高考数学复习专题练习第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系

高考数学复习专题练习第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系

第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 ‎1．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于 (　　)．‎ A. B．‎2 ‎ C. D．4‎ 解析　直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.‎ 答案　C ‎2．设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为，结合图形易得tan θ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F‎1F2|＝‎2c，整理并化简得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝.‎ 答案　C ‎3．抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于 (　　)．‎ A．7 B．‎3‎ C．6 D．5‎ 解析　点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.‎ 答案　A ‎4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝ (　　)．‎ A．1＋2 B．4－2 C．5－2 D．3＋2 解析　如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－‎2a，|BF2|＝m－‎2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－‎2a＋m－‎2a＝m，得m＝‎2‎a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F‎1F2|2，可得m2＋(m－‎2a)2＝‎4c2，即得(20－8)a2＝‎4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.‎ 答案　C ‎5．已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是 (　　)．‎ A. B. C．2 D. 解析　法一　据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.‎ 设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，‎ 则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，‎ 所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，‎ 则|BD|＝2r，k＝tan θ＝tan∠BAD＝＝2.‎ 法二　直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－‎ eq f(8,k)，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2.又k>0，故k＝2.‎ 答案　C ‎6．过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 (　　)．‎ A．(，5) B．(，) 　C．(1，) D．(5,5)‎ 解析　令b＝，c＝，则双曲线的离心率为e＝，双曲线的渐近线的斜率为±.‎ 据题意，2<<3，如图所示．‎ ‎∵＝，‎ ‎∴2<<3，‎ ‎∴5b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．‎ 解析　由题意，得 解得∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案　＋＝1‎ ‎9．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．‎ 解析　由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.‎ 答案　 ‎10．已知曲线－＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．‎ 解析　将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以－＋1＝0，即‎2a＋2ab－‎2a＋a－b＝0，即b－a ‎＝2ab，所以－＝2.‎ 答案　2‎ 三、解答题 ‎11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；‎ ‎(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．‎ ‎(1)解　由题意：抛物线焦点为(1,0)，‎ 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.‎ ‎(2)证明　设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4b＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2‎ ‎＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.‎ 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，‎ ‎∴直线l过定点(2,0)．‎ ‎∴若·＝－4，则直线l必过一定点．‎ ‎12．给出双曲线x2－＝1.‎ ‎(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；‎ ‎(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点 P的轨迹方程；‎ ‎(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，‎ 所以直线斜率k＝＝4.‎ 故求得直线方程为4x－y－7＝0.‎ ‎(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，‎ 按照(1)的解法可得＝， ①‎ 由于P1，P2，P，A四点共线，‎ 得＝， ②‎ 由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.‎ ‎(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.‎ 考虑到方程组无解，‎ 因此满足题设条件的直线m是不存在的．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.‎ ‎(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．‎ ‎(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.‎ ‎(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．‎ ‎(1)解　双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.‎ 不妨取过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为 y＝，即y＝x＋1.‎ 解方程组得 所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.‎ ‎(2)证明　设直线PQ的方程是y＝x＋b.‎ 因为直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b2＝2.‎ 由得x2－2bx－b2－1＝0.‎ 设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以 ·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2‎ ‎＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.‎ 故OP⊥OQ.‎ ‎(3)证明　当直线ON垂直于x轴时，‎ ‎|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.‎ 当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，‎ 则直线OM的方程为y＝－x.‎ 由得所以|ON|2＝.‎ 同理|OM|2＝.‎ 设O到直线MN的距离为d，‎ 因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，‎ 所以＝＋＝＝3，即d＝.‎ 综上，O到直线MN的距离是定值．‎ ‎14．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|＝|DM|，点P在圆上运动．‎ ‎(1)求点M的轨迹方程；‎ ‎(2)过定点C(－1,0)的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使·为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝y.‎ ‎∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.‎ ‎∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.‎ 点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．‎ ‎(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，‎ 设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，‎ 联立方程组 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)‎ ‎＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2‎ ‎＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2‎ ‎＝＋n2‎ ‎＝＋n2‎ ‎＝(2n2＋4n－1)－.‎ ‎∵·是与k无关的常数，∴2n＋＝0.‎ ‎∴n＝－，即N，此时·＝－.‎ 当直线AB与x轴垂直时，若n＝－，则·＝－.‎ 综上所述，在x轴上存在定点N，使·为常数．‎