000  = )xa)(xa(x2 a h2)xa)(xa(x a h2 2 0 22 0 22 02 2 0 22 0 22 02  ≤ ah 33 4)3 a2( a h2 3 2 2  ∴ 当且仅当 2x0 2=a2-x0 2，x0= 3 a 时，M= 39 4 33 4  例 3 的解：（1）当 m>0 时，A、B 在第一象限 ① 设 P：y2=2px（p>0） 则      pm4 9 pm236 2 ∴      9p 2m ∴ P：y2=18x ② 设 P：x2=2py（y>0） 则      mp34 1 p12m 2 ∴      12 1p 1m ∴ P： y6 1x 2  （2）当 m<0 时，A 在第二象限，同时通过 A、B 的抛物线不存在 ∴ 所求抛物线方程为 y2=18x，或 y6 1x 2  例 4 的解：设抛物线方程为 x2=2my（m≠0），准线 2 my  ∵ |MF|=5 ∴ 5)4(2 m  ∴ m=-2 ∴ 抛物线方程为 x2=-4y 再令 y=4 ∴ x2=16 ∴ x=±4 ∴ a=±4 例 5 的解：设 M（3，0）， r=3，动圆圆心为 P，半径为 R 则      R|x| 3R|PM| ∴ |PM|=|x|+3 当 x>0 时，上式表明点 P 到定点 M 的距离等于它到直线 x=-3 的距离，其轨迹是抛物线，方程为 y2=12x 当 x<0 时，动点 P 到定点 M 的距离等于动点 P 到直线 x=3 的距离，因 M 到 x=3 的距离正好为 3 ∴ 点 P 的轨迹为 x 轴非正半轴，方程为 y=0（x≤0）