高考复习之数列通项公式的十种求法

高考复习之数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法 一、公式法 例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。‎ 二、累加法 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由得则 所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列 的通项公式。‎ 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由得则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：两边除以，得，‎ 则，故 因此，‎ 则 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。‎ 三、累乘法 例5 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ 例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。‎ 解：因为 ①‎ 所以 ②‎ 用②式－①式得 则 故 所以 ③‎ 由，，则，又知，则，代入③得。‎ 所以，的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。‎ 四、待定系数法 例7 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ④‎ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤‎ 由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 例8 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ⑥‎ 将代入⑥式，得 整理得。‎ 令，则，代入⑥式得 ‎ ⑦‎ 由及⑦式，‎ 得，则，‎ 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。‎ 例9 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ⑧‎ 将代入⑧式，得 ‎，则 等式两边消去，得，‎ 解方程组，则，代入⑧式，得 ‎ ⑨‎ 由及⑨式，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 五、对数变换法 例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以。在 式两边取常用对数得 ⑩‎ 设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ‎，故 代入式，得 由及式，‎ 得，‎ 则，‎ 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此 则。‎ 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 六、迭代法 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。‎ 七、数学归纳法 例12 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由及，得 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。‎ ‎（1）当时，，所以等式成立。‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，则当时，‎ 由此可知，当时等式也成立。‎ 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。‎ 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。‎ 八、换元法 例13 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，则 故，代入得 即 因为，故 则，即，‎ 可化为，‎ 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得 ‎。‎ 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 九、不动点法 例14 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 ‎。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。‎ 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。‎ 例15 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的不动点。‎ 因为，所以 ‎。‎ 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 九、不动点法 例14 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 ‎。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。‎ 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。‎ 例15 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的不动点。‎ 因为，所以