高考数学复习专题练习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

高考数学复习专题练习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、选择题 ‎1．已知tan α＝－a，则tan(π－α)的值等于(　　)‎ A．a B．－a C. D．－ 解析 tan(π－α)＝－tan α＝a.‎ 答案 A ‎2．已知sin x＝cos x，则等于(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D. 解析 由sin x＝cos x，得tan x＝.‎ ‎∴＝＝＝－.故选B.‎ 答案 B ‎3．若＝，则tan 2α＝ (　　)．‎ A．－ B. C．－ D. 解析　由＝，得＝，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝＝.‎ 答案　B ‎4．若tan α＝3，则的值等于 (　　)．‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．6‎ 解析　＝＝＝2tan α，又tan α＝3，故＝6.‎ 答案　D ‎5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则 ＝ (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由5x2－7x－6＝0得x＝－或x＝2.∴sin α＝－.∴原式＝＝＝.‎ 答案　B ‎6．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)‎ A．1＋ B．1－ C．1± D．－1－ 解析 由题意知：sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，‎ 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，解得：m＝1±，又Δ＝‎4m2‎－‎16m≥0，‎ ‎∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ 答案 B[来源:Z&xx&k.Com]‎ 二、填空题 ‎7．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值是________．‎ 解析　1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝，‎ 又∵＜α＜，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－.‎ 答案　－ ‎8．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(2π－α)的值是________．‎ 解析　∵sin(π－α)＝log8，∴sin α＝log232－2＝－.‎ ‎∴cos(2π－α)＝cos α＝＝.‎ 答案　 ‎9．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．‎ 解析　依题意得sin α－cos α＝，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋2＝2，故(sin α＋cos α)2＝；又α∈，因此有sin α＋cos α＝，所以＝＝－(sin α＋cos α)＝－.‎ 答案　－ ‎10．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则tan θ的值为________．‎ 解析 法一：由sin θ＋cos θ＝两边平方得sin θ·cos θ＝－，‎ 由sin θ·cos θ＝＝＝－，‎ 解得tan θ＝－或tan θ＝－，‎ 由于θ∈(0，π)，sin θcos θ<0，sin θ＋cos θ>0，‎ ‎∴θ∈，|sin θ|>|cos θ|.‎ ‎∴|tan θ|>1.∴tan θ＝－，舍去．‎ 故tan θ＝－.‎ 法二：同法一得tan θ＝－或tan θ＝－，θ∈(0，π)．‎ 当tan θ＝－时，θ＝，sin θ＝，cos θ＝－满足条件；‎ 当tan θ＝－时，θ＝，sin θ＝，cos θ＝－不满足sin θ＋cos θ＝，舍去，故tan θ＝－.‎ 答案 － 三、解答题 ‎11．某学生在设计计算函数 f(x)＝＋的值的程序时，发现当sin x和cos x满足方程2y2－(＋1)y＋k＝0时，无论输入任意实数k，f(x)的值都不变，你能说明其中的道理吗？这个定值是多少？[来源:Zxxk.Com]‎ 解 因为f(x)＝＋＝＋＝＝sin x＋cos x，又因为sin x，cos x是2y2－(＋1)y＋k＝0的两根，‎ 所以sin x＋cos x＝，‎ 所以f(x)＝sin x＋cos x＝，始终是个定值，与变量无关．这个定值是.‎ ‎12．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：‎ ‎(1)；(2)sin2α＋sin 2α.‎ 解　法一　由sin(3π＋α)＝2sin，得tan α＝2.‎ ‎(1)原式＝＝＝－.‎ ‎(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α＝ ‎＝＝.‎ 法二　由已知得sin α＝2cos α.‎ ‎(1)原式＝＝－.‎ ‎(2)原式＝＝＝.‎ ‎13．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．‎ 解　假设存在角α，β满足条件，‎ 则由已知条件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.‎ ‎∴sin2α＝，∴sin α＝±.∵α∈，∴α＝±.‎ 当α＝时，由②式知cos β＝，‎ 又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；‎ 当α＝－时，由②式知cos β＝，‎ 又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．‎ ‎∴存在α＝，β＝满足条件．‎ ‎14．已知函数f(x)＝tan.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)设α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小．‎ 解　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.所以f(x)的定义域为，f(x)的最小正周期为.‎ ‎(2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，‎ ＝2(cos2α－sin2α)，‎ 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．‎ 因为α∈，所以sin α＋cos α≠0.‎ 因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.‎ 由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.‎