人教新课标A版高一数学2-2-2等差数列通项公式

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人教新课标A版高一数学2-2-2等差数列通项公式

2.2.2 等差数列通项公式 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念,进一步熟练掌握等差数列的通项公式 及其推导的公式,并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;让学生明白一个数列的通 项公式是关于正整数 n 的一次型函数,那么这个数列必定是一个等差数列,使学生学会用图 象与通项公式的关系解决某些问题. 在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究.在教学过程中, 遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程, 激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位,通过等差数列 概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识. 通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与 一般的辩证唯物主义观点,通过等差数列的图象的应用,通过等差数列通项公式的运用,渗 透方程思想,进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究,主动学习,提 高学生学习积极性,也提高了课堂的教学效果. 教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用. 教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 教具准备 多媒体及课件 三维目标 一、知识与技能 1.明确等差中项的概念; 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图象认识等差数 列的性质; 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题. 二、过程与方法 1.通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通 项公式的运用,渗透方程思想; 2.发挥学生的主体作用,讲练相结合,作好探究性学习; 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊 与一般的辩证唯物主义观点; 2.通过体验等差数列的性质的奥秘,激发学生的学习兴趣. 教学过程 导入新课 师 同学们,上一节课我们学习了等差数列的定义,等差数列的通项公式,哪位同学能回忆 一下什么样的数列叫等差数列? 生 我回答,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数, 即 an-a n-1=d(n≥2,n∈N *),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(通 常用字母“d”表示). 师 对,我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么? 生 1 等差数列{an}的通项公式应是 an=a1+(n-1)d. 生 2 等差数列{an}还有两种通项公式:an=am+(n-m)d 或 an=pn+q(p、q 是常数). 师 好!刚才两位同学说得很好,由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差 d 的 公式:①d=an-a n-1;② 1 1   n aad n ;③ mn aad mn   .你能理解与记忆它们吗? 生 3 公式② 1 1   n aad n 与③ mn aad mn   记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标 之差). [合作探究] 探究内容:如果我们在数 a 与数 b 中间插入一个数 A,使三个数 a,A,b 成等差数列,那么 数 A 应满足什么样的条件呢? 师 本题在这里要求的是什么? 生 当然是要用 a,b 来表示数 A. 师 对,但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答? 生 由定义可得 A -a=b-A,即 2 baA  . 反之,若 2 baA  ,则 A-a=b-A, 由此可以得  2 baA a,A,b 成等差数列. 推进新课 我们来给出等差中项的概念:若 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5 是 3 与 7 的等差中项,也是 1 和 9 的等差中项. 9 是 7 和 11 的等差中项,也是 5 和 13 的等差中项. [方法引导] 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住 a,A,b 成等差数列 2A=a+b,以促成将等差 数列转化为目标量间的等量关系或直接由 a,A,b 间的关系证得 a,A,b 成等差 数列. [合作探究] 师 在等差数列{an}中,d 为公差,若 m,n,p,q∈N*且 m+n=p+q,那么这些项与项之间有何种 等量关系呢? 生 我得到了一种关系 am+an=ap+aq. 师 能把你的发现过程说一下吗? 生 受等差中项的启发,我发现 a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7. 从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 师 你所得的这关系是归纳出来的,归纳有利于发现,这很好,但归纳不能算是证明!我们 是否可以对这归纳的结论加以证明呢? 生 我能给出证明,只要运用通项公式加以转化即可.设首项为 a1,则 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d. 因为我们有 m+n=p+q,所以上面两式的右边相等,所以 am+an=ap+aq. 师 好极了!由此我们的一个重要结论得到了证明:在等差数列{an}的各项中,与首末两项 等距离的两项的和等于首末两项的和.另外,在等差数列中,若 m+n=p+q,则上面两式的右边 相等,所以 am+an=ap+aq. 同样地,我们还有:若 m+n=2p,则 am+an=2ap.这也是等差中项的内容. 师 注意:由 am+an=ap+aq 推不出 m+n=p+q,同学们可举例说明吗? 生 我举常数列就可以说明了. 师 举得好!这说明在等差数列中,am+an=ap+aq 是 m+n=p+q 成立的必要不充分条件. [例题剖析] 【例 1】 在等差数列{an}中,若 a1+a6=9,a4=7,求 a3,a9. 师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项? 生 1 在通常情况下是先求其通项公式,再根据通项公式来求这一项. 生 2 而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意 两项(知道任意两项就知道公差,这在前面已研究过了). 生 3 本题中,只已知一项和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手…… 师 好,我们下面来解,请一个同学来解一解,谁来解? 生 4 因为{an}是等差数列,所以 a1+a6=a4+a3=9 a3=9-a4=9-7=2, 所以可得 d=a4-a3=7-2=5. 又因为 a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32,所以我们求出了 a3=2,a9=32. 【例 2】 (课本 P44 的例 2) 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初 的 4 千米(不含 4 千米)计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地,且一 路畅通,等候时间为 0,需要支付多少元的车费? 师 本题是一道实际应用题,它所涉及到的是什么知识方面的数学问题? 生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决. 师 为什么? 生 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时,每增加 1 km,乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列来进行计算车费. 师 这个等差数列的首项和公差分别是多少? 生 分别是 11.2,1.2. 师 好,大家计算一下本题的结果是多少? 生 需要支付车费 23.2 元. (教师按课本例题的解答示范格式) 评述:本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,做此题的目的是让大家学会从实 际问题中抽象出等差数列的模型,用等差数列知识解决实际问题. 课堂练习 1.在等差数列{an}中, (1)若 a5=a,a10=b,求 a15. 解:由等差数列{an}知 2a10=a5+a15,即 2b=a+a15,所以 a15=2b-a. (2)若 a3+a8=m,求 a5+a6. 解:等差数列{an}中,a5+a6=a3+a8=m. (3)若 a5=6,a8=15,求 a14. 解:由等差数列{an}得 a8=a5+(8-5)d,即 15=6+3d,所以 d=3. 从而 a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33. (4)已知 a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求 a11+a12+…+a15 的值. 解:等差数列{an}中,因为 6+6=11+1,7+7=12+2,…… 所以 2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,…… 从而(a11+a12 +…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10), 因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5) =2×80-30=130. 2.让学生完成课本 P45 练习 5. 教师对学生的完成情况作出小结与评价. [方法引导] 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质,因此,首先要熟练掌握等差数列的 性质,其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围. 课堂小结 师 通过今天的学习,你学到了什么知识?有何体会? 生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而达 到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力) 布置作业 课本第 45 页习题 2.2 A 组第 4、5 题. 预习内容:课本 P48~P52. 预习提纲:①等差数列的前 n 项和公式;②等差数列前 n 项和的简单应用. 板书设计 等差数列通项公式 等差中项 例题 在等差数列{an}中, 若 m、n、p、q∈N*且 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq
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