浙江省2014届理科数学复习试题选编27：空间中的平行与垂直问题（教师版）

浙江省2014届理科数学复习试题选编27：空间中的平行与垂直问题（教师版）

浙江省2014届理科数学复习试题选编27：空间中的平行与垂直问题 一、选择题 ．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）已知,,是三个互不重合的平面,是一条直线,下列命题中正确命题是( ) （　　）‎ A．若,,则 B．若上有两个点到的距离相等,则 ‎ C．若,∥,则 D．若,,则 ‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）已知平面平面,交于直线,且直线,直线,则下列命题错误的是 （　　）‎ A．若,则或 B．若,则且 ‎ C．若直线都不平行直线,则直线必不平行直线 ‎ D．若直线都不垂直直线,则直线必不垂直直线 ‎【答案】B ‎ ．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）已知直线和平面,下下列命题正确的是 （　　）‎ A．若∥,,则 B．若∥,∥,则∥ ‎ C．若∥,,则∥ D．若⊥,,则 ‎【答案】D ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）下列命题正确的是 （　　）‎ A．若平面a不平行于平面β.则β内不存在直线平行于平面a ‎ B．若平面a不垂直于平面β.则多内不存在直线垂直于平面a ‎ C．若直线l不平行于平面a则a内不存在直线平行于直线l ‎ D．若直线l不垂于平面a.则a内不存在直线垂直于直线l ‎【答案】B ‎ ．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）设m、n为空间的两条不同的直线,α、β为空间的两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;‎ ‎③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.‎ 上述命题中,所有真命题的序号是 （　　）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】D ‎ ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）若有直线.和平面.‎ ‎,下列四个命题中,正确的是 （　　）‎ A．若,,则 ‎ B．若,,,则 ‎ C．若,,则 ‎ D．若,,,则 ‎【答案】D ‎ ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）在正方体中,,分别,是的中点,则下列判断错误的是 ‎ （　　）‎ A．与垂直 B．与垂直 C．与平行 D．与平行 ‎【答案】D ‎ ．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）已知α,β是空间中两个不同平面,m , n是空间中两条不 同直线,则下列命题中错误的是 （　　）‎ A．若m//n m 丄α, 则n 丄α B．若m//α α β, 则m//n ‎ C．若m丄α , m 丄β, 则α//β D．若m丄α, m β 则 α 丄β ‎【答案】B ‎ ．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）设为两条不同的直线,是一个平面,则下列结论成立的是 （　　）‎ A．且,则 B．且,则 C．且,则 D．且,则 ‎【答案】D ‎ ．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）下列命题正确的是 （　　）‎ A．若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行 B．若平面,则平面 ‎ C．平行四边形的平面投影可能是正方形 D．若一条直线上的两个点到平面的距离相等,则这条直线平行于平面 ‎【答案】C ‎ ．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）对两条不相交的空间直线a和b,则 （　　）‎ A．必定存在平面α,使得 B．必定存在平面α,使得 ‎ C．必定存在直线c,使得 D．必定存在直线c,使得 ‎【答案】B ‎ ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）对于下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行;‎ ‎②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;‎ ‎③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面; ‎ ‎④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面.‎ 其中的真命题是 （　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④‎ ‎【答案】D ‎ ．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线l的直线 ‎ ‎ （　　）‎ A．只有一条,不在平面α内 B．有无数条,不一定在平面α内 ‎ C．只有一条,且在平面α内 D．有无数条,一定在平面α内 ‎【答案】C ‎ ．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word版） ）已知是两条不同的直线,是两个不同的平面.在下列条件中,可得出 的是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎ ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知直线,平面,且,给出下列命题:‎ ‎①若∥,则m⊥; ②若⊥,则m∥;‎ ‎③若m⊥,则∥; ④若m∥,则⊥‎ 其中正确命题的个数是 （　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】①④对,②③错 ‎ ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设m,n是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是 （　　）‎ A．若m// B．若m// ‎ C．若m// D．若m//‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）设是空间中的一条直线,是空间中的一个平面,则下列说法正确的是 （　　）‎ A．过一定存在平面,使得 B．过一定存在平面,使得 ‎ C．在平面内一定不存在直线,使得 D．在平面内一定不存在直线,使得 ‎【答案】B ‎ ．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）已知不同的直线l,m,不同的平面,下命题中:‎ ‎①若∥∥ ②若∥,‎ ‎③若∥,,则∥ ④‎ 真命题的个数有 （　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎ ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知两个不重合的平面,给定以下条件:‎ ‎①内不共线的三点到的距离相等;②是内的两条直线,且;‎ ‎③是两条异面直线,且;‎ 其中可以判定的是 （　　）‎ A．① B．② C．①③ D．③‎ ‎【答案】D ‎ ．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）关于直线以及平面,下面命题中正确的是 （　　）‎ A．若 则 B．若 则 ‎ C．