高考数学专题复习练习：8_5　直线、平面垂直的判定与性质

高考数学专题复习练习：8_5　直线、平面垂直的判定与性质

‎1．直线与平面垂直 ‎(1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.直线和平面所成的角 ‎(1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．‎ ‎(2)范围：[0，]．‎ ‎3．平面与平面垂直 ‎(1)二面角的有关概念 ‎①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；‎ ‎②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．‎ ‎(2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α ‎【知识拓展】‎ 重要结论：‎ ‎(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．‎ ‎(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．‎ ‎(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　×　)‎ ‎(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　√　)‎ ‎(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　×　)‎ ‎(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　√　)‎ ‎1．(教材改编)下列命题中不正确的是(　　)‎ A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 答案　A 解析　根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．‎ ‎2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则 ‎“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.‎ ‎3．(2017·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：‎ ‎①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；‎ ‎②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；‎ ‎③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；‎ ‎④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.‎ 其中为真命题的是(　　)‎ A．①② B．②③ C．②④ D．①④‎ 答案　D 解析　‎ ‎①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.‎ ‎4．(2016·济南模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是(　　)‎ A．MC⊥AN B．GB∥平面AMN C．平面CMN⊥平面AMN D．平面DCM∥平面ABN 答案　C 解析　‎ 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，‎ 取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊄平面AMN，‎ MH⊂平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．‎ ‎5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.‎ ‎(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．‎ ‎(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．‎ 答案　(1)外　(2)垂 解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，‎ 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，‎ 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．‎ ‎(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.‎ ‎∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，‎ ‎∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，‎ 又AB⊥PO，PO∩PC＝P，‎ ‎∴AB⊥平面PGC，‎ 又CG⊂平面PGC，‎ ‎∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．‎ 同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，‎ 即O为△ABC的垂心．‎ 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　(2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝.‎ 证明：D′H⊥平面ABCD.‎ 证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.‎ 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.‎ 由EF∥AC得＝＝.‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3.‎ 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.‎ 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，‎ 所以D′H⊥平面ABCD.‎ 思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎　(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 证明　(1)由题意知，E为B1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，‎ 所以AC⊥CC1.‎ 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，‎ BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，‎ 所以BC1⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，‎ 所以BC1⊥AB1.‎ 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ 证明　(1)方法一　‎ 取PA的中点H，连接EH，DH.‎ 又E为PB的中点，‎ 所以EH綊AB.‎ 又CD綊AB，‎ 所以EH綊CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 方法二　‎ 连接CF.‎ 因为F为AB的中点，‎ 所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，所以AF＝CD.‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．‎ 因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为AB⊥PA，‎ 所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.‎ 又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.‎ 所以AB⊥平面EFG.‎ 又因为M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 引申探究 ‎1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.‎ 证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，‎ 且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.‎ 证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，‎ 所以EF∥PA，FG∥AC，‎ 又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，‎ 所以EF∥平面PAC.‎ 同理，FG∥平面PAC.‎ 又EF∩FG＝F，‎ 所以平面EFG∥平面PAC.‎ 思维升华　(1)判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎　(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明　(1)由已知，DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，‎ ‎∴DE∥A1C1，‎ 又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎∴DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥A1C1，‎ 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1，‎ ‎∵B1D⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴A1C1⊥B1D，‎ 又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F，‎ 又∵B1D⊂平面B1DE，‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 题型三　垂直关系中的探索性问题 例3　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.‎ ‎(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；‎ ‎(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)证明　在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面 ACE.‎ 又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，‎ ‎∴DF∥a.‎ ‎(2)解　线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.‎ 证明如下：‎ 取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，‎ 连接GD，GF，‎ ‎∵CF＝EF，∴GF⊥CE.‎ 在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.‎ 由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.‎ 又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.‎ ⇒GF⊥平面CDE.‎ 又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.‎ 此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，‎ ‎∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，‎ 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，‎ ‎∴HB＝BC＝EF.‎ 由△HGB∽△FGE可知＝，即BG＝BE.‎ 思维升华　同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．‎ ‎　(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝.‎ ‎(1)求证：B1C∥平面A1BM；‎ ‎(2)求证：AC1⊥平面A1BM；‎ ‎(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎(1)证明　连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，‎ 在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，‎ ‎∴OM∥B1C，‎ 又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，‎ ‎∴B1C∥平面A1BM.