高考数学复习专题练习第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数
第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数
一、选择题
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．
A．y＝(x∈R，且x≠0) B．y＝x(x∈R)
C．y＝x(x∈R) D．y＝－x3(x∈R)
解析 对于f(x)＝－x3，∵f(－x)＝－(－x)3＝－(－x3)＝－f(x)，∴f(x)＝－x3是奇函数，又∵y＝x3在R上是增函数，∴y＝－x3在R上是减函数．
答案 D
2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝( )
A. B．4
C. D.
解析 设f(x)＝xα，因为图像过点，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2－＝.
答案 C
3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 ( )．
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析 f(a)＝g(b)⇔ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－
0，a(a－4)>0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.
答案 C
二、填空题
7．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．
其中正确的有________．
解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．
答案 ①②⑤⑥
8．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
解析 由已知得⇒
答案 a>0，ac＝4
9．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．
解析 ∵∴m＝β＋.
∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增函数，
∴1＋1＜m＜2＋，即m∈.
答案
10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，
则m的取值范围是________．
解析 当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不符合要求；当m>0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0时不符合第①条的要求；当m<0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足或解第一个不等式组得－40，求实数a的取值范围．
解 不等式ax2－2x＋2>0等价于a>，
设g(x)＝，x∈(1,4)，则
g′(x)＝
＝＝，
当10，当2，
因此实数a的取值范围是.
14．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵f(2)0，解得－10满足题设，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点处取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．
