高考数学专题复习练习第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入 课下练兵场

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高考数学专题复习练习第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入 课下练兵场

第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 复数的基本概念 ‎1、3‎ ‎4、6、7‎ 复数的代数运算 ‎2、8‎ ‎5‎ 复数的几何意义 ‎9‎ ‎11‎ ‎10、12‎ 一、选择题 ‎1.复数z=(a2-‎2a)+(a2-a-2)i(a∈R)对应的点在虚轴上,则 (  )‎ A.a≠2或a≠1  B.a≠2且a≠‎1 C.a=2或a=0 D.a=0‎ 解析:由题意知a2-‎2a=0,∴a=2或a=0.‎ 答案:C ‎2.(2009·安徽高考)i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是 (  )‎ A.-15       B.-‎3 C.3 D.15‎ 解析:===-1+3i ‎=a+bi,‎ ‎∴a=-1,b=3,∴ab=-1×3=-3.‎ 答案:B ‎3.(2010·株州模拟)若+(1+i)2=a+bi(a,b∈R),则a-b= (  )‎ A.2 B.-‎2 ‎ C.2+2 D.2-2‎ 解析:+(1+i)2=1-i-2+2i ‎=-1+(2-1)i=a+bi,‎ 则a=-1,b=2-1,故a-b=-2.‎ 答案:B ‎4.若复数z=cosθ+isinθ且z2+2=1,则sin2θ= (  )‎ A. B. C. D.- 解析:z2+2=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2=2cos2θ=1⇒cos2θ=,所以sin2θ==.‎ 答案:B ‎5.若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为 (  )‎ A.2kπ-(k∈Z)    B.2kπ+(k∈Z) C.2kπ±(k∈Z) D.π+(k∈Z)‎ 解析:由题意,得 ‎ ‎∴θ=2kπ+,k∈Z.‎ 答案:B ‎6.若M={x|x=in,n∈Z},N={x|>-1}(其中i为虚数单位),则M∩(∁RN)= (  )‎ A.{-1,1}      B.{-1} C.{-1,0} D.{1}‎ 解析:依题意M={1,-1,i,-i},‎ N={x|x>0或x<-1},‎ 所以∁RN={x|-1≤x≤0},故M∩(∁RN)={-1}.‎ 答案:B 二、填空题 ‎7.设z1是复数,z2=z1-i1,(其中1表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为   .‎ 解析:设z1=x+yi(x,y∈R),则z2=x+yi-i(x-yi)‎ ‎=(x-y)+(y-x)i,故有x-y=-1,y-x=1.‎ 答案:1‎ ‎8.已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,则z1·z2的实部最大值为    ,虚部最大值为    .‎ 解析:z1·z2=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ).‎ 实部为cosθsinθ+1=1+sin2θ≤,‎ 所以实部的最大值为.‎ ‎ 虚部为cosθ-sinθ=sin(-θ)≤,‎ 所以虚部的最大值为.‎ 答案:  ‎9.已知a∈R,则复数z=(a2-‎2a+4)-(a2-‎2a+2)i所对应的点在第    象限,复数z对应点的轨迹是    .‎ 解析:由a2-‎2a+4=(a-1)2+3≥3,‎ ‎-(a2-‎2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,‎ 得z的实部为正数,z的虚部为负数.‎ ‎∴复数z的对应点在第四象限.‎ 设z=x+yi(x、y∈R),则 消去a2-‎2a得y=-x+2(x≥3),∴复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).‎ 答案:四 一条射线 三、解答题 ‎10.实数m分别取什么数值时?复数z=(m2+‎5m+6)+(m2-‎2m-15)i ‎(1)与复数2-12i相等;‎ ‎(2)与复数12+16i互为共轭;‎ ‎(3)对应的点在x轴上方.‎ 解:(1)根据复数相等的充要条件得 解之得m=-1.‎ ‎(2)根据共轭复数的定义得 解之得m=1.‎ ‎(3)根据复数z对应点在x轴上方可得 m2-‎2m-15>0,‎ 解之得m<-3或m>5.‎ ‎11.若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(3-i)=z2(1+3i),|z1|=,求z1.‎ 解:设z1=a+bi,则z2=-a+bi,‎ ‎∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|=,‎ ‎∴‎ 解得 则z1=1-i或z1=-1+i.‎ ‎12.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.‎ ‎ (1)求实数a,b的值;‎ ‎ (2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值.‎ ‎ 解:(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,‎ ‎ ∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,‎ ‎ ∴‎ ‎  (2)设z=x+yi(x,y∈R),由|-3-3i|=2|z|,‎ ‎   得(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),‎ ‎   即(x+1)2+(y-1)2=8,‎ ‎ ∴z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,‎ ‎  如图,当z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值,‎ ‎ ∵|OO1|=,‎ ‎  半径r=2,‎ ‎ ∴当z=1-i时,‎ ‎  |z|有最小值且|z|min=.‎
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