武汉市2015年中考数学卷

武汉市2015年中考数学卷

‎2015年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．‎ ‎1．（3分）（2015•武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（　　）‎ ‎　 A． ﹣3 B． 0 C． 5 D． 3‎ ‎　考点： 实数大小比较． ‎ 分析： 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．‎ 解答： 解：根据实数比较大小的方法，可得 ‎﹣3＜0＜3＜5，‎ 所以在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是﹣3．‎ 故选：A．‎ 点评： 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．‎ ‎2．（3分）（2015•武汉）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≥﹣2‎ B．‎ x＞﹣2‎ C．‎ x≥2‎ D．‎ x≤2‎ 考点： 二次根式有意义的条件． ‎ 分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．‎ 解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0，‎ 解得x≥2．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•武汉）把a2﹣2a分解因式，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a（a﹣2）‎ B．‎ a（a+2）‎ C．‎ a（a2﹣2）‎ D．‎ a（2﹣a）‎ 考点： 因式分解-提公因式法． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式提取公因式得到结果，即可做出判断．‎ 解答： 解：原式=a（a﹣2），‎ 故选A．‎ 点评： 此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•武汉）一组数据3，8，12，17，40的中位数为（　　）‎ A． 3 B． 8 C． 12 D． 17‎ 考　 点： 中位数． ‎ 分析： 首先把这组数据3，8，12，17，40从小到大排列，然后判断出中间的数是多少，即可判断出这组数据的中位数为多少．‎ 解答： 解：把3，8，12，17，40从小到大排列，可得 ‎3，8，12，17，40，‎ 所以这组数据3，8，12，17，40的中位数为12．‎ 故选：C．‎ 点评： 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•武汉）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2a2﹣4a2=﹣2‎ B．‎ ‎3a+a=3a2‎ C．‎ ‎3a•a=3a2‎ D．‎ ‎4a6÷2a3=2a2‎ 解：A、原式=﹣2a2，错误；‎ B、原式=4a，错误；‎ C、原式=3a2，正确；‎ D、原式=2a3，错误．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（2，1）‎ B．‎ ‎（2，0）‎ C．‎ ‎（3，3）‎ D．‎ ‎（3，1）‎ 解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，‎ ‎∴=，又OB=6，AB=3，‎ ‎∴OD=2，CD=1，‎ ‎∴点C的坐标为：（2，1），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4：00气温最低 B．‎ ‎6：00气温为24℃‎ ‎　‎ C．‎ ‎14：00气温最高 D．‎ 气温是30℃的时刻为16：00‎ 解：A、由横坐标看出4：00气温最低是24℃，故A正确；‎ B、由纵坐标看出6：00气温为24℃，故B正确；‎ C、由横坐标看出14：00气温最高31℃；‎ D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12：00，16：00，故D错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2015•武汉）在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＞‎ B．‎ m＜‎ C．‎ m≥‎ D．‎ m≤‎ 解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，‎ ‎∴反比例函数图象在第一，三象限，‎ ‎∴1﹣3m＞0，‎ 解得：m＜．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2﹣‎ B．‎ ‎+1‎ C．‎ D．‎ ‎﹣1‎ 解：连接AD、DG、BO、OM，如图．‎ ‎∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，‎ ‎∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，=，‎ ‎∴△DAG∽△DCF，‎ ‎∴∠DAG=∠DCF．‎ ‎∴A、D、C、M四点共圆．‎ 根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，‎ 当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，‎ 此时，BO===，OM=AC=1，‎ 则BM=BO﹣OM=﹣1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．‎ ‎11．（3分）（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）=　﹣4　．‎ 考点： 有理数的加法． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．‎ 解答： 解：原式=﹣（10﹣6）=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ 点评： 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•武汉）中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为　3.7×105　．‎ 解：370 000=3.7×105，‎ 故答案为：3.7×105．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2015•武汉）一组数据2，3，6，8，11的平均数是　6　．‎ 解：（2+3+6+8+11）÷5‎ ‎=30÷5‎ ‎=6‎ 所以一组数据2，3，6，8，11的平均数是6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省　2　元．‎ 解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，‎ ‎1千克苹果的价钱为：y=10，‎ 设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），‎ 把（2，20），（4，36）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y=8x+4，‎ 当x=3时，y=8×3+4=28．‎ 当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3=30（元），‎ ‎30﹣28=2（元）．‎ 则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=　10　．‎ 解：根据题中的新定义化简已知等式得：，‎ 解得：a=1，b=2，‎ 则2*3=4a+3b=4+6=10，‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　　．‎ 解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，‎ 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．‎ 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，‎ ‎∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，‎ ‎∴∠N′OM′=90°，‎ ‎∴在Rt△M′ON′中，‎ M′N′==．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．‎ ‎17．（8分）（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．‎ ‎（1）求这个一次函数的解析式；‎ ‎（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．