高考数学复习专题练习第1讲 变化率与导数、导数的运算
第三章 导数及其应用
第1讲 变化率与导数、导数的运算
一、选择题
1．下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；
④′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 求导运算正确的有②③2个，故选B.
答案 B[来源:学|科|网]
2．函数f(x)＝mx3＋(m＋1)x2＋x＋2，若f′(1)＝18，则m＝( )
A．4 B．3
C．5 D．6
解析 ∵f′(x)＝3mx2＋2(m＋1)x＋1，
∴f′(1)＝3m＋2m＋2＋1＝18，
∴m＝3.
答案 B
3．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋x(a>0)，则f(2)的最小值为
( )．
A．12 B．12＋8a＋
C．8＋8a＋ D．16
解析 f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8a＋，则g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>
，由g′(a)<0得0
0)的导数为________．
解析 对y＝x(x>0)两边取对数得lny＝lnx，两边求导得＝，∴y′＝x.＝x－2(1－ln x)．
答案 y′＝x－2(1－ln x)
三、解答题
11．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋1)n(n∈N＋)； (2)y＝ln (x＋)；
(3)y＝2xsin(2x＋5)．
解 (1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.
(2)y′＝·＝.
(3)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．
12．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x
＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一 设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26.)
法二 设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，
解之得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴或
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y
－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
14．已知曲线Cn：y＝nx2，点Pn(xn，yn)(xn>0，yn>0)是曲线Cn上的点(n＝1,2，…)．
(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn)．
解 (1)∵y′＝2nx，∴y′|x＝xn＝2nxn，切线ln的方程为：y－n·x＝2nxn(x－xn)．
即：2nxn·x－y－n·x＝0，令x＝0，
得y＝－nx，∴Qn(0，－nx)．
(2)设原点到ln的距离为d，则
d＝＝，
|PnQn|＝.
所以＝≤＝，
当且仅当1＝4n2x，即x＝(xn>0)时，等号成立，
此时，xn＝，所以，Pn.