若 且则 ‎ D．若则 ‎【答案】D ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word版） ）已知两个不同的平面和两条不重合的直线,则下列命题不正确的是 （　　）‎ A．若则 B．若则 ‎ C．若,则 D．若,则 ‎【答案】D ‎ ．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）设直线l,m及平面α,则下列命题中不正确的是 （　　）‎ A． 若l⊥α,mα,则l⊥m B．若l//α,mα,则l//m ‎ C．若l⊥m,m⊥α,则l//α或lα D．若l⊥α,l//m,则m⊥α ‎【答案】B 提示 根据线面关系逐一判断.B选项应该是平行或异面. ‎ 二、填空题 ．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）已知为直线,为平面.在下列四个命题中, ‎ ‎① 若,则 ; ② 若 ,则;‎ ‎③ 若,则; ④ 若 ,则.‎ 正确命题的个数是______‎ ‎【答案】2 ‎ 三、解答题 ．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）已知四边形是矩形,是等腰三角形,平面平面,,,分别是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:直线平面;‎ ‎(Ⅱ)在线段上是否存在点,使得平面平面?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ 则, ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量 ‎ 则, ‎ 令, 则 所以 ‎ 又, ‎ 而 ‎ 所以 又 平面 ‎ 所以平面 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ‎ ‎(Ⅱ) 假设在线段上存在点,使平面平面 ‎ 设,平面的法向量为 ‎ 则,令 ‎ 则 所以 ‎ 若平面平面,则 ‎ 即 ‎ 得: ‎ 所以,存在点,使平面平面,且 ┈┈┈┈┈┈ ‎ ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中,是的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.‎ ‎(1)求出该几何体的体积;‎ ‎(2)求证:EM∥平面ABC;‎ ‎(3)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面? 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:由题意, EA⊥平面ABC , DC⊥平面ABC ,AE∥DC,AE=2, DC=4 ,AB⊥AC,且AB=AC=2 ‎ ‎(1)∵EA⊥平面ABC,∴EA⊥AB, 又AB⊥AC, ‎ ‎∴AB⊥平面ACDE , ‎ ‎∴四棱锥B-ACDE的高h=AB=2,梯形ACDE的面积S= 6 ‎ ‎∴, 即所求几何体的体积为4; ‎ ‎(2)证明:∵M为DB的中点,取BC中点G,连接EM,MG,AG, ‎ ‎∥‎ ‎=‎ ‎∴ MG∥DC,且 ‎ ‎∴MG AE,∴四边形AGME为平行四边形, ‎ ‎∴EM∥AG, 又AG平面ABC ∴EM∥平面ABC ‎ ‎(3)由(2)知,EM∥AG, ‎ 又∵平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC,∴AG⊥平面BCD ‎ ‎∴EM⊥平面BCD,又∵EM平面BDE, ‎ ‎∴平面BDE⊥平面BCD , ‎ 在平面BCD中,过M作MN⊥DB交DC于点N, ‎ ‎∴MN⊥平面BDE 点N即为所求的点, ‎ ‎∵∽ ‎ ‎ ‎ ‎∴边DC上存在点N,满足DN=DC时,有NM⊥平面BDE ‎ ．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）( 本题满分14分 )‎ 已知,如图四棱锥中,底面是平行四边形,平面,垂足为,在线段上,且,,,是的中点,四面体的体积为.‎ ‎(1)求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(2)若点是棱上一点,且,求的值.‎ ‎【答案】( 本题满分14分 ) ‎ 解法一: (1)由已知 ‎ ‎ ‎ ‎∴PG=4 ‎ 如图所示,以G点为原点建立空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ o—xyz,则 ‎ B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4) ‎ 故E(1,1,0) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)设F(0,y , z) ‎ ‎ ‎ 在平面PGC内过F点作FM⊥GC,M为垂足,则 ‎ 解法二: ‎ ‎(1)由已知 ‎ ‎∴PG=4 ‎ 在平面ABCD内,过C点作CH//EG交AD于H,连结PH,则∠PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角. ‎ ‎ ‎ 在△PCH中, ‎ 由余弦定理得,cos∠PCH= ‎ ‎(2)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连结MF,又因为DF⊥GC ‎ ‎∴GC⊥平面MFD, ∴GC⊥FM ‎ 由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG ‎ 由GM⊥MD得:GM=GD·cos45°= ‎ ‎ ‎ ．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）[来源:学、科、网Z、X、X、K]‎ 已知在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=,AB=1.AD= 2.‎ ‎∠BAD= 120°,E,F,G,H分别是BC,PB,PC,AD的中点 ‎(Ⅰ)求证:PH∥平面CED;‎ ‎(Ⅱ)过点F作平面,使ED∥平面,当平面⊥平面EDC时,设PA与平面交于点Q,求PQ的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 连接HC,交ED于点N,连结GN, ‎ 由条件得:DHEC是矩形,∴N是线段HC的中点,又G是PC的中点, ‎ ‎∴ GN//PH, ‎ 又 ∵ GN平面GED,PH不在平面GED内, ‎ ‎∴ PH//平面GED ‎ ‎ ‎ ‎(第20题) ‎ ‎(Ⅱ) 方法1:连结AE,∵, ∴ △ABE是等边三角形,设BE的中点为M,以AM、AD、AP分别为轴建立空间直角坐标系. ‎ 则B(,,0), C(,,0),D(0,2,0),P(0,0,), ‎ 则E(,,0), F(,,),G(,,). ‎ 设Q(0,0,) ,, ‎ 设是平面GED的一个法向量, ‎ 则,得, ‎ 令∴. ‎ 设是平面的一个法向量, ‎ 则,得,令,得 ‎ ‎, ‎ 当平面GED⊥平面时,, ‎ 得,则PQ的长为 ‎ ‎ ‎ ‎(第20题) ‎ 方法2:连接BH,则BH//ED,又∵PB//GE,∴平面PBH//平面GED, ‎ 设BH与AE交于点K,PK的中点为M, ‎ ‎∵F是PB的中点,∴FM//BK, ‎ ‎∵ABEH是菱形,∴AE⊥BK, ‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BK ,∴ BK⊥平面PAK. ‎ ‎∴ FM⊥平面PAK, ‎ 过M作MQ⊥PK,交PA于Q,设MQ与FM所确定的平面为, ‎ ‎∵ED//BH// FM,∴ED//平面,又平面⊥平面PBH,∴平面⊥平面EDG . ‎ 得平面满足条件. ‎ ‎∵,,∴, ‎ 由, ‎ 得 ‎