‎ 解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4），‎ ‎∴4=k+3，‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴这个一次函数的解析式是：y=x+3．‎ ‎（2）∵k=1，‎ ‎∴x+3≤6，‎ ‎∴x≤3，‎ 即关于x的不等式kx+3≤6的解集是：x≤3．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2015•武汉）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：‎ ‎（1）△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）AB∥DE．‎ 证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE=90°，‎ 在△ABC和△DEF中，，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SAS）；‎ ‎（2）∵△ABC≌△DEF，‎ ‎∴∠B=∠DEF，‎ ‎∴AB∥DE．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2015•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．‎ ‎（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；‎ ‎（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：‎ ‎①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；‎ ‎②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．‎ 解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，‎ ‎∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为：；‎ ‎（2）画树状图得：‎ 则共有16种等可能的结果；‎ ‎①∵两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的有2种情况，‎ ‎∴两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率为：=；‎ ‎②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况，‎ ‎∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为：．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．‎ ‎（1）请直接写出点C、D的坐标；‎ ‎（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；‎ ‎（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．‎ 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD关于O中心对称，‎ ‎∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），‎ ‎∴C（4，﹣2），D（1，2）；‎ ‎（2）线段AB到线段CD的变换过程是：线段AB向右平移5个单位得到线段CD；‎ ‎（3）由（1）得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，‎ A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，‎ ‎∴SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，‎ ‎∴SABCD=5×4=20．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．‎ ‎（1）求证：AT是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．‎ 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB． ‎ ‎∴∠TAB=90°，‎ ‎∴TA⊥AB，‎ ‎∴AT是⊙O的切线；‎ ‎（2）作CD⊥AT于D，‎ ‎∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，‎ 设OA=x，则AT=2x，‎ ‎∴OT=x，‎ ‎∴TC=（﹣1）x，‎ ‎∵CD⊥AT，TA⊥AB ‎∴CD∥AB，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，‎ ‎∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，‎ ‎∴tan∠TAC===﹣1．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．‎ ‎（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．‎ ‎①求的值；‎ ‎②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．‎ 解：（1）①∵EF∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 即的值是．‎ ‎②∵EH=x，‎ ‎∴KD=EH=x，AK=8﹣x，‎ ‎∵=，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∴S=EH•EF=x（8﹣x）=﹣+24，‎ ‎∴当x=4时，S的最大值是24．‎ ‎（2）设正方形的边长为a，‎ ‎①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，‎ ‎，‎ 解得a=．‎ ‎②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，‎ ‎∵AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎∴BD=CD=12÷2=6，‎ ‎∴AB=AC=，‎ ‎∴AB或AC边上的高等于：‎ AD•BC÷AB ‎=8×12÷10‎ ‎=‎ ‎∴，‎ 解得a=．‎ 综上，可得 正方形PQMN的边长是或．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．‎ ‎（1）求证：EF+PQ=BC；‎ ‎（2）若S1+S3=S2，求的值；‎ ‎（3）若S3+S1=S2，直接写出的值．‎ ‎（1）证明：∵EF∥BC，PQ∥BC，‎ ‎∴，，‎ ‎∵AE=BP，‎ ‎∴AP=BE，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴EF+PQ=BC；‎ ‎（2）解：过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，如图所示：‎ 设EF=a，PQ=b，AM=h，‎ 则BC=a+b，‎ ‎∵EF∥PQ，‎ ‎∴△AEF∽△APQ，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AN=，MN=（﹣1）h，‎ ‎∴S1=ah，S2=（a+b）（﹣1）h，S3=（b+a+b）h，‎ ‎∵S1+S3=S2，‎ ‎∴ah+（a+b+b）h=（a+b）（﹣1）h，‎ 解得：b=3a，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴=2；‎ ‎（3）解：∵S3﹣S1=S2，‎ ‎∴（a+b+b）h﹣ah=（a+b）（﹣1）h，‎ 解得：b=（1±）a（负值舍去），‎ ‎∴b=（1+）a，‎ ‎∴=1+，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2015•武汉）已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．‎ ‎（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．‎ 解：（1）把A（﹣1，0）代入 得c=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，‎ ‎∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G ‎∴△EHC∽△FGC ‎∵E（m，n）‎ ‎∴F（m，）‎ 又∵C（0，）‎ ‎∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2‎ 又∵，‎ 则 ‎∴n+=2‎ ‎∴n=（﹣2＜m＜0）‎ ‎（3）由题意可知P（t，0），M（t，）‎ ‎∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，‎ ‎∴△OPM∽△QPB．‎ ‎∴．‎ 其中OP=t，PM=，PB=1﹣t，‎ ‎∴PQ=．‎ BQ=‎ ‎∴PQ+BQ+PB=．‎ ‎∴△PBQ的周长为2．‎ ‎　‎