‎ ‎(2)证明　∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥BM，‎ 又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.‎ ‎∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴BM⊥AC1.‎ ‎∵AC＝2，∴AM＝1.‎ 又∵AA1＝，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，‎ tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝.‎ ‎∴∠AC1C＝∠A1MA，‎ 即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，‎ ‎∴A1M⊥AC1.‎ ‎∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.‎ ‎(3)解　当点N为BB1中点，即＝时，‎ 平面AC1N⊥平面AA1C1C.‎ 证明如下：‎ 设AC1中点为D，连接DM，DN.‎ ‎∵D，M分别为AC1，AC中点，‎ ‎∴DM∥CC1，且DM＝CC1.‎ 又∵N为BB1中点，∴DM∥BN，且DM＝BN，‎ ‎∴四边形BNDM为平行四边形，‎ ‎∴BM∥DN，‎ ‎∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1.‎ 又∵DN⊂平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.‎ ‎17．立体几何证明问题中的转化思想 典例　(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．‎ 求证：(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.‎ 思想方法指导　(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；‎ ‎(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；‎ ‎(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．‎ 规范解答 证明　(1)如图所示，连接NK.‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，‎ ‎∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，‎ ‎∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，‎ C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]‎ ‎∵N，K分别为CD，C1D1的中点，‎ ‎∴DN∥D1K，DN＝D1K，‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]‎ ‎∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，‎ ‎∴AN∥平面A1MK.[6分]‎ ‎(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.‎ ‎∵M，K分别为AB，C1D1的中点，‎ ‎∴BM∥C1K，BM＝C1K，‎ ‎∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，‎ BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]‎ ‎∴MK⊥B1C.‎ ‎∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.‎ 又∵MK⊂平面A1MK，‎ ‎∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]‎ ‎1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则(　　)‎ A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直 答案　D 解析　对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；‎ 对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；‎ 对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误；易知D正确．‎ ‎2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 答案　D 解析　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故选D.‎ ‎3．(2016·包头模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1‎ C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1‎ D．A1C1∥平面AB1E 答案　C 解析　A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.‎ ‎4．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥D－ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①②④ B．①②③‎ C．②③④ D．①③④‎ 答案　B 解析　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.‎ ‎5.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)‎ A．①② B．①②③‎ C．① D．②③‎ 答案　B 解析　对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，‎ 又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；‎ 对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，‎ ‎∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；‎ 对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．‎ ‎6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．‎ 答案　AB、BC、AC　AB 解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.‎ ‎7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．‎ 答案　 解析　设B1F＝x，‎ 因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可得A1B1＝，‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，‎ 则DE＝h.‎ 又2×＝h，‎ 所以h＝，DE＝.‎ 在Rt△DB1E中，‎ B1E＝ ＝.‎ 由面积相等得× ＝x，‎ 得x＝.‎ ‎8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 答案　①②③‎ 解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，‎ ‎∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，‎ ‎∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.‎ 故①②③正确．‎ ‎9．(2016·保定模拟)如图，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α，一直角边AC⊂β，BC与β所成角的正弦值为，则AB与β所成的角是________．‎ 答案　 解析　如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，‎ 则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角．‎ ‎∵sin∠BCH＝＝，‎ 设BC＝1，则BH＝.‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝，‎ ‎∴AB与β所成的角为∠BAH.‎ ‎∴sin∠BAH＝＝＝，‎ ‎∴∠BAH＝.‎ ‎10．(2016·全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.‎ ‎(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；‎ ‎(2)求二面角EBCA的余弦值．‎ ‎(1)证明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，‎ 所以AF⊥平面EFDC，‎ 又AF⊂平面ABEF，‎ 故平面ABEF⊥平面EFDC.‎ ‎(2)解　过D作DG⊥EF，垂足为G，‎ 由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．‎ 由已知，AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，‎ 所以AB∥平面EFDC，‎ 又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，‎ 故AB∥CD，CD∥EF，‎ 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，‎ 所以∠CEF为二面角CBEF的平面角，∠CEF＝60°，‎ 从而可得C(－2,0，)．‎ 所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则 即所以可取n＝(3,0，－)．‎ 设m是平面ABCD的法向量，则 同理可取m＝(0，，4)，则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角EBCA的余弦值为－.‎ ‎11．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．‎ ‎(1)求证：FG∥平面BED；‎ ‎(2)求证：平面BED⊥平面AED；‎ ‎(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　如图，取BD的中点O，连接OE，OG.‎ 在△BCD中，因为G是BC的中点，‎ 所以OG∥DC且OG＝DC＝1.‎ 又因为EF∥AB，AB∥DC，‎ 所以EF∥OG且EF＝OG，‎ 所以四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.‎ 又FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，‎ 所以FG∥平面BED.‎ ‎(2)证明　在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，‎ 由余弦定理可得BD＝，进而∠ADB＝90°，‎ 即BD⊥AD.‎ 又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 平面AED∩平面ABCD＝AD，‎ 所以BD⊥平面AED.‎ 又因为BD⊂平面BED，‎ 所以平面BED⊥平面AED.‎ ‎(3)解　因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角．‎ 过点A作AH⊥DE于点H，连接BH.‎ 又平面BED∩平面AED＝ED，‎ 由(2)知AH⊥平面BED，‎ 所以直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.‎ 在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝，‎ 由余弦定理得cos∠ADE＝，所以sin∠ADE＝，‎ 因此，AH＝AD·sin∠ADE＝.‎ 在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝.‎ 所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为.‎ ‎12．在直角梯形SBCD中，∠D＝∠C＝，BC＝CD＝2，SD＝4，A为SD的中点，如图(1)所示，将△SAB沿AB折起，使SA⊥AD，点E在SD上，且SE＝SD，如图(2)所示．‎ ‎(1)求证：SA⊥平面ABCD；‎ ‎(2)求二面角E－AC－D的正切值．‎ ‎(1)证明　由题意，知SA⊥AB，‎ 又SA⊥AD，AB∩AD＝A，‎ 所以SA⊥平面ABCD.‎ ‎(2)解　在AD上取一点O，使AO＝AD，‎ 连接EO，如图所示．‎ 又SE＝SD，所以EO∥SA.‎ 所以EO⊥平面ABCD.‎ 过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，‎ 所以AC⊥EH，‎ 所以∠EHO为二面角E－AC－D的平面角．‎ 已知EO＝SA＝.‎ 在Rt△AHO中，∠HAO＝45°，OH＝AO·sin 45°＝×＝.‎ tan∠EHO＝＝2，即二面角E－AC－D的正切值为2.‎